Python 2
สร้างตารางn = 64ตรวจสอบสิ่งที่ดีที่สุดด้วยกำลังดุร้ายสูงสุดn = 32:
4 4 0001
8 4 00010001
12 6 000001010011
16 8 0000010011101011
20 10 00010001011110011010
24 12 000101001000111110110111
28 14 0001011000010011101011111011
32 14 00001101000111011101101011110010
36 18 001000101001000111110011010110111000
40 20 0010101110001101101111110100011100100100
44 18 00010000011100100011110110110101011101101111
48 24 001011011001010111111001110000100110101000000110
52 26 0011010111000100111011011111001010001110100001001000
56 28 00100111111101010110001100001101100000001010100111001011
60 30 000001101101100011100101011101111110010010111100011010100010
64 32 0001100011110101111111010010011011100111000010101000001011011001
ที่แสดงให้เห็นถึง0 -1ถ้าnไม่หารด้วย 4 ก็m = 1ถือว่าดีที่สุด สร้างโดยใช้รหัสนี้ (หรือรูปแบบเล็ก ๆ ของมัน) แต่มีการทดลองเพิ่มเติมสำหรับที่สูงกว่าn:
from random import *
seed(10)
trials=10000
def calcm(x,n):
m=1
y=x
while 1:
y=((y&1)<<(n-1))|(y>>1)
if bin(x^y).count('1')!=n/2:
return m
m+=1
def hillclimb(x,n,ns):
bestm=calcm(x,n)
while 1:
cands=[]
for pos in ns:
xx=x^(1<<pos)
m=calcm(xx,n)
if m>bestm:
bestm=m
cands=[xx]
elif cands and m==bestm:
cands+=[xx]
if not cands:
break
x=choice(cands)
return x,bestm
def approx(n):
if n<10: return brute(n)
bestm=1
bestx=0
for trial in xrange(1,trials+1):
if not trial&16383:
print bestm,bin((1<<n)|bestx)[3:]
if not trial&1:
x=randint(0,(1<<(n/2-2))-1)
x=(x<<(n/2)) | (((1<<(n/2))-1)^x)
ns=range(n/2-2)
if not trial&7:
adj=randint(1,5)
x^=((1<<adj)-1)<<randint(0,n/2-adj)
else:
x=randint(0,(1<<(n-2))-1)
ns=range(n-2)
x,m=hillclimb(x,n,ns)
if m>bestm:
bestm=m
bestx=x
return bestm,bestx
def brute(n):
bestm=1
bestx=0
for x in xrange(1<<(n-2)):
m=calcm(x,n)
if m>bestm:
bestm=m
bestx=x
return bestm,bestx
for n in xrange(4,101,4):
m,x=approx(n)
print n,m,bin((1<<n)|x)[3:]
nวิธีการคือการค้นหาแบบสุ่มที่เรียบง่ายด้วยการปีนเนินการใช้ประโยชน์จากรูปแบบสังเกตสำหรับธุรกิจขนาดเล็ก รูปแบบที่เหมาะสมที่สุดmในช่วงครึ่งหลังของแถวแรกมักจะมีระยะทางแก้ไขเล็กน้อยจากการปฏิเสธ (บิต) ในช่วงครึ่งปีแรก ผลลัพธ์ของโค้ดด้านบนนั้นดีสำหรับขนาดเล็กnแต่เริ่มเสื่อมลงหลังจากนั้นไม่นานหลังจากที่เดรัจฉานบังคับไม่ได้ ฉันยินดีที่จะเห็นวิธีการที่ดีกว่า
ข้อสังเกตบางอย่าง:
- เมื่อ
nเป็นเลขคี่m = 1จะดีที่สุดเพราะจำนวนคี่และจำนวนลบไม่สามารถรวมกันเป็นศูนย์ได้ (orthogonal หมายถึง dot product เป็นศูนย์)
- เมื่อ
n = 4k + 2, m = 1จะดีที่สุดเพราะในการสั่งซื้อสำหรับm >= 2เราจำเป็นต้องได้ว่าn/2ลงนามในการพลิกผันในหมู่และเลขคี่ของการพลิกผันเข้าสู่ระบบจะบ่งบอก{(a1,a2), (a2,a3), ... (a{n-1},an), (an,a1)}a1 = -a1
- ผลิตภัณฑ์ dot สองแถว
iและjในเมทริกซ์ circulant abs(i-j)จะถูกกำหนดโดย ตัวอย่างเช่นถ้าแล้วrow1 . row2 = 0 row4 . row5 = 0นี่เป็นเพราะองค์ประกอบคู่สำหรับผลิตภัณฑ์ดอทเหมือนกันเพียงหมุน
- ดังนั้นสำหรับการตรวจสอบ orthogonality ร่วมกันเราจะต้องตรวจสอบแถวต่อเนื่องกับแถวแรก
- ถ้าเราเป็นตัวแทนแถวเป็นสตริงไบนารีที่มี
0ในสถานที่ของ-1เราสามารถตรวจสอบการตั้งฉากที่สองแถวโดยการบิต xor และเปรียบเทียบ popcount n/2ด้วย
- เราสามารถแก้ไขสององค์ประกอบแรกของแถวแรกโดยพลการเนื่องจาก (1) การลบเมทริกซ์จะไม่ส่งผลต่อว่าจุดของผลิตภัณฑ์เท่ากับศูนย์และ (2) เรารู้ว่าต้องมีองค์ประกอบที่อยู่ติดกันอย่างน้อยสองรายการที่มีเครื่องหมายเดียวกัน องค์ประกอบที่อยู่ติดกันมีเครื่องหมายที่แตกต่างกันดังนั้นเราสามารถหมุนเพื่อวางคู่ที่ต้องการในตอนต้น
- การแก้ปัญหา
(n0, m0)โดยอัตโนมัติจะให้โซลูชั่น(k * n0, m0)สำหรับโดยพลการk > 1โดย (ซ้ำ) เชื่อมต่อแถวแรกกับตัวเอง ผลที่ตามมาคือเราสามารถหาได้ง่ายm = 4สำหรับการnหารใด ๆด้วย 4
มันเป็นเรื่องธรรมดาที่จะคาดเดาว่าn/2มันจะเป็นขอบเขตที่แน่นแต่mเมื่อใดn > 4แต่ฉันไม่รู้ว่ามันจะพิสูจน์ได้อย่างไร