ขายบล็อกของช่วงเวลา

รับช่วงเวลาที่คนต้องการซื้อคนที่มีค่าแต่ละครั้งสล็อตเจแต่ละคนสามารถซื้อช่วงเวลาหนึ่งช่วงติดต่อกันเท่านั้นซึ่งอาจว่างเปล่า$n$$k$$i$$h(i,j)\geq 0$$j$

มีวิธีคิดแบบพหุนามเวลาในการคำนวณมูลค่าสูงสุดที่ผู้ขายสามารถทำได้หรือไม่?

เราสามารถให้แต่ละช่วงเวลาแก่บุคคลที่เห็นคุณค่าได้มากที่สุด นอกจากนี้หากเราแก้ไขลำดับของช่วงเวลาของผู้คนดังนั้นการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกสามารถใช้เพื่อแก้ปัญหาสำหรับค่าสูงสุดของคนแรกที่ซื้อเวลาครั้งแรก สล็อต$k$$0\le i \le k$$0\le j \le n$

กำหนด 3CNF กับคำสั่งกับตัวแปรx_1,สมมติว่าทั้งและปรากฏในสูตรเป็นเวลามากที่สุดตามลำดับ$\phi_1,\ldots,\phi_k$$x_1,\ldots,x_n$$x_i$$\overline{x_i}$$k_i$

เราออกแบบ DAGที่มีสีซึ่งจุดยอดประกอบด้วยสามส่วน:$G$

• "การกำหนด" จุดและ , ,k_i สีกับ "สี"และกับ(ญ)$v_i(j)$$\bar{v}_i(j)$$1\leq i\leq n$$1\leq j\leq k_i$$v_i(j)$$x_i(j)$$\bar{v}_i(j)$$\overline{x_i}(j)$
• "ข้อ" จุด , , J'=สีมีสี (หรือ ) ถ้า (หรือ , resp.) คือ -th ตัวอักษรของประโยคและเป็นประโยค -th ที่มีตัวอักษรนี้$w_{i'}(j')$$1\leq i'\leq k$$j'=1,2,3$$w_{i'}(j')$$x_i(j)$$\overline{x_i}(j)$$\overline{x_i}$$x_i$$j'$$\phi_{i'}$$j$
• "ตัด" จุด tสีพวกเขาด้วยสีที่แตกต่างจากด้านบน$s=s_0,s_1,\ldots,s_n, s_{n+1},\ldots s_{n+k}=t$

ขอบรวมถึง:

• $s_{i-1}v_i(1)$ , , ;$v_i(j)v_i(j+1)$$v_i(k_i)s_i$
• $s_{i-1}\bar{v}_i(1)$ , , ;$\bar{v}_i(j)\bar{v}_i(j+1)$$\bar{v}_i(k_i)s_i$
• และ ,'}$s_{n+i'-1}w_{i'}(j')$$w_{i'}(j')s_{n+i'}$

ตัวอย่างเช่นจาก 3CNF กราฟต่อไปนี้ถูกสร้างขึ้น (ทิศทางขอบจากซ้ายไปขวา) $(x_1 \vee x_2 \vee \overline{x_3})\wedge(x_1 \vee \overline{x_2}\vee x_3)$

ตอนนี้มันก็ไม่ยากที่จะเห็นว่าเดิมเป็น 3CNF พอใจและถ้าหากมี -เส้นทางที่มีสีที่แตกต่างกันในจุดสุดยอดG$s$$t$$G$

(โดยวิธีการมันเป็นผลพลอยได้ที่มีอยู่ของเส้นทาง -มีจุดสุดยอดสีที่แตกต่างกันในสี DAG คือฉันไม่พบวรรณกรรมจำนวนมากเกี่ยวกับปัญหานี้ในมุมมองการคำนวณถ้า คุณรู้โปรดแสดงความคิดเห็น!)$s$$t$$\textsf{NP-hard}$

แล้วความสัมพันธ์ระหว่างกับปัญหาของ OP คืออะไร สิ่งที่เราจะทำอย่างสังหรณ์ใจคือการออกแบบเมทริกซ์เพื่อให้แต่ละสีถูกแมปกับแถว (ซึ่งเป็นบุคคล) และขอบถูกแมปกับคอลัมน์ที่ต่อเนื่องกัน (ช่วงเวลา) ดังนั้นการกำหนดเวลาสูงสุดซึ่งโดยทั่วไปจะเริ่มจากซ้ายไปขวาในเมทริกซ์จึงสอดคล้องกับเส้นทาง -$G$$h$$s$$t$

เมทริกซ์ของเรามีคอลัมน์ที่มีดัชนีเริ่มต้นจาก0ใน constrcution ต่อไปนี้เป็นสองค่าตอบสนองความY อัตราส่วนสามารถเป็นพลังที่มีขนาดใหญ่ของและnให้k_i$h$$2n+1+\sum_i 2k_i+k$$0$$X$$Y$$1\ll X\ll Y$$X/1, Y/X$$k$$n$$K_i=2i+2\sum_{j=1}^i k_i$

• สำหรับแต่ละ , , ให้ (ถ้า มีการประสานงานอยู่ด้านล่างเดียวกัน)$s_i$$0\leq i\leq n$$h(s_i,K_i)=h(s_i,K_i-k_i-1)=h(s_i,K_i+k_{i+1}+1)=Y$
• สำหรับแต่ละให้ ; สำหรับแต่ละให้ X$x_i(j)$$h(x_i(j),K_{i-1}+j)=X$$\overline{x_i}(j)$$h(\overline{x_i}(j),K_{i-1}+k_i+1+j)=X$
• สำหรับแต่ละ ,และตัวอักษรในประโยคให้ 1$\phi_{i'}$$1\leq i'\leq k$$x$$\phi_{i'}$$h(x,K_n+i')=1$
• รายการอื่น ๆ ทั้งหมดเป็น 0

ตัวอย่างเช่นสำหรับกราฟตัวอย่างข้างต้นเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องคือ

ตอนนี้เราเรียกร้อง: เดิมเป็น 3CNF พอใจและถ้าหากค่าสูงสุดคือ K$(2n+1)Y+\sum_i k_iX+k$

พิจารณาการจัดตารางเวลาเพื่อให้ได้ค่าสูงสุด เนื่องจากมีคอลัมน์ในที่มีดังนั้นจึงควรครอบคลุมทั้งหมด สำหรับคอลัมน์ซึ่งมีสองทางเลือกของสมมติว่ากำหนดจัดตารางเวลามันs_iตั้งแต่คอลัมน์จะต้องกำหนดให้โดย consecutiveness ที่เราต้องสูญเสียคอลัมน์เพื่อK_iสิ่งเดียวกันเกิดขึ้นถ้าการตั้งเวลากำหนดคอลัมน์เพื่อ1}$(2n+1)$$h$$Y$$K_i+k_i+1$$Y$$s_i$$K_i$$s_i$$K_i+1$$K_i+k_i$$K_i+k_i+1$$s_{i+1}$

ดังนั้นเพื่อให้มีค่าเราต้องเลือกเหลือทั้งหมดที่มีอยู่ในเมทริกซ์ซึ่งสอดคล้องกับการกำหนดตัวแปร ดังนั้นมูลค่าที่เหลือของสามารถทำได้ถ้าหากการมอบหมายตรงตามทุกข้อ$\sum_i k_iX$$X$$k$

เป็นข้อสรุปที่จะตัดสินใจค่าสูงสุดของการจัดตารางเวลาตามกฎหมายอยู่ใน{NP-ยาก} นั่นอาจเป็นสาเหตุที่ความพยายามครั้งก่อนทั้งหมดของเราในการค้นหาอัลกอริทึมล้มเหลว$\textsf{NP-hard}$

วิธีนี้มีปัญหาและจะถูกลบในไม่ช้า ดูความคิดเห็นของ templatetypedef

คุณสามารถแก้ปัญหานี้ในเวลาพหุนามโดยใช้การไหลขั้นต่ำค่าใช้จ่าย ในต่อไปนี้ขอบทั้งหมดมีความจุหน่วย

• สร้างจุดสุดยอดแหล่งและจุดสุดยอดเป้าหมายทีเราจะส่งหน่วยของการไหลจากไปที$s$$t$$k$$s$$t$
• สร้างจุดยอดเพื่อแทนจุดเวลาระหว่างสล็อตและขอบกำกับสำหรับแต่ละด้วยราคา 0$n+1$$v_0, \dots, v_n$$v_jv_{j+1}$$0 \le j < n$
• สำหรับแต่ละคนสร้างสิ่งต่อไปนี้: $i$
  • ย่อยแหล่งยอดและย่อยอ่างจุดสุดยอดt_i$s_i$$t_i$
  • สำหรับทุกขอบจากถึงมีค่าใช้จ่าย (ซึ่งเราใช้เป็น 0 ถ้า )$0 \le j < n$$s_i$$v_j$$\Sigma_{k=1}^j{h(i,k)}$$j=0$
  • ทุก ๆ , ขอบจากเพื่อมีค่าใช้จ่ายk)}$1 \le j \le n$$v_j$$t_i$$-\Sigma_{k=1}^j{h(i,k)}$
  • ขอบมีค่าใช้จ่าย 0$ss_i$
  • ขอบมีค่าใช้จ่าย 0$t_it$

การไหลของต้นทุนต่ำสุดในเครือข่ายนี้จะมีต้นทุนรวมเท่ากับผลลบของกำไรที่ดีที่สุด (ค่าใช้จ่ายนี้จะเป็นค่าลบ แต่นั่นไม่ใช่ปัญหา) มีวิธีแก้ปัญหาแบบอินทิกรัลที่ดีที่สุดที่ทุกคนที่มีขอบเดียวปล่อยให้ด้วยการไหลของ 1 และขอบเดียวถึงที่ไหล 1 และ ขอบอื่น ๆ ทั้งหมดที่เกิดขึ้นบนหรือมีการไหล 0 ปล่อยให้ flow-1 edge เหล่านี้สำหรับคนที่เป็นและ : แล้วเนื่องจากเส้นทางเดียวในหมู่ -vertices คือพวกที่เพิ่มตัวห้อย ถ้า$i$$s_i$$t_i$$s_i$$t_i$$i$$s_iv_j$$v_kt_i$$k \ge j$$v$$k = j$ดังนั้นบุคคลที่ถูกจัดสรรไม่มีช่วงเวลา มิฉะนั้นคนที่จะถูกจัดสรรบล็อกของช่องเวลาที่k$i$$i$$j+1, \dots, k$

โดยสัญชาตญาณแต่ละคน "รับ" 1 หน่วยการไหลจากและเลือกเวลาเริ่มต้น (ขอบ) และเวลาสิ้นสุด (ขอบ) ขอบเริ่มต้นและสิ้นสุดเป็นเพียงขอบเท่านั้นที่มีค่าใช้จ่ายที่ไม่เป็นศูนย์ในเครือข่ายและเราสามารถแสดงค่าของบล็อกเป็นความแตกต่างของจำนวนเงินนำหน้าสองคำ ความจุของหน่วยบนขอบระหว่าง -vertices ทำหน้าที่ป้องกันไม่ให้ 2 คนจากการใช้ช่วงเวลาเดียวกัน$s$$j+1, \dots, k$$v$

ที่น่าสนใจสูตรนี้จะใช้ได้แม้ว่าค่าอาจเป็นลบ$h(i, j)$