สร้างเครื่องเพิ่ม minifloat โดยใช้ประตูตรรกะ NAND


15

minifloatเป็นตัวแทนไบนารีของจำนวนจุดลอยตัวที่มีบิตน้อยมาก

minifloat ในคำถามนี้จะถูกกำหนดเป็นหมายเลข 6 บิตmซึ่งมีการแสดงต่อไปนี้:

  • 1 บิตเพื่อแสดงสัญลักษณ์ของตัวเลข บิตนี้จะเป็น0ถ้าจำนวนเป็นบวกและ1ถ้าจำนวนเป็นลบ

  • 3 บิตเพื่อแสดงเลขชี้กำลังของจำนวน, ชดเชยด้วย3(เช่นเลขชี้กำลังของ110จริงแสดงถึงปัจจัยของ 2 3 , ไม่ใช่ 2 6 )

    • เลขชี้กำลังของ 000หมายถึงจำนวนย่อย แมนทิสซาหมายถึงส่วนที่เป็นเศษส่วนของจำนวนที่มีส่วนจำนวนเต็ม0คูณด้วยปัจจัยของเลขชี้กำลังต่ำสุดที่เป็นไปได้ (ในกรณีนี้ 2 -2 )
  • 2 บิตเพื่อแทนแมนทิสซาของจำนวน หากเลขชี้กำลังเป็นอะไรอื่นนอกจาก000หรือ111ที่ 2 1บิตแทนส่วนบางส่วนหลังจากที่

    • เลขชี้กำลังของการ111แทนinfinityว่า mantissa เป็น0และNaN(ไม่ใช่ตัวเลข) เป็นอย่างอื่น

ในบทความ Wikipedia สิ่งนี้จะเรียกว่า minifloat (1.3.2.3)

ตัวอย่างบางส่วนของการเป็นตัวแทนของ minifloat นี้:

000000 =  0.00 = 0
000110 =  1.10 × 2^(1-3) = 0.375
001100 =  1.00 × 2^(3-3) = 1
011001 =  1.01 × 2^(6-3) = 10
011100 = infinity
011101 = NaN
100000 = -0.00 = -0
100011 = -0.11 × 2^(1-3) = -0.1875 (subnormal)
101011 = -1.11 × 2^(2-3) = -0.875
110100 = -1.00 × 2^(5-3) = -4
111100 = -infinity
111111 = NaN

งานของคุณคือการสร้างเครือข่ายของประตู NAND แบบสองอินพุตที่รับ 6 อินพุตที่แสดงถึง minifloat aและ 6 อินพุตที่เป็น minifloatbและผลตอบแทนที่ 6 เอาท์พุทเป็นตัวแทน a + bminifloat

  • เครือข่ายของคุณต้องเพิ่ม subnormals อย่างถูกต้อง ตัวอย่างเช่น000001+ 000010ต้องเท่ากับ000011และ001001+ 000010=001010 =

  • เครือข่ายของคุณจะต้องเพิ่มและลบ infinities อย่างถูกต้อง สิ่งใดที่ จำกัด อยู่ในอินฟินิตี้คืออนันต์เดียวกัน บวกอนันต์บวกลบอนันต์คือNaNอินฟินิตี้บวกบวกลบคืออินฟินิตี้

  • NaNอะไรบวกจะต้องเท่ากับNaN , ถึงแม้ว่าNaNมันจะเท่ากับคุณ

  • วิธีจัดการกับการเพิ่มศูนย์บวกและศูนย์ศูนย์ให้คุณขึ้นอยู่กับคุณแม้ว่าศูนย์บวกศูนย์จะต้องเท่ากับศูนย์

เครือข่ายของคุณสามารถใช้กฎการปัดเศษใด ๆ ต่อไปนี้ขึ้นอยู่กับความสะดวก:

  • ปัดเศษลง (ไปทางอนันต์ลบ)
  • ปัดเศษขึ้น (ไปทางอนันต์บวก)
  • ปัดไปทางศูนย์
  • ปัดเศษจากศูนย์
  • ปัดไปที่ใกล้ที่สุดโดยแบ่งครึ่งตามกฎข้อใดข้อหนึ่งข้างต้น

เพื่อทำให้สิ่งต่าง ๆ ง่ายขึ้นคุณสามารถใช้ประตู AND, OR, NOT และ XOR ในแผนภาพของคุณด้วยคะแนนที่สอดคล้องกันดังต่อไปนี้:

  • NOT: 1
  • AND: 2
  • OR: 3
  • XOR: 4

แต่ละคะแนนเหล่านี้สอดคล้องกับจำนวนประตู NAND ที่ใช้ในการสร้างประตูที่สอดคล้องกัน

วงจรลอจิกที่ใช้เกต NAND ที่น้อยที่สุดในการดำเนินการตามข้อกำหนดทั้งหมดข้างต้นชนะอย่างถูกต้อง


2
ความท้าทายที่ดี - ฉันต้องคิดอย่างจริงจังเกี่ยวกับเรื่องนี้เพื่อนำไปใช้ในโค้ดโดยไม่ต้องพึ่งประตู NAND
Digital Trauma

คำตอบ:


10

830 NAND

มันใช้24 nots, 145 ANDs, 128 ORs, 33 XORs มันจะปัดเศษเป็นศูนย์เสมอซึ่งอาจส่งกลับค่า -0 หรือ +0 สำหรับค่าศูนย์และฉันเชื่อว่ามันปฏิบัติต่อ Infinities และ NaN อย่างถูกต้อง:

  • ± INF ± INF = ± INF
  • ± INF + NaN = ± INF
  • ± INF ∓ INF = NaN
  • ± INF + number = ± INF
  • NaN + NaN = NaN
  • NaN + number = NaN

ด้านล่างฉันมีการเป็นตัวแทนของวงจร ฉันมีประสบการณ์น้อยในการอธิบายสิ่งต่าง ๆ เหล่านี้ดังนั้นฉันไม่รู้จริง ๆ ว่าวิธีการทำแบบนี้คืออะไร แต่ตัวแปรทุกตัวคือบูลีนดังนั้นจึงเป็นที่ชัดเจนว่ามันอธิบายวงจร อีกสิ่งหนึ่งฉันไม่มีทั้งความรู้และความดื้อรั้นที่จะลองทำไดอะแกรมของสิ่งนี้ แต่ถ้ามีซอฟต์แวร์ที่ใช้งานง่ายมีใครต้องการชี้ให้เห็นฉันจะสนใจที่จะดู

a0,a1,a2,a3,a4,a5 = mini0
b0,b1,b2,b3,b4,b5 = mini1

neg = XOR(a0,b0)
nneg = NOT(neg)

na1 = NOT(a1)
na2 = NOT(a2)
na3 = NOT(a3)

a2_a3 = AND(a2,a3)
a2_na3 = AND(a2,na3)
na2_a3 = AND(na2,a3)
na2_na3 = AND(na2,na3)

a123 = AND(a1,a2_a3)
l0 = AND(a1,a2_na3)
l1 = AND(a1,na2_a3)
l2 = AND(a1,na2_na3)
l3 = AND(na1,a2_a3)
l4 = AND(na1,a2_na3)
l5 = AND(na1,na2_a3)
l6 = AND(na1,na2_na3)

a45 = OR(a4,a5)
a_nan = AND(a123,a45)
a_inf = AND(a123,NOT(a45))

m0 = l0
m1 = OR(l1,AND(l0,a4))
m2 = OR(l2,OR(AND(l1,a4),AND(l0,a5)))
m3 = OR(l3,OR(AND(l2,a4),AND(l1,a5)))
m4 = OR(l4,OR(AND(l3,a4),AND(l2,a5)))
m5 = OR(l5,OR(AND(l4,a4),AND(l3,a5)))
l5_l6 = OR(l5,l6)
m6 = OR(AND(l4,a5),AND(l5_l6,a4))
m7 = AND(l5_l6,a5)

nb1 = NOT(b1)
nb2 = NOT(b2)
nb3 = NOT(b3)

b2_b3 = AND(b2,b3)
b2_nb3 = AND(b2,nb3)
nb2_b3 = AND(nb2,b3)
nb2_nb3 = AND(nb2,nb3)

b123 = AND(b1,b2_b3)
k0 = AND(b1,b2_nb3)
k1 = AND(b1,nb2_b3)
k2 = AND(b1,nb2_nb3)
k3 = AND(nb1,b2_b3)
k4 = AND(nb1,b2_nb3)
k5 = AND(nb1,nb2_b3)
k6 = AND(nb1,nb2_nb3)

b45 = OR(b4,b5)
b_nan = AND(b123,b45)
b_inf = AND(b123,NOT(b45))  

n0 = k0
n1 = OR(k1,AND(k0,b4))
n2 = OR(k2,OR(AND(k1,b4),AND(k0,b5)))
n3 = OR(k3,OR(AND(k2,b4),AND(k1,b5)))
n4 = OR(k4,OR(AND(k3,b4),AND(k2,b5)))
n5 = OR(k5,OR(AND(k4,b4),AND(k3,b5)))
k5_k6 = OR(k5,k6)
n6 = OR(AND(k4,b5),AND(k5_k6,b4))
n7 = AND(k5_k6,b5)

first = n0,n1,n2,n3,n4,n5,n6,n7

i7 = n7
i6 = XOR(n6,n7)
carry_6 = OR(n6,n7)
i5 = XOR(n5,carry_6)
carry_5 = OR(n5,carry_6)
i4 = XOR(n4,carry_5)
carry_4 = OR(n4,carry_5)
i3 = XOR(n3,carry_4)
carry_3 = OR(n3,carry_4)
i2 = XOR(n2,carry_3)
carry_2 = OR(n2,carry_3)
i1 = XOR(n1,carry_2)
carry_1 = OR(n1,carry_2)
i0 = XOR(n0,carry_1)
i_sign = OR(n0,carry_1)

n7 = OR(AND(nneg,n7),AND(neg,i7))
n6 = OR(AND(nneg,n6),AND(neg,i6))
n5 = OR(AND(nneg,n5),AND(neg,i5))
n4 = OR(AND(nneg,n4),AND(neg,i4))
n3 = OR(AND(nneg,n3),AND(neg,i3))
n2 = OR(AND(nneg,n2),AND(neg,i2))
n1 = OR(AND(nneg,n1),AND(neg,i1))
n0 = OR(AND(nneg,n0),AND(neg,i0))
n_sign = AND(neg,i_sign)

r7 = XOR(m7,n7)
carry_7 = AND(m7,n7)
hr6 = XOR(m6,n6)
hcarry_6 = AND(m6,n6)
r6 = XOR(hr6,carry_7)
carry_6 = OR(hcarry_6,AND(hr6,carry_7))
hr5 = XOR(m5,n5)
hcarry_5 = AND(m5,n5)
r5 = XOR(hr5,carry_6)
carry_5 = OR(hcarry_5,AND(hr5,carry_6))
hr4 = XOR(m4,n4)
hcarry_4 = AND(m4,n4)
r4 = XOR(hr4,carry_5)
carry_4 = OR(hcarry_4,AND(hr4,carry_5))
hr3 = XOR(m3,n3)
hcarry_3 = AND(m3,n3)
r3 = XOR(hr3,carry_4)
carry_3 = OR(hcarry_3,AND(hr3,carry_4))
hr2 = XOR(m2,n2)
hcarry_2 = AND(m2,n2)
r2 = XOR(hr2,carry_3)
carry_2 = OR(hcarry_2,AND(hr2,carry_3))
hr1 = XOR(m1,n1)
hcarry_1 = AND(m1,n1)
r1 = XOR(hr1,carry_2)
carry_1 = OR(hcarry_1,AND(hr1,carry_2))
hr0 = XOR(m0,n0)
hcarry_0 = AND(m0,n0)
r0 = XOR(hr0,carry_1)
carry_0 = OR(hcarry_0,AND(hr0,carry_1))
r_sign = XOR(n_sign,carry_0)

s7 = r7
s6 = XOR(r6,r7)
carry_6 = OR(r6,r7)
s5 = XOR(r5,carry_6)
carry_5 = OR(r5,carry_6)
s4 = XOR(r4,carry_5)
carry_4 = OR(r4,carry_5)
s3 = XOR(r3,carry_4)
carry_3 = OR(r3,carry_4)
s2 = XOR(r2,carry_3)
carry_2 = OR(r2,carry_3)
s1 = XOR(r1,carry_2)
carry_1 = OR(r1,carry_2)
s0 = XOR(r0,carry_1)

n_r_sign = NOT(r_sign)
r0 = OR(AND(n_r_sign,r0),AND(r_sign,s0))
r1 = OR(AND(n_r_sign,r1),AND(r_sign,s1))
r2 = OR(AND(n_r_sign,r2),AND(r_sign,s2))
r3 = OR(AND(n_r_sign,r3),AND(r_sign,s3))
r4 = OR(AND(n_r_sign,r4),AND(r_sign,s4))
r5 = OR(AND(n_r_sign,r5),AND(r_sign,s5))
r6 = OR(AND(n_r_sign,r6),AND(r_sign,s6))
r7 = OR(AND(n_r_sign,r7),AND(r_sign,s7))

h0 = r0
rest = h0
h1 = AND(r1,NOT(rest))
rest = OR(rest,h1)
h2 = AND(r2,NOT(rest))
rest = OR(rest,h2)
h3 = AND(r3,NOT(rest))
rest = OR(rest,h3)
h4 = AND(r4,NOT(rest))
rest = OR(rest,h4)
h5 = AND(r5,NOT(rest))
rest = OR(rest,h5)
h6 = AND(r6,NOT(rest))
rest = OR(rest,h6)
h7 = AND(r7,NOT(rest))

e0 = OR(h0,OR(h1,h2))
e1 = OR(h0,OR(h3,h4))
e2 = OR(h1,OR(h3,h5))

ne0 = NOT(e0)
ne1 = NOT(e1)
ne2 = NOT(e2)

e0e1 = AND(e0,e1)
e0ne1 = AND(e0,ne1)
ne0e1 = AND(ne0,e1)
ne0ne1 = AND(ne0,ne1)

x0 = AND(e0e1,  ne2)
x1 = AND(e0ne1, e2 )
x2 = AND(e0ne1, ne2)
x3 = AND(ne0e1, e2 )
x4 = AND(ne0e1, ne2)
x5 = AND(ne0ne1,e2 )
x6 = AND(ne0ne1,ne2)

u0 = AND(x0,r1)
u1 = AND(x1,r2)
u2 = AND(x2,r3)
u3 = AND(x3,r4)
u4 = AND(x4,r5)
u5 = AND(x5,r6)
u6 = AND(x6,r6)

v0 = AND(x0,r2)
v1 = AND(x1,r3)
v2 = AND(x2,r4)
v3 = AND(x3,r5)
v4 = AND(x4,r6)
v5 = AND(x5,r7)
v6 = AND(x6,r7)

f0 = OR(u0,OR(u1,OR(u2,OR(u3,OR(u4,OR(u5,u6))))))
f1 = OR(v0,OR(v1,OR(v2,OR(v3,OR(v4,OR(v5,v6))))))
sign = XOR(a0,r_sign)

either_nan = OR(a_nan,b_nan)
either_inf = OR(a_inf,b_inf)
ans_nan = OR(AND(AND(a_inf,b_inf),XOR(a0,b0)),AND(NOT(either_inf),either_nan))
nans_nan = NOT(ans_nan)
ans_inf = AND(nans_nan,OR(either_nan,either_inf))
ans_none = AND(nans_nan,NOT(ans_inf))
nans_none = NOT(ans_none)

result0 = OR(OR(AND(a_inf,a0),AND(b_inf,b0)),AND(ans_none,sign))
result1 = OR( nans_none, AND(ans_none,e0) )
result2 = OR( nans_none, AND(ans_none,e1) )
result3 = OR( nans_none, AND(ans_none,e2) )
result4 = OR( ans_nan, AND(ans_none,f0) )
result5 = OR( ans_nan, AND(ans_none,f1) )

เมื่อเสร็จแล้วจะปัด "ลง" ไปทางศูนย์หรือไปทางอนันต์ลบหรือไม่ แค่สงสัย.
Joe Z.

@JoeZ ฉันจะพยายามทำให้รอบเป็นศูนย์และฉันคิดว่าการทำเช่นนั้นไม่ควรเป็นปัญหาถึงแม้ว่าฉันจะไม่แน่ใจหากไม่ได้เขียนออกมา เห็นได้ชัดว่ามันเป็นเรื่องเล็กน้อยที่จะทำให้มันเพิ่มจำนวนลบสองตัว (ให้มันเป็นศูนย์) ดังนั้นฉันคิดว่ามันคงง่ายกว่าถ้าจะยึดติดกับมัน
KSab

1
ทำได้ดีมากสำหรับการหาทางออกที่สมบูรณ์ มีการเพิ่มประสิทธิภาพง่าย ๆ OR(AND(w,x),AND(y,z))กำลังNAND(NAND(w,x),NAND(y,z))ประหยัด 4 และคุณใช้การก่อสร้างแรกแล้วสองสามครั้ง และการรักษาน่านของคุณผิดเล็กน้อยเพราะควรจะเป็นInf + NaN NaN
Peter Taylor
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.