ฉันคิดว่ามันเกี่ยวกับเวลาที่เรามีคำถามพิสูจน์กอล์ฟอีกครั้ง

เวลานี้เรากำลังจะพิสูจน์ความจริงเชิงตรรกะที่รู้จักกันดี

$(A \rightarrow B) \rightarrow (\neg B \rightarrow \neg A)$

การทำเช่นนี้เราจะใช้Łukasiewiczที่สามของความจริง Schema , ชุดที่สง่างามอย่างเหลือเชื่อของสามหลักการที่มีความสมบูรณ์มากกว่าตรรกะประพจน์

นี่คือวิธีการทำงาน:

สัจพจน์

ระบบŁukasiewiczมีสัจพจน์สามประการ พวกเขาคือ:

$\phi\rightarrow(\psi\rightarrow\phi)$

$(\phi\rightarrow(\psi\rightarrow\chi))\rightarrow((\phi\rightarrow\psi)\rightarrow(\phi\rightarrow\chi))$

$(\neg\phi\rightarrow\neg\psi)\rightarrow(\psi\rightarrow\phi)$

หลักการความจริงสากลโดยไม่คำนึงถึงสิ่งที่เราเลือก ,และ\ณ จุดใดในหลักฐานเราสามารถแนะนำหนึ่งในสัจพจน์เหล่านี้ เมื่อเราแนะนำความจริงให้คุณแทนที่แต่ละกรณีของ ,และด้วย "การแสดงออกที่ซับซ้อน" การแสดงออกที่ซับซ้อนคือการแสดงออกที่ทำจากอะตอม (แสดงโดยตัวอักษร - ) และผู้ประกอบการหมายถึง ( ) และไม่ ( )$\phi$$\psi$$\chi$$\phi$$\psi$$\chi$Z →$A$$Z$$\rightarrow$$\neg$

ตัวอย่างเช่นถ้าฉันต้องการแนะนำความจริงแรก (LS1) ที่ฉันสามารถแนะนำได้

$A\rightarrow(B\rightarrow A)$

หรือ

$(A\rightarrow A)\rightarrow(\neg D\rightarrow(A\rightarrow A))$

ในกรณีแรกคือและคือในขณะที่ในกรณีที่สองทั้งสองเกี่ยวข้องกับนิพจน์มากกว่า คือและ WASD$\phi$ψ B φ ( → ) ψ ¬ D$A$$\psi$$B$$\phi$$(A\rightarrow A)$$\psi$$\neg D$

การทดแทนที่คุณเลือกใช้จะขึ้นอยู่กับสิ่งที่คุณต้องการในการพิสูจน์ในขณะนี้

Modus Ponens

ตอนนี้เราสามารถแนะนำข้อความที่เราต้องการเชื่อมโยงเข้าด้วยกันเพื่อสร้างข้อความใหม่ วิธีการที่ทำใน Axiom Schema (LS) ของŁukasiewiczนั้นอยู่ที่ Modus Ponens Modus Ponens ให้เราจดสองข้อความในแบบฟอร์ม

$\phi$

$\phi\rightarrow \psi$

และยกตัวอย่างคำสั่งใหม่

$\psi$

เช่นเดียวกับ Axiomsและเราที่สามารถยืนหยัดเพื่อแถลงการณ์ใดก็ได้$\phi$$\psi$

ทั้งสองงบสามารถอยู่ที่ใดก็ได้ในการพิสูจน์พวกเขาไม่จำเป็นต้องติดกันหรือคำสั่งพิเศษใด ๆ

งาน

งานของคุณจะได้รับการพิสูจน์กฎหมายของ contrapositives นี่คือคำสั่ง

$(A\rightarrow B)\rightarrow(\neg B\rightarrow\neg A)$

ตอนนี้คุณอาจสังเกตเห็นว่าสิ่งนี้ค่อนข้างคุ้นเคยมันเป็นการยกตัวอย่างของการย้อนกลับของสัจพจน์ที่สามของเรา

$(\neg\phi\rightarrow\neg\psi)\rightarrow(\psi\rightarrow\phi)$

อย่างไรก็ตามนี่ไม่ใช่ความสำเร็จเล็กน้อย

เกณฑ์การให้คะแนน

การให้คะแนนสำหรับความท้าทายนี้ค่อนข้างง่ายทุกครั้งที่คุณยกตัวอย่างความจริงนับเป็นจุดและการใช้ modus ponens แต่ละครั้งนั้นนับเป็นประเด็น นี่คือจำนวนบรรทัดในหลักฐานของคุณ เป้าหมายควรจะลดคะแนนของคุณ (ทำให้ต่ำที่สุดเท่าที่จะทำได้)

ตัวอย่างหลักฐาน

ตกลงตอนนี้ให้ใช้สิ่งนี้เพื่อสร้างหลักฐานขนาดเล็ก เราจะพิสูจน์$A\rightarrow A$

บางครั้งมันเป็นการดีที่สุดที่จะทำงานย้อนกลับเพราะเรารู้ว่าเราต้องการอยู่ที่ไหน ในกรณีนี้เนื่องจากเราต้องการลงท้ายด้วยและนี่ไม่ใช่หนึ่งในสัจพจน์ของเราที่เรารู้ว่าขั้นตอนสุดท้ายจะต้องเป็น modon ponens ดังนั้นจุดสิ้นสุดของการพิสูจน์ของเราจะมีลักษณะเช่นนี้$A\rightarrow A$

φ
φ → (A → A)
A → A       M.P.

เท็กซ์

โดยที่เป็นสำนวนที่เรายังไม่รู้คุณค่าของ ตอนนี้เราจะมุ่งเน้นไปที่A) สิ่งนี้สามารถถูกแนะนำโดย modus ponens หรือ LS3 LS3 ต้องการให้เราพิสูจน์ซึ่งดูยากพอ ๆ กับดังนั้นเราจะไปกับ modon ponens ดังนั้นตอนนี้ข้อพิสูจน์ของเราดูเหมือน$\phi$$\phi\rightarrow(A\rightarrow A)$$(\neg A\rightarrow\neg A)$$(A\rightarrow A)$

φ
ψ
ψ → (φ → (A → A))
φ → (A → A)        M.P.
A → A              M.P.

เท็กซ์

ตอนนี้ดูเหมือนกับสัจพจน์ที่สองของเรา LS2 ดังนั้นเราจะเติมมันในรูปแบบ LS2$\psi\rightarrow(\phi\rightarrow(A\rightarrow A))$

A → χ
A → (χ → A)
(A → (χ → A)) → ((A → χ) → (A → A)) L.S.2
(A → χ) → (A → A)                   M.P.
A → A                               M.P.

เท็กซ์

ตอนนี้ประโยคที่สองของเราสามารถสร้างได้อย่างชัดเจนจาก LS1 ดังนั้นเราจะเติมคำนั้นลงไป$(A\rightarrow(\chi\rightarrow A))$

A → χ
A → (χ → A)                         L.S.1
(A → (χ → A)) → ((A → χ) → (A → A)) L.S.2
(A → χ) → (A → A)                   M.P.
A → A                               M.P.

เท็กซ์

ตอนนี้เราก็ต้องไปหาเช่นที่เราสามารถพิสูจน์Aสิ่งนี้สามารถทำได้อย่างง่ายดายด้วย LS1 ดังนั้นเราจะลองทำดู$\chi$→การχ$A\rightarrow\chi$

A → (ω → A)                                     L.S.1
A → ((ω → A) → A)                               L.S.1
(A → ((ω → A) → A)) → ((A → (ω → A)) → (A → A)) L.S.2
(A → (ω → A)) → (A → A)                         M.P.
A → A                                           M.P.

เท็กซ์

ตอนนี้เนื่องจากทุกขั้นตอนของเราเป็นธรรมเราสามารถกรอกเป็นคำสั่งใด ๆ ที่เราต้องการและหลักฐานจะถูกต้อง เราสามารถเลือกแต่ผมจะเลือกเพื่อให้เป็นที่ชัดเจนว่ามันไม่จำเป็นที่จะต้อง$\omega$$A$$B$$A$

A → (B → A)                                     L.S.1
A → ((B → A) → A)                               L.S.1
(A → ((B → A) → A)) → ((A → (B → A)) → (A → A)) L.S.2
(A → (B → A)) → (A → A)                         M.P.
A → A                                           M.P.

เท็กซ์

ลองออนไลน์!

และนั่นคือข้อพิสูจน์

ทรัพยากร

โปรแกรมตรวจสอบ

นี่คือโปรแกรม Prolog ที่คุณสามารถใช้เพื่อตรวจสอบว่าหลักฐานของคุณเป็นจริง ควรวางแต่ละขั้นตอนในบรรทัดของตัวเอง ->ควรใช้สำหรับการบอกเป็นนัยและ-ไม่ควรใช้อะตอมสามารถแสดงสตริงของอักขระตัวอักษรใด ๆ ได้

Metamath

Metamathใช้ระบบŁukasiewiczสำหรับการพิสูจน์ในแคลคูลัสเชิงประพจน์ดังนั้นคุณอาจต้องการแหย่ที่นั่นเล็กน้อย พวกเขายังมีหลักฐานการทฤษฎีบทความท้าทายนี้ขอซึ่งสามารถพบได้ที่นี่ มีคำอธิบายที่นี่ของวิธีการอ่านการพิสูจน์

เครื่องพิสูจน์อันเหลือเชื่อ

@ Antonyทำให้ฉันตระหนักถึงเครื่องมือที่เรียกว่าเครื่อง Incredible Proofซึ่งช่วยให้คุณสร้างการพิสูจน์ในหลายระบบโดยใช้ระบบการพิสูจน์กราฟิกที่ดี หากคุณเลื่อนลงคุณจะพบว่าพวกเขาสนับสนุนระบบŁukasiewicz ดังนั้นถ้าคุณเป็นคนที่มีทัศนวิสัยมากขึ้นคุณสามารถพิสูจน์หลักฐานของคุณได้ที่นั่น คะแนนของคุณจะเป็นจำนวนบล็อกที่ใช้ลบ 1

88 82 77 72 ขั้นตอน

ขอบคุณ H.PWiz สำหรับการแปลง combinator ที่ดีกว่าที่บันทึก 10 ขั้นตอน!

คำอธิบาย

คุณอาจคุ้นเคยกับการโต้ตอบของ Curry – Howardซึ่งในทางทฤษฎีนั้นสอดคล้องกับประเภทและการพิสูจน์ที่สอดคล้องกับโปรแกรมประเภทเหล่านั้น สัจพจน์สองประการแรกในระบบŁukasiewiczคือที่จริงแล้วเป็นcombinators K และ Sและเป็นที่รู้กันดีว่าเราสามารถแปลนิพจน์แคลคูลัสแลมบ์ดาเป็นนิพจน์ SK combinatory

ลองเขียนนิพจน์ที่สอดคล้องกับสัจพจน์ของเรา (ต่อไปนี้คือไวยากรณ์ Haskell ที่ถูกต้องซึ่งสะดวกเพราะเราสามารถตรวจสอบหลักฐานของเราโดยใช้คอมไพเลอร์ Haskell):

data Not φ

k :: φ -> (ψ -> φ)
k x _ = x

s :: (φ -> (ψ -> χ)) -> ((φ -> ψ) -> (φ -> χ))
s x y z = x z (y z)

c :: (Not φ -> Not ψ) -> (ψ -> φ)
c = error "non-computational axiom"

จากนั้นเราสามารถเขียนหลักฐานของคำสั่งที่ต้องการเป็นโปรแกรมในแง่ของc(ส่วนนี้ใช้ความฉลาดเล็กน้อย แต่มันง่ายมากที่จะเขียนสิ่งนี้มากกว่าการพิสูจน์ตามจริง 72 บรรทัด):

pf :: (a -> b) -> (Not b -> Not a)
pf x y = c (\z -> c (\_ -> y) (x (c (c (\_ -> z)) x))) k

และแปลงเป็นนิพจน์ combinatory ของ SK:

pf' :: (a -> b) -> (Not b -> Not a)
pf' =
  s (k (s (k (s c (k k)))))
    (s (k (s (s (k s) (s (k k) (s (k c) k)))))
       (s (k k) (s (k (s s (s (s (k c) (s (k c) k))))) k)))

Combinators 17 k, 16 sและ 4 cด้านบนสอดคล้องกับการร้องขอ 16 LS1, 16 LS2 และ 4 LS3 ในการพิสูจน์ด้านล่างและ 38 แอปพลิเคชันของฟังก์ชันเพื่อค่าด้านบนสอดคล้องกับการร้องขอ 38 MP ด้านล่าง

ทำไมมีการเรียกใช้ LS1 เพียง 16 ครั้งเท่านั้น ปรากฎว่าหนึ่งในkcombinators ด้านบนมีตัวแปรชนิดฟรีและการสร้างอินสแตนซ์ให้มันเปลี่ยนเป็นอย่างซ้ำกับอันอื่นที่ได้รับมาแล้ว

การพิสูจน์

1. (A → B) → (¬¬A→ (A → B)) LS1
2. →A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A) LS1
3. (¬¬ (A → B) →¬¬A) → (¬A→¬ (A → B)) LS3
4. ((¬¬ (A → B) →¬¬A) → (¬A→¬ (A → B))) → (¬¬A→ ((¬¬ (A → B) →¬¬A) →) (¬ A →¬ (A → B)))) LS1
5. →A→ ((¬¬ (A → B) →¬¬A) → (¬A→¬ (A → B))) MP 4,3
6. (¬¬A→ ((¬¬ (A → B) →¬¬A) →) (¬A→¬ (A → B)))) → ((¬¬A→ (→A A → B) →¬) ¬A)) → (¬¬A→ (¬A→¬ (A → B)))) LS2
7. (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A)) → (¬¬A→ (¬A→¬ (A → B))) MP 6,5
8. →A→ (¬A→¬ (A → B)) MP 7,2
9. (¬A→¬ (A → B)) → ((A → B) → A) LS3
10. ((¬A→¬ (A → B)) → ((A → B) → A)) → (¬¬A→ ((¬A→¬ (A → B)) → (A → B) → A ))) LS1
11. →A→ ((¬A→¬ (A → B)) → ((A → B) → A)) MP 10,9
12. (¬¬A→ ((¬A→¬ (A → B)) → ((A → B) → A))) → ((¬¬A→ (¬A→¬ (A → B))) → ( ¬¬A→ ((A → B) → A))) LS2
13. (¬¬A→ (¬A→¬ (A → B))) → (¬¬A→ ((A → B) → A)) MP 12,11
14. →A→ ((A → B) → A) MP 13,8
15. (¬¬A→ ((A → B) → A)) → ((¬¬A→ (A → B)) → (¬¬A→ A)) LS2
16. (¬¬A→ (A → B)) → (¬¬A→ A) MP 15,14
17. (¬¬A→ (A → B)) → ((¬¬A→ A) → (¬¬A→ B)) LS2
18. ((¬¬A→ (A → B)) → ((¬¬A→ A) → (¬¬A→ B))) → ((¬¬A→ (A → B)) → (¬¬A → A)) → ((¬¬A→ (A → B)) → (¬¬A→ B))) LS2
19. ((¬¬A→ (A → B)) → (¬¬A→ A)) → ((¬¬A→ (A → B)) → (¬¬A→ B)) MP 18,17
20. (¬¬A→ (A → B)) → (¬¬A→ B) MP 19,16
21. ((¬¬A→ (A → B)) → (¬¬A→ B)) → ((A → B) → ((¬¬A→ (A → B)) → (¬¬A→ B)) ) LS1
22. (A → B) → ((¬¬A→ (A → B)) → (¬¬A→ B)) MP 21,20
23. ((A → B) → ((¬¬A→ (A → B)) → (¬¬A→ B))) → ((A → B) → (¬¬A→ (A → B))) → ((A → B) → (¬¬A→ B))) LS2
24. ((A → B) → (¬¬A→ (A → B))) → ((A → B) → (¬¬A→ B)) MP 23,22
25. (A → B) → (¬¬A→ B) MP 24,1
26. (¬¬A→ B) → (¬B→ (¬¬A→ B)) LS1
27. ((¬¬A→ B) → (¬B→ (¬¬A→ B))) → ((A → B) → ((¬¬A→ B) →) (¬B→ (¬¬A→ B) ))) LS1
28. (A → B) → ((¬¬A→ B) → (¬B→ (¬¬A→ B))) MP 27,26
29. ((A → B) → ((¬¬A→ B) → (¬B→ (¬¬A→ B)))) → ((A → B) → (¬¬A→ B)) → (( A → B) → (¬B→ (¬¬A→ B)))) LS2
30. ((A → B) → (¬¬A→ B)) → ((A → B) → (¬B→ (¬¬A→ B))) MP 29,28
31. (A → B) → (¬B→ (¬¬A→ B)) MP 30,25
32. →B→ (¬¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A)) →¬B) LS1
33. (¬¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A)) →¬B)) → (B →¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A)) ) LS3
34. ((¬¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A)) →¬B) → (B →¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A)) ))) → (¬B→ ((¬¬ (¬¬A→) (→ (A → B) →¬¬A)) →¬B) → (B →¬ (¬¬A→ (¬¬ (A) → B) →¬¬A))))) LS1
35. ¬B→ ((¬¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A)) →¬B) → (B →¬ (¬¬A→ (→ (A → B) →¬) ¬A)))) MP 34,33
36. (¬B→ ((¬¬ (¬¬A→) (→ (A → B) →¬¬A)) →¬B) → (B →¬ (¬¬A→ (→A A → B) →) ¬¬A)))) → (¬B→ (¬¬A (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A)) →¬B)) → (¬B→ (B →¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A))))) LS2
37. (¬B→ (¬¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A)) →¬B)) → (¬B→ (B → B (¬¬A→ (¬¬A) → B) →¬¬A)))) MP 36,35
38. ¬B→ (B →¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A))) MP 37,32
39. (B →¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A))) → (¬¬A→ (B →¬ (¬¬A→ (→ (A → B) →¬¬)) A)))) LS1
40. ((B →¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A)))) → (¬¬A→ (B →¬ (¬¬A→ (→ (A → B) →¬)) ¬A)))) → (¬B→ ((B →¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A)))) → (¬¬A→ (B →¬ (¬¬) A → (¬¬ (A → B) →¬¬A)))))) LS1
41. ¬B→ ((B →¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A)))) (¬¬A→ (B → B (¬¬A→ (→A A → B) ) →¬¬A))))) MP 40,39
42. (¬B→ ((B →¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A)))) (¬¬A→ (B → B (→A→ (→ (A →) B) →¬¬A))))) → ((B → (B →¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A)))) → (¬B→ (¬B →A→ (B →¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A))))))) LS2
43. (¬B→ (B →¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A))))) → (¬B→ (¬A→ (B →¬ (→A→ (¬A) ¬ (A → B) →¬¬A))))) MP 42,41
44. ¬B→ (¬¬A→ (B →¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A)))) MP 43,38
45. (¬¬A→ (B →¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A)))) → ((¬¬A→ B) → (¬¬A→¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) →¬¬A)))) LS2
46. ((¬¬A→ (B →¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A))))) ((¬¬A→ B) → (¬¬A→¬ (¬¬A) A → (¬¬ (A → B) →¬¬A)))) → (¬B→ ((¬¬A→ (B → B) (¬¬A→ (→ (A → B) →¬¬) A)))) → ((¬¬A→ B) → (¬¬A→¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A)))))) LS1
47. ¬B→ ((¬¬A→ (B →¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A))))) → ((¬¬A→ B) → (¬¬A→¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A))))) MP 46,45
48. (¬B→ ((¬¬A→ (B →¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A))))) → ((¬¬A→ B) → (¬¬A→ ¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A))))) → ((¬B→ (¬¬A→ (B → BA) (B → BA (A → B) →¬¬A)))) → (¬B→ ((¬¬A→ B)) → (¬¬A→¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A)) )))) LS2
49. (¬B→ (¬¬A→ (B →¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A)))))) → (¬B→ (¬¬A→ B) → ( →A→¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A))))) MP 48,47
50. ¬B→ ((¬¬A→ B) → (¬¬A→¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A)))) MP 49,44
51. (¬B→ ((¬¬A→ B)) → (¬¬A→¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A))))) → (¬B→ (¬¬B A → B)) → (¬B→ (¬¬A→¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A))))) LS2
52. (¬B→ (¬¬A→ B)) → (¬B→ (¬¬A→¬ (¬¬A→ (¬¬A (A → B) →¬¬A)))) MP 51,50
53. ((¬B→ (¬¬A→ B)) → (¬B→ (¬¬A→¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A))))) → (A → B) → ((¬B→ (¬¬A→ B)) → (¬B→ (¬¬A→¬ (¬¬A→ (¬¬A→ B) →)))) ) LS1
54. (A → B) → ((¬B→ (¬¬A→ B)) → (¬B→ (¬¬A→¬ (¬¬A→ (¬¬A→ B) →¬¬A))) )) MP 53,52
55. ((A → B) → ((¬B→ (¬¬A→ B))) → (¬B→ (¬¬A→¬ (¬¬A→ (¬¬A→ B) →¬¬A)) )))) → ((A → B) → (¬B→ (¬¬A→ B))) → ((A → B) → (¬B→ (¬¬A→¬ (¬¬A→ () ¬¬ (A → B) →¬¬A)))))) LS2
56. ((A → B) → (¬B→ (¬¬A→ B))) → ((A → B) → (¬B→ (¬¬A→¬ (¬¬A→ (→A→ B)) ) →¬¬A))))) MP 55,54
57. (A → B) → (¬B→ (¬¬A→¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A)))) MP 56,31
58. (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A))) ((¬¬A→¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A))) → (¬ →A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A))) LS1
59. (¬¬A→¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A)))) → (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A)) MP 58,2
60. (¬¬A→¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A)))) → ((¬¬A→ (¬¬A (A → B) →¬¬A)) →¬A ) LS3
61. ((¬¬A→¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A)))) ((¬¬A→ (¬¬A→ B) →¬¬A)) →¬ A)) → (((¬¬A→¬ (¬¬A→) (→ (A → B) →¬¬A))) → (¬¬A→ (¬¬A (A → B) →¬¬A) ))) → ((¬¬A→¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A))) →→¬A)) LS2
62. ((¬¬A→¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A)))) → (¬¬A→ (¬¬A (A → B) →¬¬A))) → ( (¬¬A→¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A)))) →¬A) MP 61,60
63. (¬¬A→¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A)))) →¬A MP 62,59
64. ((¬¬A→¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A))) →¬A) → (¬B→ ((¬¬A→¬ (¬¬A→ (¬A) ¬ (A → B) →¬¬A))) →¬A)) LS1
65. ¬B→ ((¬¬A→¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A)))) →¬A) MP 64,63
66. (¬B→ ((¬¬A→¬ (¬¬A→ (→ (A → B) →¬¬A))) →¬A)) → ((¬B→ (¬¬A→¬ (¬A) →A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A)))) → (¬B→¬A)) LS2
67. (¬B→ (¬¬A→¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A))))) → (¬B→¬A) MP 66,65
68. ((¬B→ (¬¬A→¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A))))) → (¬B→¬A)) → ((A → B) → ( (¬B→ (¬¬A→¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A))))) → (¬B→¬A)) LS1
69. (A → B) → ((¬B→ (¬¬A→¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A))))) → (¬B→¬A)) MP 68, 67
70. ((A → B) → ((¬B→ (¬¬A→¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A))))) → (¬B→¬A)) → (((A → B)) → (¬B→ (¬¬A→¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A))))) →) ((A → B) → (¬ B →¬A))) LS2
71. ((A → B) → (¬B→ (¬¬A→¬ (¬¬A→ (¬¬ (A → B) →¬¬A)))))) → ((A → B) → (¬B →¬A)) MP 70,69
72. (A → B) → (¬B→¬A) MP 71,57

ลองออนไลน์!

91 ขั้นตอน

หลักฐานเต็มรูปแบบ:

1. (A → B) → (¬¬A → (A → B)) LS1
2. (¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)) LS2
3. ((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) → ((A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)))) LS1
4. (A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) MP 3,2
5. ((A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)))) → (((A → B) → (¬¬A → (A → B))) → ((A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)))) LS2
6. ((A → B) → (¬¬A → (A → B))) → ((A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) MP 5,4
7. (A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)) MP 6,1
8. ¬A → (¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) LS1
9. (¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A))) LS3
10. ((¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A)))) → (¬A → ((¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A))))) LS1
11. ¬A → ((¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A)))) MP 10,9
12. (¬A → ((¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A))))) → ((¬A → (¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A)) → (¬A → (A → ¬(B → (¬A → A))))) LS2
13. (¬A → (¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A)) → (¬A → (A → ¬(B → (¬A → A)))) MP 12,11
14. ¬A → (A → ¬(B → (¬A → A))) MP 13,8
15. (¬A → (A → ¬(B → (¬A → A)))) → ((¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A)))) LS2
16. (¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A))) MP 15,14
17. (¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A) LS3
18. ((¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A)) → ((¬A → A) → ((¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A))) LS1
19. (¬A → A) → ((¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A)) MP 18,17
20. ((¬A → A) → ((¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A))) → (((¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A)))) → ((¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A))) LS2
21. ((¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A)))) → ((¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A)) MP 20,19
22. (¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A) MP 21,16
23. (¬A → A) → (B → (¬A → A)) LS1
24. ((¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A)) → (((¬A → A) → (B → (¬A → A))) → ((¬A → A) → A)) LS2
25. ((¬A → A) → (B → (¬A → A))) → ((¬A → A) → A) MP 24,22
26. (¬A → A) → A MP 25,23
27. ¬¬A → (¬A → ¬¬A) LS1
28. (¬A → ¬¬A) → (¬A → A) LS3
29. ((¬A → ¬¬A) → (¬A → A)) → (¬¬A → ((¬A → ¬¬A) → (¬A → A))) LS1
30. ¬¬A → ((¬A → ¬¬A) → (¬A → A)) MP 29,28
31. (¬¬A → ((¬A → ¬¬A) → (¬A → A))) → ((¬¬A → (¬A → ¬¬A)) → (¬¬A → (¬A → A))) LS2
32. (¬¬A → (¬A → ¬¬A)) → (¬¬A → (¬A → A)) MP 31,30
33. ¬¬A → (¬A → A) MP 32,27
34. ((¬A → A) → A) → (¬¬A → ((¬A → A) → A)) LS1
35. ¬¬A → ((¬A → A) → A) MP 34,26
36. (¬¬A → ((¬A → A) → A)) → ((¬¬A → (¬A → A)) → (¬¬A → A)) LS2
37. (¬¬A → (¬A → A)) → (¬¬A → A) MP 36,35
38. ¬¬A → A MP 37,33
39. (¬¬A → A) → ((A → B) → (¬¬A → A)) LS1
40. (A → B) → (¬¬A → A) MP 39,38
41. ((A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) → (((A → B) → (¬¬A → A)) → ((A → B) → (¬¬A → B))) LS2
42. ((A → B) → (¬¬A → A)) → ((A → B) → (¬¬A → B)) MP 41,7
43. (A → B) → (¬¬A → B) MP 42,40
44. ¬¬B → (¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) LS1
45. (¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) LS3
46. ((¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) → (¬¬B → ((¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))))) LS1
47. ¬¬B → ((¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) MP 46,45
48. (¬¬B → ((¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))))) → ((¬¬B → (¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B)) → (¬¬B → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))))) LS2
49. (¬¬B → (¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B)) → (¬¬B → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) MP 48,47
50. ¬¬B → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) MP 49,44
51. (¬¬B → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) → ((¬¬B → ¬B) → (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) LS2
52. (¬¬B → ¬B) → (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) MP 51,50
53. (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B) LS3
54. ((¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B)) → ((¬¬B → ¬B) → ((¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B))) LS1
55. (¬¬B → ¬B) → ((¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B)) MP 54,53
56. ((¬¬B → ¬B) → ((¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B))) → (((¬¬B → ¬B) → (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) → ((¬¬B → ¬B) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B))) LS2
57. ((¬¬B → ¬B) → (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) → ((¬¬B → ¬B) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B)) MP 56,55
58. (¬¬B → ¬B) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B) MP 57,52
59. (¬¬B → ¬B) → (B → (¬¬B → ¬B)) LS1
60. ((¬¬B → ¬B) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B)) → (((¬¬B → ¬B) → (B → (¬¬B → ¬B))) → ((¬¬B → ¬B) → ¬B)) LS2
61. ((¬¬B → ¬B) → (B → (¬¬B → ¬B))) → ((¬¬B → ¬B) → ¬B) MP 60,58
62. (¬¬B → ¬B) → ¬B MP 61,59
63. ¬¬¬B → (¬¬B → ¬¬¬B) LS1
64. (¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B) LS3
65. ((¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B)) → (¬¬¬B → ((¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B))) LS1
66. ¬¬¬B → ((¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B)) MP 65,64
67. (¬¬¬B → ((¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B))) → ((¬¬¬B → (¬¬B → ¬¬¬B)) → (¬¬¬B → (¬¬B → ¬B))) LS2
68. (¬¬¬B → (¬¬B → ¬¬¬B)) → (¬¬¬B → (¬¬B → ¬B)) MP 67,66
69. ¬¬¬B → (¬¬B → ¬B) MP 68,63
70. ((¬¬B → ¬B) → ¬B) → (¬¬¬B → ((¬¬B → ¬B) → ¬B)) LS1
71. ¬¬¬B → ((¬¬B → ¬B) → ¬B) MP 70,62
72. (¬¬¬B → ((¬¬B → ¬B) → ¬B)) → ((¬¬¬B → (¬¬B → ¬B)) → (¬¬¬B → ¬B)) LS2
73. (¬¬¬B → (¬¬B → ¬B)) → (¬¬¬B → ¬B) MP 72,71
74. ¬¬¬B → ¬B MP 73,69
75. (¬¬¬B → ¬B) → (B → ¬¬B) LS3
76. B → ¬¬B MP 75,74
77. (B → ¬¬B) → (¬¬A → (B → ¬¬B)) LS1
78. ¬¬A → (B → ¬¬B) MP 77,76
79. (¬¬A → (B → ¬¬B)) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) LS2
80. (¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B) MP 79,78
81. ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) → ((A → B) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B))) LS1
82. (A → B) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) MP 81,80
83. ((A → B) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B))) → (((A → B) → (¬¬A → B)) → ((A → B) → (¬¬A → ¬¬B))) LS2
84. ((A → B) → (¬¬A → B)) → ((A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) MP 83,82
85. (A → B) → (¬¬A → ¬¬B) MP 84,43
86. (¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A) LS3
87. ((¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A)) → ((A → B) → ((¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A))) LS1
88. (A → B) → ((¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A)) MP 87,86
89. ((A → B) → ((¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A))) → (((A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) → ((A → B) → (¬B → ¬A))) LS2
90. ((A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) → ((A → B) → (¬B → ¬A)) MP 89,88
91. (A → B) → (¬B → ¬A) MP 90,85

ลองออนไลน์!

รุ่นที่มนุษย์อ่านได้มากขึ้นโดยใช้ 5 lemmas:

Lemma 1: From A → B and B → C, instantiate A → C. (5 steps)

1. B → C                                         given
2. (B → C) → (A → (B → C))                       L.S.1
3. A → (B → C)                                   M.P. (1,2)
4. (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))           L.S.2
5. (A → B) → (A → C)                             M.P. (3,4)
6. A → B                                         given
7. A → C                                         M.P. (6,5)

Lemma 2: ¬A → (A → B) (7 steps)

1. ¬A → (¬B → ¬A)                                L.S.1
2. (¬B → ¬A) → (A → B)                           L.S.3
3. ¬A → (A → B)                                  Lemma 1 (1,2)

Lemma 3: From A → (B → C) and A → B, instantiate A → C. (3 steps)

1. A → (B → C)                                   given
2. (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))           L.S.2
3. (A → B) → (A → C)                             M.P. (1,2)
4. A → B                                         given
5. A → C                                         M.P. (4,3)

Lemma 4: ¬¬A → A (31 steps)

1. ¬A → (A → ¬(B → (¬A → A)))                    Lemma 2
2. (¬A → (A → ¬(B → (¬A → A)))) → 
   ((¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A))))           L.S.2
3. (¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A)))             M.P. (1,2)
4. (¬A → ¬(B → (¬A → A))) →((B → (¬A → A)) → A)  L.S.3
5. (¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A)               Lemma 1 (3,4)
6. (¬A → A) → (B → (¬A → A))                     L.S.1
7. (¬A → A) → A                                  Lemma 3 (5,6)
8. ¬¬A → (¬A → A)                                Lemma 2
9. ¬¬A → A                                       Lemma 1 (8,7)

Lemma 5: (A → B) → (¬¬A → B) (43 steps)

1. (A → B) → (¬¬A → (A → B))                     L.S.1
2. (¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))     L.S.2
3. (A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))             Lemma 1 (1,2)
4. ¬¬A → A                                       Lemma 4
5. (¬¬A → A) → ((A → B) → (¬¬A → A))             L.S.1
6. (A → B) → (¬¬A → A)                           M.P. (4,5)
7. (A → B) → (¬¬A → B)                           Lemma 3 (3,6)

Theorem: (A → B) → (¬B → ¬A)

1. (A → B) → (¬¬A → B)                           Lemma 5
2. ¬¬¬B → ¬B                                     Lemma 4
3. (¬¬¬B → ¬B) → (B → ¬¬B)                       L.S.3
4. B → ¬¬B                                       M.P. (2,3)
5. (B → ¬¬B) → (¬¬A → (B → ¬¬B))                 L.S.1
6. ¬¬A → (B → ¬¬B)                               M.P. (4,5)
7. (¬¬A → (B → ¬¬B)) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) L.S.2
8. (¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)                       M.P. (6,7)
9. (A → B) → (¬¬A → ¬¬B)                         Lemma 1 (1,8)
10.(¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A)                       L.S.3
11.(A → B) → (¬B → ¬A)                           Lemma 1 (9,10)

59 ขั้นตอน

Norman Megill ผู้เขียน Metamath ได้บอกฉันเกี่ยวกับการพิสูจน์ขั้นตอนที่ 59 ซึ่งฉันจะโพสต์ที่นี่ในวิกิชุมชนนี้ ต้นฉบับสามารถพบได้ในทฤษฎีบท 2.16 ในหน้านี้

http://us.metamath.org/mmsolitaire/pmproofs.txt

เรื่องของเรื่องคือนอร์มกล่าวว่า: หน้านี้จะให้ความท้าทายมากมายสำหรับคุณที่จะเอาชนะ!

นี่คือข้อพิสูจน์

((P -> Q) -> (~ Q -> ~ P)); ! *2.16
((P -> Q) -> (~ Q -> ~ P)); ! Result of proof
DD2D1DD2D13DD2D1DD22D2DD2D13DD2D1311D2D1D3DD2DD2D13DD2D1311
; ! 59 steps

หลักฐานอยู่ในสัญกรณ์โปแลนด์ดังนั้นจึงเริ่มจากข้อสรุปและดำเนินการต่อไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งทุกคำศัพท์ได้รับความพึงพอใจจากความจริง การแม็พอักขระมีดังนี้: "1" คือ LS axiom 1, "2" คือ LS axiom 2, "3" คือ LS axiom 3 และ "D" คือ Modus Ponens

นี่คือข้อพิสูจน์ในรูปแบบที่แนะนำของ @ WW

01 ax-1          $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) )
02 ax-1          $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) )
03 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) )
04 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) ) )
05 3,4 ax-mp     $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) )
06 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) ) → ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) ) )
07 5,6 ax-mp     $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) )
08 2,7 ax-mp     $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) )
09 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) )
10 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) ) )
11 9,10 ax-mp    $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) )
12 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) ) → ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) ) )
13 11,12 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) )
14 8,13 ax-mp    $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) )
15 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) → ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ¬ B ) ) )
16 14,15 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ¬ B ) )
17 1,16 ax-mp    $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ¬ B )
18 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ¬ B ) → ( B → ¬ ¬ B ) )
19 17,18 ax-mp   $a |- ( B → ¬ ¬ B )
20 ax-1          $a |- ( ( B → ¬ ¬ B ) → ( A → ( B → ¬ ¬ B ) ) )
21 19,20 ax-mp   $a |- ( A → ( B → ¬ ¬ B ) )
22 ax-2          $a |- ( ( A → ( B → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → B ) → ( A → ¬ ¬ B ) ) )
23 21,22 ax-mp   $a |- ( ( A → B ) → ( A → ¬ ¬ B ) )
24 ax-1          $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) )
25 ax-1          $a |- ( ¬ ¬ A → ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) )
26 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) )
27 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) ) )
28 26,27 ax-mp   $a |- ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) )
29 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) ) )
30 28,29 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) )
31 25,30 ax-mp   $a |- ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) )
32 ax-3          $a |- ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) )
33 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) ) )
34 32,33 ax-mp   $a |- ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) )
35 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) ) )
36 34,35 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) )
37 31,36 ax-mp   $a |- ( ¬ ¬ A → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) )
38 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → A ) ) )
39 37,38 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → A ) )
40 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ ¬ A → A ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) )
41 ax-2          $a |- ( ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ ¬ A → A ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → A ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) )
42 40,41 ax-mp   $a |- ( ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → A ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) )
43 39,42 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) )
44 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) )
45 43,44 ax-mp   $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) )
46 ax-2          $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) )
47 45,46 ax-mp   $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) )
48 24,47 ax-mp   $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) )
49 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) )
50 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) )
51 49,50 ax-mp   $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) )
52 ax-2          $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) → ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) )
53 51,52 ax-mp   $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) )
54 48,53 ax-mp   $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) )
55 ax-1          $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) → ( ( A → B ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) )
56 54,55 ax-mp   $a |- ( ( A → B ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) )
57 ax-2          $a |- ( ( ( A → B ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) → ( ( ( A → B ) → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) )
58 56,57 ax-mp   $a |- ( ( ( A → B ) → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) )
59 23,58 ax-mp   $a |- ( ( A → B ) → ( ¬ B → ¬ A ) )

ลองออนไลน์!

ที่นี่มีอยู่ในเครื่องพิสูจน์อย่างไม่น่าเชื่อ

png svg