ค้นหาหมายเลขวงเล็บที่สั้นที่สุด

15

หมายเลขวงเล็บแสดงวิธีที่ง่ายในการแสดงจำนวนเต็มขนาดใหญ่โดยใช้วงเล็บซ้ายช่องว่างและวงเล็บปีกกาขวาเท่านั้น ( [ ])

หมายเลขวงเล็บถูกกำหนดให้เป็นสตริงของวงเล็บจับคู่หนึ่งคู่ขึ้นไปที่[...]เรียกว่าchunksโดยแต่ละอันแยกจากเพื่อนบ้านด้วยศูนย์หรือมากกว่าเว้นวรรค

จำนวนช่องว่างระหว่างแต่ละอันกำหนดhyperoperationระหว่างพวกเขา ไม่มีช่องว่างหมายถึงการเพิ่ม 1 ช่องว่างหมายถึงการคูณ 2 ช่องว่างหมายถึงการยกกำลัง 3 ช่องว่างหมายถึงการทำซ้ำและอื่น ๆ อุดมศึกษา hyperoperations เพื่อที่จะมีความสำคัญดังนั้น tetration เกิดขึ้นก่อนที่จะยกกำลังยกกำลังเกิดขึ้นก่อนที่จะคูณ ฯลฯ พวกเขายังขวาเชื่อมโยงเพื่อให้มีการคำนวณa^b^c a^(b^c)(แต่a^b*cยังคงเป็น(a^b)*c)

แต่ละอันอาจว่างเปล่า ( []) หรือมีหมายเลขวงเล็บปีกกาอื่น ชิ้นว่างเปล่ามีค่า 0 ชิ้นไม่ว่างมีค่าหมายเลขวงเล็บที่มีอยู่บวก 1

ตัวอย่าง: ( ^^คือ tetration ^^^คือpentation )

  • [[]]มีค่า 1 เพราะมันคือ 0 ( []) เพิ่มขึ้น 1
  • [[[]]]มีค่า 2 แต่มีการเพิ่ม[[]][[]]ตั้งแต่สองรายการ ( [[]])
  • [[[]]] [[[[]]] [[[[]]]]][[[]]] มีค่า 20 = (2 * ((2 ^ 3) +1)) + 2
  • [[[]]] [[[[]]]] มีค่า 65536 = 2 ^^^ 3 = 2 ^^ (2 ^^ 2) = 2 ^^ 4 == 2 ^ (2 ^ (2 ^ 2))
  • [[[[]]]] [[[]]] [[]] มีค่า 7625597484987 = 3 ^^^ (2 ^^^ 1) = 3 ^^^ 2 = 3 ^^ 3 = 3 ^ (3 ^ 3)

ในหมายเลขวงเล็บเหลี่ยมที่ถูกต้อง:

  • จะไม่มีช่องว่างนำหน้าหรือต่อท้าย
  • จะมีวงเล็บที่ตรงกันอย่างน้อยหนึ่งคู่เสมอ
  • วงเล็บซ้ายทั้งหมดจะมีวงเล็บขวาตรงกัน
  • พื้นที่จะไม่ปรากฏโดยตรงไปทางขวาของหรือไปทางซ้ายของ[]
  • ค่านี้เป็นเลขจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบเสมอ

ท้าทาย

ขอให้สังเกตว่าอาจมีหลายรูปแบบสำหรับหมายเลขวงเล็บที่ให้ค่าเดียวกัน [[[[[[[[[[[[[[[[[]]]]]]]]]]]]]]]]]และ[[[]]] [[[[]]]]ทั้งคู่เป็นตัวแทน 16 แต่หลังนั้นสั้นกว่ามาก

ความท้าทายของคุณคือการเขียนอัลกอริทึมที่พยายามค้นหาจำนวนวงเล็บที่สั้นที่สุดของค่าที่กำหนด ตัวอย่างเช่นฉันเชื่อว่าวิธีที่สั้นที่สุดในการแสดงถึง 16 คือมี 17 ตัวอักษร[[[]]] [[[[]]]]ดังนี้

การให้คะแนน (อัปเดต)

ให้Sเป็นชุดของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 256 (รวม) และสิบค่าต่อไปนี้:

8191 13071 524287 2147483647 1449565302 1746268229 126528612 778085967 1553783038 997599288

(4 รายการแรกคือ Mersenne primes ส่วนที่เหลือเป็นแบบสุ่ม)

การส่งที่สร้างชุดหมายเลขสั้นที่สุดสำหรับทุกอย่างในSจะเป็นผู้ชนะ คะแนนของคุณคือผลรวมของความยาวของหมายเลขวงเล็บเหลี่ยมสำหรับค่าทั้งหมดในS (เล็กกว่าดีกว่า)

ด้วยรหัสของคุณโปรดส่งรายการหมายเลขวงเล็บสำหรับSทั้งหมดคำสั่งที่แน่นอนนั้นไม่สำคัญมากนัก เช่น:

1=[[]]
2=[[[]]]
3=[[[[]]]]
...
2147483647=[...]
...

(ฉันรู้ว่านี่ไม่ใช่วิธีการให้คะแนนที่ดีที่สุด แต่ฉันไม่ได้ตั้งค่าให้ทำการทดสอบแบบฮิวริสติกแบบสุ่มในการส่งแต่ละครั้งขออภัย :()

กฎระเบียบ

  • คุณไม่สามารถ hardcode หมายเลขวงเล็บเหลี่ยมใด ๆ นอกเหนือจากการแก้ปัญหาที่เพิ่มขึ้นเล็กน้อย ( [], [[]], [[[]]], ...) โปรแกรมของคุณต้องมองหาการรับรองสั้น ๆ อย่างเหมาะสมที่สุด (แม้ว่าผลลัพธ์อาจไม่ดีนัก)
  • อัลกอริทึมของคุณควรทำงานกับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบทั้งหมดต่ำกว่า 2,147,483,648 (2 ^ 31) คุณอาจจะไม่ได้มุ่งเน้นเฉพาะค่าในS
  • สำหรับอินพุตใด ๆ อัลกอริทึมของคุณควรใช้เวลาอย่างน้อย 10 นาทีสำหรับคอมพิวเตอร์ที่ทันสมัย ​​(~ 2.5Ghz processor, ~ 6GB RAM)
  • ในโอกาสที่หายาก (ดูเหมือน) ของการผูกการส่งผลโหวตสูงสุดที่ชนะ
  • หากคุณคัดลอกโซลูชันอื่นหรือแก้ไขโดยไม่ระบุแหล่งที่มาคุณจะถูกตัดสิทธิ์
math  string  code-challenge  balanced-string 
— งานอดิเรกของ Calvin
แหล่งที่มา
ฉันคิดว่า 256 อาจต่ำเกินไป คุณไม่ได้ห่างไกลจากการใช้ไฮเปอร์เพอเรชันในจำนวนเหล่านี้ แต่ฉันอาจจะผิดฉันไม่สามารถหาความเป็นไปได้มากมายที่มีตัวแทน 256 ที่ไม่สามารถตัดออกได้อย่างง่ายดาย
— Martin Ender
@ MartinBüttnerฉันรู้ ฉันได้พิจารณา 512 หรือ 1024 แต่ฉันกังวลว่าจะบังคับให้ผู้ใช้ส่งข้อความจำนวนมากในรายการหมายเลขวงเล็บ คนอื่นคิดอย่างไร
— งานอดิเรกของ Calvin
@ Calvin'sHobbies: แล้วจะมีการขอหมายเลขอะไรเพิ่มเติมนอกเหนือจาก 1..256? พูดว่า Mersenne prime 2 ^ 31 - 1
— Charles
@ Calvin'sHobbies เลือกตัวเลขขนาดใหญ่เฉพาะ 10-20 นอกเหนือจากช่วงของคุณ?
— hmatt1
9
ตกลงชื่อผู้ใช้ที่อัปเดตแล้ว .... ฉันไม่ต้องการให้พฤติกรรมที่ไม่ดีของฉันถูกนำไปใช้ผิด
— ไม่ใช่ว่า Charles

คำตอบ:

5

Python 11455b

วิธีนี้ใช้วิธีการโลภเพื่อค้นหาวิธีที่จะแยกแยะจำนวนเฉพาะแทนที่จะเป็นวิธีที่ละเอียดถี่ถ้วน ฉันต้องการ 9875b สำหรับ 1-256 เทียบกับ 8181 สำหรับวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดของ Martin ในพื้นที่นั้น

ตารางการคูณและการยกกำลังที่ใหญ่ขึ้นทำให้การปรับปรุงเล็กน้อยในกรณีทดสอบที่ใหญ่ขึ้น วิธีแก้ปัญหาด้านล่างใช้เวลาประมาณ 7 นาที การเพิ่มเวลาทำงานเกิน 30 นาทีมีผลกระทบต่อเอาต์พุตน้อยที่สุด

ฉันเช่นมาร์ตินมีปัญหากับการมาก่อน โซลูชันของฉันในการ จำกัด การเลือกใช้งานอาจไม่เหมาะสม

#!/usr/bin/env python

# http://codegolf.stackexchange.com/questions/35480/find-the-shortest-bracket-numbers

import sys, math

reps = {}
forwards = {}
backwards = {}

MAX = 2**31

TABLE_SIZE = 2**12

def op_dec(op):
    if op>1:
        return op-1
    return op

def rep_op(a,op,b):
    return rep_num(a) +  (" "*op) + rep_num(b)
def min_rep_op(a,op,b,op_max):
    return min_rep(a,op_max) +  (" "*op) + min_rep(b,op_dec(op_max))

def rep_num(a):
    return ("["*(a+1)) + ("]"*(a+1))

def min_rep(n,op_max):
    if n < 9:
        return ("["*(n+1))+("]"*(n+1))
    for op in range(op_max,-1,-1):
        if (n, op) in reps:
            return reps[(n, op)]
    for op in range(op_max,-1,-1):
        if (n, op) in backwards:
            a,op,b = backwards[(n, op)]
            return min_rep_op(a,op,b,op_max)
    else:
        for m in rep_list:
            c = m[0]
            if c < n:
                r = n - c
                for op in range(op_max,-1,-1):
                    if (c, op) in backwards:
                        a,op,b = backwards[(c, op)]
                        if r<10:
                            return ("["*r) + min_rep_op(a,op,b,op_max) + ("]"*r)
                        else:
                            return "[" + min_rep(r-1,op_max) + min_rep_op(a,op,b,op_max) + "]"
                break

def expand(a,op,b):
    if op == 0:
        n = a+b
    elif op == 1:
        n = a*b
    elif op == 2:
        if b*math.log10(a) > math.log10(MAX):
            n = MAX
        else: 
            n = a**b
    elif (a,op,b) in forwards:
        n = forwards[(a,op,b)]
    else: # tetration and higher
        t = a
        for i in xrange(b-1):
            t = expand(a,op-1,t)
            if t>=MAX:
                break
        n = t

    if n > MAX-1:
        n = MAX
    forwards[(a,op,b)] = n

    if (n, op) in backwards:
        c = len(rep_op(*backwards[(n, op)]))
        if c > (a*2+op+b*2):
            backwards[(n, op)] = (a,op,b)
    else:
        backwards[(n, op)] = (a,op,b)

    return n

t = 0

# populate the multiplication, exponentiation, and tetration tables
for op in range(1,4):
    for a in range((1,2,2,2)[op],TABLE_SIZE):
        for b in range((1,2,2,2)[op],TABLE_SIZE):
            t = expand(a,op,b)
            if t == MAX:
                break
rep_list = sorted(backwards.keys(),key=lambda x: x[0]*4-x[1],reverse=True)

for i in list(range(1, 257))+[8191,13071,524287,2147483647,1449565302,1746268229,126528612,778085967,1553783038,997599288]:
    t = min_rep(i,3)
    reps[i] = t
    print i, t

เอาท์พุท:

1 [[]]
2 [[[]]]
3 [[[[]]]]
4 [[[[[]]]]]
5 [[[[[[]]]]]]
6 [[[[[[[]]]]]]]
7 [[[[[[[[]]]]]]]]
8 [[[[[[[[[]]]]]]]]]
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— SPARR
แหล่งที่มา
7

มาติกา

หมายเหตุ:อัลกอริทึมนี้จะไม่สามารถเข้าถึงได้ใกล้กับหมายเลขทดสอบที่มีขนาดใหญ่กว่า ฉันต้องการแนวทางที่แตกต่างอย่างมากดังนั้นฉันจะปล่อยให้เป็นไปเพื่อให้คนอื่นตรวจสอบตัวเลขที่ต่ำกว่า คุณอาจพิจารณาว่าการส่งนี้ไม่ถูกต้อง

นี่คือจุดเริ่มต้นสำหรับหมายเลข 256 ตัวแรก (ส่วนอื่นถูกเพิ่มหลังจากที่ฉันเริ่มและฉันอาจต้องหาวิธีแก้ปัญหาแยกต่างหากสำหรับพวกเขา)

1=[[]]
2=[[[]]]
3=[[[[]]]]
4=[[[[[]]]]]
5=[[[[[[]]]]]]
6=[[[[[[[]]]]]]]
7=[[[[[[[[]]]]]]]]
8=[[[]]]  [[[[]]]]
9=[[[[]]]]  [[[]]]
10=[[[[[]]]]  [[[]]]]
11=[[[[[[]]]]  [[[]]]]]
12=[[[[[]]]]] [[[[]]]]
13=[[[[[[]]]]] [[[[]]]]]
14=[[[[[[[]]]]] [[[[]]]]]]
15=[[[[[[]]]]]] [[[[]]]]
16=[[[]]]   [[[[]]]]
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190=[[[[[]]]]   [[[]]] [[[[[[[[]]]]]]]]]
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195=[[[[[[]]]]]  [[[[]]]]] [[[[]]]]
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231=[[[[]]]  [[[[[[]]]]]]] [[[[[[[[]]]]]]]]
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234=[[[[[[[]]]]]]  [[[]]]] [[[[]]]]  [[[]]]
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236=[[[[[[[]]]]   [[[]]]]] [[[]]]] [[[[[]]]]]
237=[[[[[[[[]]]]]]  [[[]]]] [[[[]]]]] [[[[]]]]
238=[[[[[]]]  [[[[[[]]]]]]]] [[[[[[[[]]]]]]]]
239=[[[[[[]]]  [[[[[[]]]]]]]] [[[[[[[[]]]]]]]]]
240=[[[]]]   [[[[]]]] [[[[[[]]]]]] [[[[]]]]
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246=[[[[[[[]]]]  [[[[[[]]]]]]]]]
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248=[[[[[[[[[]]]]  [[[[[[]]]]]]]]]]]
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250=[[[[[[]]]]]]  [[[[]]]] [[[]]]
251=[[[[[[[]]]]]]  [[[[]]]] [[[]]]]
252=[[[[[[[]]]]]]  [[[[]]]]] [[[]]]
253=[[[[[[[[]]]]]]  [[[[]]]]] [[[]]]]
254=[[[[[[[[]]]]]]  [[[[]]]]]] [[[]]]
255=[[[[[[[[[]]]]]]  [[[[]]]]]] [[[]]]]
256=[[[[[]]]]]   [[[]]]

ความยาวรวมของตัวเลข 256 ตัวแรกคือ7963ตัวอักษร ฉันไม่รู้ว่าสิ่งนี้เหมาะสมหรือไม่

ไม่สนใจการเพิ่มผลลัพธ์สำหรับ 8191 และ 13071 ในไม่กี่วินาทีและ 524387 ในไม่กี่นาที

8191=[[[[[[[[]]]]]]  [[[[]]]]] [[[[[[]]]]]  [[[[]]]]]]
13071=[[[[[[[[]]]]]  [[[[]]]]]]  [[[]]]] [[[[]]]]
524387=[[[[[[[[]]]]]  [[[[]]]]] [[[[[]]]]]  [[[[]]]]] [[[[[[[]]]]]]  [[[[]]]]]]

ที่164อักขระด้วยกัน

นี่คือรหัส:

ClearAll[repr, sl, i, j, op, re, frontop, rearop, lastop];
repr[n_] = "";
repr[0] = "[]";
(*Hard-code higher-order solutions*)
repr[65536] = "[[[]]]    [[[[]]]]";
repr[16] = "[[[]]]   [[[[]]]]";
repr[27] = "[[[[]]]]   [[[]]]";
repr[256] = "[[[[[]]]]]   [[[]]]";
repr[3125] = "[[[[[[]]]]]]   [[[]]]";
repr[46656] = "[[[[[[[]]]]]]]   [[[]]]";
repr[823543] = "[[[[[[[[]]]]]]]]   [[[]]]";
repr[16777216] = "[[[[[[[[[]]]]]]]]]   [[[]]]";
repr[387420489] = "[[[[[[[[[[]]]]]]]]]]   [[[]]]";
frontop[n_] = 2;
rearop[n_] = 2;
sl[n_] := If[repr[n] == "", Infinity, StringLength@repr@n];
n = 256;
op[0] := (# + #2) &
op[1] := (#*#2) &
op[2] := (#^#2) &
re[0] := (repr@# <> repr@#2) &
re[1] := (repr@# <> " " <> repr@#2) &
re[2] := (repr@# <> "  " <> repr@#2) &
For[i = 0, i < n, ++i,
  If[sl[i + 1] >= sl[i] + 2,
   repr[i + 1] = "[" <> repr[i] <> "]";
   frontop[i + 1] = 2; rearop[i + 1] = 2
   ];
  For[m = 0, m < 3, ++m,
   If[rearop[i] >= m,
    For[j = 1, j <= i, ++j,
     If[frontop[j] < m || (res = op[m][i, j]) > n, Break[]];
     rep = re[m][i, j];
     If[sl[res] > StringLength@rep ||
       sl[res] == StringLength@rep && m > frontop[res],
      repr[res] = rep;
      If[m == 2,
       frontop[res] = 2; rearop[res] = 1,
       frontop[res] = m;
       rearop[res] = m
       ]
      ]
     ]
    ];
   If[frontop[i] >= m,
    For[j = 1, j <= i, ++j,
     If[rearop[j] < m || (res = op[m][j, i]) > n, Break[]];
     rep = re[m][j, i];
     If[sl[res] > StringLength@rep ||
       sl[res] == StringLength@rep && m > frontop[res],
      repr[res] = rep;
      If[m == 2,
       frontop[res] = 2; rearop[res] = 1,
       frontop[res] = m;
       rearop[res] = m
       ]
      ]
     ]
    ]
   ];
  ];

ฉันใช้การค้นหาแบบละเอียดถึงการยกกำลัง ไม่มีการดำเนินการ tetration หรือการสั่งซื้อที่สูงขึ้น ฉันลองการสั่งซื้อที่สูงขึ้นด้วยตนเองและมีเพียงชุดค่าผสมจำนวนหนึ่งซึ่งจริง ๆ แล้วให้ตัวเลขต่ำกว่า 2 31ดังนั้นฉันจึงเข้ารหัสรหัสที่ใช้งานได้

แก้ไข:วิธีแก้ไขปัญหาก่อนหน้าของฉันไม่ได้กังวลเกี่ยวกับการมาก่อนมันแค่โยนสิ่งต่าง ๆ เข้าด้วยกัน ตอนนี้ฉันคิดว่ารหัสใหม่ของฉันแก้ไขได้แต่ไม่ใช่ตัวเลข 256 ตัวแรกที่เปลี่ยนไปและไม่มี 8191 (ซึ่งถูกต้องก่อนหน้านี้ฉันตรวจสอบ) ... และมันก็สายเกินกว่าที่ฉันจะบอกได้ทันทีถ้ารหัสของฉันแก้ไขจริง . ฉันจะดูอีกครั้งในวันพรุ่งนี้และเพิ่มคำอธิบายเพราะตอนนี้การตรวจสอบลำดับความสำคัญมาก่อนมันค่อนข้างซับซ้อน (หวังว่ามันควรลดเวลาในการค้นหา)

แก้ไข:โอเคมีข้อผิดพลาดบางอย่างตามที่คาดไว้ ผมคิดว่าผมคงได้ในขณะนี้เพิ่มขึ้นความยาวรวม 1 - ที่จะ 256 7963 ฉันไม่แน่ใจว่านี่เป็นวิธีที่ดีที่สุดอีกต่อไปเพราะอาจเป็นไปได้ที่จะหาวิธีแก้ปัญหาที่สั้นกว่าจากชิ้นส่วนที่ไม่ดีถ้าพวกมันยอมให้มีการสั่งซื้อที่สูงขึ้น คำอธิบายจะตามมาเมื่อฉันจัดการล้างข้อมูลโค้ดเล็กน้อย

— Martin Ender
แหล่งที่มา
2
ขออภัยที่ต้องเปลี่ยนแปลงสิ่งต่าง ๆ บนตัวคุณ แต่ฉันได้อัปเดตรูปแบบรายการเป็นสิ่งที่อ่านง่ายขึ้น การเปลี่ยนแปลงครั้งใหญ่ครั้งสุดท้ายที่ฉันสาบาน!
— งานอดิเรกของ Calvin
1
ดูเหมือนว่าคุณหายไป 256
— งานอดิเรกของ Calvin
1
@ Calvin'sHobbies แก้ไขและเพิ่มเติมการพูด ฉันเชื่อว่าฉันแก้ไขช่วง 1 ถึง 256 ได้อย่างเหมาะสมที่สุด
— Martin Ender
1-256 ของคุณน่าจะเป็นอักขระ 8181 ตัวที่มีการขึ้นบรรทัดใหม่หรืออัฒภาคระหว่างกัน เป็นงานที่ดีโดยรวม!
— SPARR
ดูเหมือนว่า 16 ของคุณจะไม่ดีนัก คุณกำลังแสดง 16 เป็น 4 ^ 2 ซึ่งเป็น 18 ตัวอักษรในขณะที่ 2 ^^ 3 มันจะเป็น 17 ตัวอักษร
— isaacg
1

Python 9219b

นี่คือรายการที่สองของฉัน ฉันเริ่มต้นจากศูนย์และพยายามจัดเรียงข้อมูลใหม่รวมถึงการใช้แพ็คเกจ blist สำหรับรายการที่เรียงลำดับและ dicts และวิธีการใหม่ในการค้นหาโซลูชันขนาดใหญ่ ฉันคิดว่าฉันมีที่ดีที่สุด 1-256 การเพิ่มเวลารันไทม์จาก 30s เป็น 4m ทำให้กรณีทดสอบขนาดใหญ่สั้นลงประมาณ 30 ไบต์

# https://pypi.python.org/pypi/blist/
# provides sorteddict
from blist import *

import math, sys

TABLE_SIZE=2**8
MAX_INT = 2**31

repr = sorteddict()

for i in range(12):
    repr[i] = sorteddict({(i*2+2,-1,-1):("["*(i+1)+"]"*(i+1), str(i))});

repr    [65536] = sorteddict({(18, 4, 4):("[[[]]]    [[[[]]]]", "2^^^3")}); # 2^^^3 = 2^^(2^^2) = 2^(2^(2^2))
repr       [16] = sorteddict({(17, 3, 3):("[[[]]]   [[[[]]]]", "2^^3")}); # 2^^3 = 2^(2^2)
repr       [27] = sorteddict({(17, 3, 3):("[[[[]]]]   [[[]]]", "3^^2")}); # 3^^2 = 3^3
repr      [256] = sorteddict({(19, 3, 3):("[[[[[]]]]]   [[[]]]", "4^^2")}); # 4^^2 = 4^4
repr     [3125] = sorteddict({(21, 3, 3):("[[[[[[]]]]]]   [[[]]]", "5^^2")}); # 5^^2 = 5^5
repr    [46656] = sorteddict({(23, 3, 3):("[[[[[[[]]]]]]]   [[[]]]", "6^^2")}); # 6^^2 = 6^6
repr   [823543] = sorteddict({(25, 3, 3):("[[[[[[[[]]]]]]]]   [[[]]]", "7^^2")}); # 7^^2 = 7^7
repr [16777216] = sorteddict({(27, 3, 3):("[[[[[[[[[]]]]]]]]]   [[[]]]", "8^^2")}); # 8^^2 = 8^8
repr[387420489] = sorteddict({(29, 3, 3):("[[[[[[[[[[]]]]]]]]]]   [[[]]]", "9^^2")}); # 9^^2 = 9^9

def expr_to_repr(a,op,b):
    rep_a = None
    for d,r in repr[a].iteritems():
        op_min, op_max = ((0,9),(1,9),(3,9))[op]
        if (d[1]==-1 or d[1]>=op_min) and d[2]<=op_max:
            rep_a = (d,r)
            break
    if not rep_a:
        rep_a = ((a*2+2,-1,-1),("["*(a+1)+"]"*(a+1), str(a)));

    rep_b = None
    for d,r in repr[b].iteritems():
        op_min, op_max = ((0,9),(1,9),(3,9))[op]
        if (d[1]==-1 or d[1]>=op_min) and d[2]<=op_max:
            rep_b = (d,r)
            break
    if not rep_b:
        rep_b = ((b*2+2,-1,-1),("["*(b+1)+"]"*(b+1), str(b)));

    r = rep_a[1][0] + " "*op + rep_b[1][0]

    return (
            (
                len(r),
                min(op, rep_a[0][1] if rep_a[0][1]!=-1 else op, rep_b[0][1] if rep_b[0][1]!=-1 else op), 
                max(op, rep_a[0][2], rep_b[0][2])
            ),
            ( 
                r, 
                expr_to_string(rep_a[1][1],op,rep_b[1][1])
            )
        );

def opsym(op):
    return ("+","*","^","^^")[op]

def expr_to_string(a,op,b):
    return str(a) + opsym(op) + str(b)

def calc(a,op,b):
    if op == 0:
        return min(a+b,MAX_INT)
    elif op == 1:
        return min(a*b,MAX_INT)
    elif op == 2:
        if (b*math.log10(a)>math.log10(MAX_INT)):
            return MAX_INT
        return min(a**b,MAX_INT)
    else:
        t = a
        for h in range(b):
            t = calc(a,op-1,t)
            if t>=MAX_INT:
                t = MAX_INT
                break
        return t

def populate_repr(a,op,b):
    o = (a,op,b)
    n = calc(*o)
    if n == MAX_INT:
        return n
    if n not in repr:
        repr[n] = sorteddict()
    r = expr_to_repr(*o)
    if conditional_replace_repr(n,r):
        for i in range(1,11):
            conditional_replace_repr(n+i,
                (
                    (
                        r[0][0]+i*2,
                        -1,
                        -1
                    ),
                    (
                        "["*i + r[1][0] + "]"*i,
                        "(" + r[1][1] + "+" + str(i) + ")"
                    )
                )
            )
    return n

def conditional_replace_repr(n,new_rep):
    if n not in repr:
        repr[n] = sorteddict()
        repr[n][new_rep[0]] = new_rep[1]
        return True
    found = None
    repl = False
    for d, r in repr[n].iteritems():
        if d[1] == new_rep[0][1] and d[2] == new_rep[0][2]:
            found = d
            if d[0] > new_rep[0][0]:
                repl = True
            break
    if (not found) or (found and repl):
        repr[n][new_rep[0]] = new_rep[1]
        if found:
            del repr[n][found]
        return True
    return False

def vaguely_decent_repr(n):
    if n <= TABLE_SIZE:
        return repr[n].iteritems().next()[1][0]
    if n in repr:
        return repr[n].iteritems().next()[1][0]
    else:
        keys = sorted(repr.keys(),reverse=True)
        best_rep = None
        tested = 0
        for i in keys:
            if i>n:
                continue
            if tested > 10:
                break
            tested += 1
            cand_rep = vaguely_decent_repr(n-i) + repr[i].iteritems().next()[1][0]
            if (not best_rep) or len(cand_rep) < len(best_rep):
                best_rep = cand_rep
        return best_rep



keys = repr.keys()
for k in keys:
    for d,r in repr[k].iteritems():
        for i in range(1,11):
            conditional_replace_repr(k+i,
                (
                    (
                        d[0]+i*2,
                        -1,
                        -1
                    ),
                    (
                        "["*i + r[0] + "]"*i,
                        "(" + r[1] + "+" + str(i) + ")"
                    )
                )
            )

# initialize the repr array with results of 1..256, 2+2 up to TABLE_SIZE^TABLE_SIZE
for row in range(2,TABLE_SIZE+1):
    for col in range(2,row):
        for op in range(1,3):
            populate_repr(row,op,col)
            if op > 1:
                populate_repr(col,op,row)
    for op in range(1,3):
        populate_repr(row,op,row)
    if row > 10:
        for frac in range(1,10):
            rep_a = repr[row-frac].iteritems().next()
            conditional_replace_repr(row,
                (
                    (
                        rep_a[0][0] + frac*2,
                        -1,
                        -1
                    ),
                    (
                        "["*frac + rep_a[1][0] + "]"*frac,
                        "(" + rep_a[1][1] + "+" + str(frac) + ")"
                    )
                )
            )
        for frac in range(10,row/2):
            rep_a = repr[frac].iteritems().next()
            rep_b = repr[row-frac].iteritems().next()
            conditional_replace_repr(row,
                (
                    (
                        rep_a[0][0]+rep_b[0][0],
                        min(rep_a[0][1],rep_b[0][1]),
                        max(rep_a[0][2],rep_b[0][2])
                    ),
                    (
                        rep_a[1][0] + rep_b[1][0],
                        rep_a[1][1] + "+" + rep_b[1][1]
                    )
                )
            )



# for n,reps in repr.iteritems():
#   for d,r in reps.iteritems():

for n in range(1,257):
    print str(n)+"="+repr[n].iteritems().next()[1][0]

for n in (8191,13071,524287,2147483647,1449565302,1746268229,126528612,778085967,1553783038,997599288):
    print str(n)+"="+vaguely_decent_repr(n)

เอาท์พุท:

1=[[]]
2=[[[]]]
3=[[[[]]]]
4=[[[[[]]]]]
5=[[[[[[]]]]]]
6=[[[[[[[]]]]]]]
7=[[[[[[[[]]]]]]]]
8=[[[]]]  [[[[]]]]
9=[[[[]]]]  [[[]]]
10=[[[[[]]]]  [[[]]]]
11=[[[[[[]]]]  [[[]]]]]
12=[[[[[]]]]] [[[[]]]]
13=[[[[[[]]]]] [[[[]]]]]
14=[[[[[[[]]]]] [[[[]]]]]]
15=[[[[[[]]]]]] [[[[]]]]
16=[[[]]]   [[[[]]]]
17=[[[[]]]   [[[[]]]]]
18=[[[[[]]]   [[[[]]]]]]
19=[[[[[[]]]   [[[[]]]]]]]
20=[[[[[[]]]]]] [[[[[]]]]]
21=[[[[[[[]]]]]] [[[[[]]]]]]
22=[[[[[[[[]]]]]] [[[[[]]]]]]]
23=[[[[[[[[[]]]]]] [[[[[]]]]]]]]
24=[[[[[[[]]]]]]] [[[[[]]]]]
25=[[[[[[]]]]]]  [[[]]]
26=[[[[[[[]]]]]]  [[[]]]]
27=[[[[]]]]   [[[]]]
28=[[[[[]]]]   [[[]]]]
29=[[[[[[]]]]   [[[]]]]]
30=[[[[[[[]]]]   [[[]]]]]]
31=[[[[[[[[]]]]   [[[]]]]]]]
32=[[[]]]  [[[[[[]]]]]]
33=[[[[]]]  [[[[[[]]]]]]]
34=[[[[[]]]  [[[[[[]]]]]]]]
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45=[[[[]]]]  [[[]]] [[[[[[]]]]]]
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