Python 2.7
วิธีนี้ใช้ประโยชน์จากข้อควรพิจารณาต่อไปนี้:
จำนวนเต็มใด ๆ สามารถแทนด้วยผลบวกของกำลังสอง เลขชี้กำลังในอำนาจของทั้งสองยังสามารถแสดงเป็นพลังของทั้งสอง ตัวอย่างเช่น:
8 = 2^3 = 2^(2^1 + 2^0) = 2^(2^(2^0) + 2^0)
นิพจน์เหล่านี้ที่เราลงท้ายด้วยสามารถแสดงเป็นชุดชุด (ใน Python ฉันใช้บิวด์อินfrozenset):
0{}กลายเป็นเซตว่าง2^aaกลายเป็นชุดที่มีชุดที่เป็นตัวแทนของ เช่น: และ1 = 2^0 -> {{}}2 = 2^(2^0) -> {{{}}}a+bกลายเป็น concatenation ของชุดตัวแทนและa bเช่น,3 = 2^(2^0) + 2^0 -> {{{}},{}}
ปรากฎว่าการแสดงออกของแบบฟอร์ม2^2^...^2สามารถเปลี่ยนเป็นชุดตัวแทนที่ไม่ซ้ำกันได้อย่างง่ายดายแม้ว่าค่าตัวเลขจะมีขนาดใหญ่เกินไปที่จะเก็บเป็นจำนวนเต็ม
สำหรับn=20สิ่งนี้ทำงานใน8.7sบน CPython 2.7.5 บนเครื่องของฉัน (ช้าลงเล็กน้อยใน Python 3 และช้ากว่ามากใน PyPy):
"""Analyze the expressions given by parenthesizations of 2^2^...^2.
Set representation: s is a set of sets which represents an integer n. n is
given by the sum of all 2^m for the numbers m represented by the sets
contained in s. The empty set stands for the value 0. Each number has
exactly one set representation.
In Python, frozensets are used for set representation.
Definition in Python code:
def numeric_value(s):
n = sum(2**numeric_value(t) for t in s)
return n"""
import itertools
def single_arg_memoize(func):
"""Fast memoization decorator for a function taking a single argument.
The metadata of <func> is *not* preserved."""
class Cache(dict):
def __missing__(self, key):
self[key] = result = func(key)
return result
return Cache().__getitem__
def count_results(num_exponentiations):
"""Return the number of results given by parenthesizations of 2^2^...^2."""
return len(get_results(num_exponentiations))
@single_arg_memoize
def get_results(num_exponentiations):
"""Return a set of all results given by parenthesizations of 2^2^...^2.
<num_exponentiations> is the number of exponentiation operators in the
parenthesized expressions.
The result of each parenthesized expression is given as a set. The
expression evaluates to 2^(2^n), where n is the number represented by the
given set in set representation."""
# The result of the expression "2" (0 exponentiations) is represented by
# the empty set, since 2 = 2^(2^0).
if num_exponentiations == 0:
return {frozenset()}
# Split the expression 2^2^...^2 at each of the first half of
# exponentiation operators and parenthesize each side of the expession.
split_points = xrange(num_exponentiations)
splits = itertools.izip(split_points, reversed(split_points))
splits_half = ((left_part, right_part) for left_part, right_part in splits
if left_part <= right_part)
results = set()
results_add = results.add
for left_part, right_part in splits_half:
for left in get_results(left_part):
for right in get_results(right_part):
results_add(exponentiate(left, right))
results_add(exponentiate(right, left))
return results
def exponentiate(base, exponent):
"""Return the result of the exponentiation of <operands>.
<operands> is a tuple of <base> and <exponent>. The operators are each
given as the set representation of n, where 2^(2^n) is the value the
operator stands for.
The return value is the set representation of r, where 2^(2^r) is the
result of the exponentiation."""
# Where b is the number represented by <base>, e is the number represented
# by <exponent> and r is the number represented by the return value:
# 2^(2^r) = (2^(2^b)) ^ (2^(2^e))
# 2^(2^r) = 2^(2^b * 2^(2^e))
# 2^(2^r) = 2^(2^(b + 2^e))
# r = b + 2^e
# If <exponent> is not in <base>, insert it to arrive at the set with the
# value: b + 2^e. If <exponent> is already in <base>, take it out,
# increment e by 1 and repeat from the start to eventually arrive at:
# b - 2^e + 2^(e+1) =
# b + 2^e
while exponent in base:
base -= {exponent}
exponent = successor(exponent)
return base | {exponent}
@single_arg_memoize
def successor(value):
"""Return the successor of <value> in set representation."""
# Call exponentiate() with <value> as base and the empty set as exponent to
# get the set representing (n being the number represented by <value>):
# n + 2^0
# n + 1
return exponentiate(value, frozenset())
def main():
import timeit
print timeit.timeit(lambda: count_results(20), number=1)
for i in xrange(21):
print '{:.<2}..{:.>9}'.format(i, count_results(i))
if __name__ == '__main__':
main()
(แนวคิดของมัณฑนากรตกแต่งบันทึกช่วยจำถูกคัดลอกมาจากhttp://code.activestate.com/recipes/578231-probably-the-fastest-memoization-decorator-in-the-/ )
เอาท์พุท:
8.667753234
0...........1
1...........1
2...........1
3...........2
4...........4
5...........8
6..........17
[...]
19.....688366
20....1619087
เวลาที่แตกต่างกันn:
n time
16 0.240
17 0.592
18 1.426
19 3.559
20 8.668
21 21.402
n21 ข้อใด ๆข้างต้นส่งผลให้เกิดข้อผิดพลาดของหน่วยความจำในเครื่องของฉัน
ฉันจะสนใจถ้าใครสามารถทำให้เร็วขึ้นโดยการแปลเป็นภาษาอื่น
แก้ไข:ปรับget_resultsฟังก์ชั่นให้เหมาะสมที่สุด นอกจากนี้การใช้ Python 2.7.5 แทนที่จะเป็น 2.7.2 ทำให้การรันเร็วขึ้นเล็กน้อย
2^nnคือเพียงแค่ใช้กฎของการยกกำลังดูเหมือนฉลาด อย่างไรก็ตามมีวิธีที่ชาญฉลาดและพีชคณิตอย่างสมบูรณ์ในการทำเช่นนี้