โครงสร้างข้อมูลที่ใช้การเปรียบเทียบสำหรับการค้นหารายการ

มีโครงสร้างข้อมูลที่ใช้อาร์เรย์ที่ไม่มีการเรียงลำดับของรายการ $n$ ดำเนินการประมวลผลล่วงหน้าใน $O(n)$ และค้นหาคำตอบ: มีองค์ประกอบ $x$ ในรายการแต่ละแบบสอบถามในเวลาที่เลวร้ายที่สุด $O(\log n)$ หรือไม่

ฉันคิดว่ามันไม่มีจริง ๆ ดังนั้นหลักฐานที่แสดงว่าไม่มีใครได้รับการต้อนรับด้วย

ds.data-structures sorting

— Chi-Lan
แหล่งที่มา

(1) ฉันไม่รู้ว่าทำไมคุณถึงพูดว่า "แน่นอนฉันจะพิจารณาเวลาที่คาดหวัง" เพราะคุณไม่ได้ระบุว่า "คาดหวัง" ในคำถามของคุณเลย โปรดลองระบุคำถามของคุณให้ละเอียดยิ่งขึ้นก่อนพูด“ แน่นอน” (2) โปรดระบุ“ ไม่แฮชได้”

— Tsuyoshi Ito

(1) ฉันเห็น ขอบคุณสำหรับคำอธิบาย ถ้ามีคนถามว่า“ คุณสนใจเวลาทำงานหรือไม่?” คำตอบนั้นแน่นอน“ แน่นอน” :) (2) ฉันคิดว่า“ การกระทำที่ได้รับอนุญาตเพียงอย่างเดียวคือการเปรียบเทียบสองค่าในรายการ” แม่นยำกว่า มากกว่าเพียงแค่ระบุว่า "ไม่แฮช" คุณสามารถแก้ไขคำถามเพื่อให้คนไม่ต้องอ่านความคิดเห็นเพื่อทำความเข้าใจว่า "ไม่แฮช" หมายถึงอะไร?

— Tsuyoshi Ito

ถ้าคุณไม่สามารถพิสูจน์ได้ทำไมคุณถึงรู้ว่ามันเป็นไปไม่ได้ หากเป็นการออกกำลังกายในตำราหรือชั้นเรียนคุณกำลังขอเว็บไซต์ผิด

— Tsuyoshi Ito

นี่เป็นคำถามของคุณหรือไม่: มีโครงสร้างข้อมูลที่ใช้อาร์เรย์ที่ไม่มีการเรียงลำดับของรายการ n ดำเนินการประมวลผลล่วงหน้าใน O (n) และค้นหาคำตอบ: มีองค์ประกอบ x ในรายการแต่ละแบบสอบถามในเวลาที่เลวร้ายที่สุด O (log n) หรือไม่

— sdcvvc

@Filip: มันดูง่ายไหม? ถ้าเป็นจริงฉันก็เห็นด้วยที่จะแก้ปัญหา

— Tsuyoshi Ito

คำตอบ:

นี่เป็นข้อพิสูจน์ว่าเป็นไปไม่ได้ สมมติว่าคุณสามารถสร้างโครงสร้างข้อมูลดังกล่าว สร้างมัน แล้วเลือกรายการที่สุ่มจากรายการเพิ่มแต่ละของพวกเขาที่มีขนาดเล็กกว่าความแตกต่างระหว่างสองรายการในรายการและทำการสอบถามเพื่อตรวจสอบว่ารายการใด ๆ ที่เกิดขึ้นอยู่ใน รายการ. คุณได้ทำการค้นหาครั้ง $n/\log n$ $\epsilon$ $\epsilon$ $O(n)$

ผมอยากที่จะอ้างว่ารถของคุณได้มีเพียงพอที่จะบอกได้ว่ารายการในรายการเดิมมีขนาดเล็กกว่าหรือใหญ่กว่าใด ๆ รายการใหม่ขสมมติว่าคุณไม่สามารถบอกได้ จากนั้นเนื่องจากนี่เป็นรูปแบบการเปรียบเทียบคุณจะไม่ทราบว่าเท่ากับหรือไม่ซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐานที่ว่าโครงสร้างข้อมูลของคุณทำงาน $a$ $b$ $a$ $b$

ตอนนี้ตั้งแต่รายการที่คุณเลือกที่จะเป็นแบบสุ่มรถของคุณได้มีโอกาสสูงที่ได้รับข้อมูลเพียงพอที่จะแบ่งรายชื่อเดิมเข้ารายการแต่ละขนาด )โดยการเรียงลำดับแต่ละรายการเหล่านี้คุณจะได้รับแบบสุ่ม- อัลกอริทึมการเรียงลำดับเวลาตามการเปรียบเทียบเท่านั้นซึ่งเป็นข้อขัดแย้ง $n/\log n$ $n/\log n$ $O(\log n)$ $O(n \log \log n)$

— ปีเตอร์แคระ
แหล่งที่มา

คำแนะนำเล็กน้อยเพื่อช่วยในการทำความเข้าใจหลักฐาน (สมมติว่าฉันเข้าใจถูกต้องเองแน่นอน): รายการ

ควรกรอกโดยรายการหลังจาก

ได้รับการเพิ่มพวกเขา; การเปรียบเทียบการค้ำประกันรูปแบบที่คุณทราบว่ากรณีที่

และ

ถือ; รายการ

อยู่ใน 'ลำดับจากน้อยไปหามาก': ทุกองค์ประกอบในรายการที่สูงกว่าจะสูงกว่าทุกองค์ประกอบในรายการที่ต่ำกว่า หลังจากคำสั่งเดิมที่คุณมีเพียงพอข้อมูลที่จะทำให้รายการที่อยู่รอบ ๆ รายการที่คุณสุ่มเลือก

b

$b$

ϵ

$\epsilon$

a \leq b

$a \leq b$

a \geq b

$a \geq b$

n / \log n

$n / \log n$

— อเล็กซ์บริงค์สิบ

(ต่อ) โปรดทราบว่าคุณไม่จำเป็นต้องสร้างรายการในเวลาที่กำหนดเพื่อให้หลักฐานแสดงได้ชัดเจน

— Alex สิบ Brink

ฉันไม่เงียบเลยที่จะเข้าใจหลักฐานนี้ ความขัดแย้งสุดท้ายนั้นปิด "อัลกอริทึมตามการเปรียบเทียบเท่านั้น" แต่ในขั้นตอนแรกของอัลกอริทึมของเราเราได้เพิ่ม

ให้กับแต่ละรายการ (เพิ่มเติมซึ่ง "

นั้นเล็กกว่าความแตกต่างระหว่างสองรายการในรายการ") เหตุใดเรายังคงให้เหตุผลว่าอัลกอริทึมของเรายังคงทำการเปรียบเทียบเท่านั้นหากเราสมมติว่ารายการของเรามีลำดับรวมที่ไม่ต่อเนื่องกัน?

ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

— Artem Kaznatcheev

x \in X

$x \in X$

X^{'} = X \times {0, 1}

$X' = X \times \{0,1\}$

x \in X

$x \in X$

(x, 0) \in X^{'}

$(x,0) \in X'$

x + ϵ

$x + \epsilon$

(x, 1) \in X^{'}

$(x,1) \in X'$

X^{'}

$X'$

X

$X$

O (\log^{2} n)

$O(\log^2 n)$

$\mathcal{O}(\log ^k n)$ $\mathcal{O}(n)$

$\mathcal{O}(n)$

$A$ $\mathcal{O}(\log ^k n)$ $A = \mathcal{O}(\log ^k n)$

$A$

$\mathcal{O}(n \log \log n)$

— Aryabhata
แหล่งที่มา

นี่เป็นความคิดที่ดี และถ้าคุณสามารถแสดงให้เห็นว่าพาร์ทิชันโซ่ต้องรู้จักอัลกอริทึมแล้วคุณสามารถใช้การผสานเพื่อแสดงว่าจะใช้การเปรียบเทียบ O (n log log n) เพิ่มเติมเพื่อเรียงลำดับอินพุตทั้งหมดแทนที่จะใช้เซ่น แต่มีปัญหา: ทำไมอัลกอริธึมการเตรียมประมวลผลล่วงหน้าจึงต้องสร้างพาร์ติชันลูกโซ่ พาร์ติชันโซ่ต้องมีอยู่ใช่ แต่นั่นแตกต่างจากอัลกอริทึมที่รู้จักกันมาก

— David Eppstein

O (n \log \log n)

$O(n\log\log n)$

Ω (n \log n)

$\Omega(n\log n)$

Ω (n)

$\Omega(n)$

@Yuval: บางทีคุณควรเขียนข้อสังเกตนี้เป็นคำตอบจริงเพราะฉันคิดว่าคุณต้องทำงานในระดับปานกลางเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ดีกว่าจากบทพิสูจน์ในคำตอบ

— Peter Shor

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

Ω (n^{1 - ϵ})

$\Omega(n^{1-\epsilon})$

ϵ

$\epsilon$

o (n \log n)

$o(n \log n)$

O (n / \log n)

$O(n / \log n)$

\log n

$\log n$

n / \log n

$n/\log n$

θ (n \log \log n)

$\theta(n \log\log n)$

$k<n$ $Θ(n \log k)$ $n$ $c>0$ $c \, n \log k$ $≤c \, n \log k/k$ $k' = k / \log k ≤ n/\log n$ $O(n \log k') = O(n \log k)$ เวลาซึ่งทำให้ต้นทุนการสืบค้น $O(n/k')$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งการใช้การประมวลผลล่วงหน้าเราไม่สามารถมีค่าใช้จ่ายในการสืบค้นนอกจากนี้ประมวลผลล่วงหน้าสอดคล้องกับในสำหรับทุกๆดังนั้นค่าใช้จ่ายในการค้นหา $O(n)$ $o(n)$ $o(n \log n)$ $k$ $O(n^ε)$ $ε>0$ $Ω(n^{1−ε})$

— Dmytro Taranovsky
แหล่งที่มา