Python (w / PyPy JIT v1.9) ~ 1.9s
ใช้หลายพหุนามกำลังสองตะแกรง ฉันใช้สิ่งนี้เป็นความท้าทายของรหัสดังนั้นฉันเลือกที่จะไม่ใช้ไลบรารีภายนอกใด ๆ (นอกเหนือจากlogฟังก์ชั่นมาตรฐานฉันคิดว่า) เมื่อระยะเวลาที่PyPy JITควรจะใช้เป็นผลในการกำหนดเวลา 4-5 ครั้งเร็วกว่าที่CPython
อัปเดต (2013-07-29):
ตั้งแต่เริ่มโพสต์ครั้งแรกฉันได้ทำการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย แต่มีการเปลี่ยนแปลงที่สำคัญซึ่งทำให้ความเร็วโดยรวมเพิ่มขึ้นประมาณ 2.5 เท่า
อัปเดต (2014-08-27):
เนื่องจากโพสต์นี้ยังคงได้รับความสนใจฉันได้อัปเดตmy_math.pyการแก้ไขข้อผิดพลาดสองประการสำหรับผู้ที่อาจใช้งาน:
isqrtเป็นความผิดพลาดบางครั้งการส่งออกที่ไม่ถูกต้องสำหรับค่าใกล้กับสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบ สิ่งนี้ได้รับการแก้ไขและประสิทธิภาพเพิ่มขึ้นโดยใช้เมล็ดพันธุ์ที่ดีกว่ามากis_primeได้รับการปรับปรุง ความพยายามก่อนหน้าของฉันที่จะลบสแควร์ 2 สปรูปที่สมบูรณ์แบบนั้นก็คือใจจริงที่ดีที่สุด ฉันได้เพิ่มการตรวจสอบ 3 sprp - เทคนิคที่ใช้โดย Mathmatica - เพื่อให้แน่ใจว่าค่าการทดสอบนั้นไม่มีรูปแบบสแควร์
อัปเดต (2014-11-24):
หากในตอนท้ายของการคำนวณไม่พบความไม่สอดคล้องที่ไม่สำคัญตอนนี้ progam จะกรองพหุนามเพิ่มเติม TODOนี้ถูกทำเครื่องหมายก่อนหน้านี้ในรหัสเป็น
mpqs.py
from my_math import *
from math import log
from time import clock
from argparse import ArgumentParser
# Multiple Polynomial Quadratic Sieve
def mpqs(n, verbose=False):
if verbose:
time1 = clock()
root_n = isqrt(n)
root_2n = isqrt(n+n)
# formula chosen by experimentation
# seems to be close to optimal for n < 10^50
bound = int(5 * log(n, 10)**2)
prime = []
mod_root = []
log_p = []
num_prime = 0
# find a number of small primes for which n is a quadratic residue
p = 2
while p < bound or num_prime < 3:
# legendre (n|p) is only defined for odd p
if p > 2:
leg = legendre(n, p)
else:
leg = n & 1
if leg == 1:
prime += [p]
mod_root += [int(mod_sqrt(n, p))]
log_p += [log(p, 10)]
num_prime += 1
elif leg == 0:
if verbose:
print 'trial division found factors:'
print p, 'x', n/p
return p
p = next_prime(p)
# size of the sieve
x_max = len(prime)*60
# maximum value on the sieved range
m_val = (x_max * root_2n) >> 1
# fudging the threshold down a bit makes it easier to find powers of primes as factors
# as well as partial-partial relationships, but it also makes the smoothness check slower.
# there's a happy medium somewhere, depending on how efficient the smoothness check is
thresh = log(m_val, 10) * 0.735
# skip small primes. they contribute very little to the log sum
# and add a lot of unnecessary entries to the table
# instead, fudge the threshold down a bit, assuming ~1/4 of them pass
min_prime = int(thresh*3)
fudge = sum(log_p[i] for i,p in enumerate(prime) if p < min_prime)/4
thresh -= fudge
if verbose:
print 'smoothness bound:', bound
print 'sieve size:', x_max
print 'log threshold:', thresh
print 'skipping primes less than:', min_prime
smooth = []
used_prime = set()
partial = {}
num_smooth = 0
num_used_prime = 0
num_partial = 0
num_poly = 0
root_A = isqrt(root_2n / x_max)
if verbose:
print 'sieving for smooths...'
while True:
# find an integer value A such that:
# A is =~ sqrt(2*n) / x_max
# A is a perfect square
# sqrt(A) is prime, and n is a quadratic residue mod sqrt(A)
while True:
root_A = next_prime(root_A)
leg = legendre(n, root_A)
if leg == 1:
break
elif leg == 0:
if verbose:
print 'dumb luck found factors:'
print root_A, 'x', n/root_A
return root_A
A = root_A * root_A
# solve for an adequate B
# B*B is a quadratic residue mod n, such that B*B-A*C = n
# this is unsolvable if n is not a quadratic residue mod sqrt(A)
b = mod_sqrt(n, root_A)
B = (b + (n - b*b) * mod_inv(b + b, root_A))%A
# B*B-A*C = n <=> C = (B*B-n)/A
C = (B*B - n) / A
num_poly += 1
# sieve for prime factors
sums = [0.0]*(2*x_max)
i = 0
for p in prime:
if p < min_prime:
i += 1
continue
logp = log_p[i]
inv_A = mod_inv(A, p)
# modular root of the quadratic
a = int(((mod_root[i] - B) * inv_A)%p)
b = int(((p - mod_root[i] - B) * inv_A)%p)
k = 0
while k < x_max:
if k+a < x_max:
sums[k+a] += logp
if k+b < x_max:
sums[k+b] += logp
if k:
sums[k-a+x_max] += logp
sums[k-b+x_max] += logp
k += p
i += 1
# check for smooths
i = 0
for v in sums:
if v > thresh:
x = x_max-i if i > x_max else i
vec = set()
sqr = []
# because B*B-n = A*C
# (A*x+B)^2 - n = A*A*x*x+2*A*B*x + B*B - n
# = A*(A*x*x+2*B*x+C)
# gives the congruency
# (A*x+B)^2 = A*(A*x*x+2*B*x+C) (mod n)
# because A is chosen to be square, it doesn't need to be sieved
val = sieve_val = A*x*x + 2*B*x + C
if sieve_val < 0:
vec = set([-1])
sieve_val = -sieve_val
for p in prime:
while sieve_val%p == 0:
if p in vec:
# keep track of perfect square factors
# to avoid taking the sqrt of a gigantic number at the end
sqr += [p]
vec ^= set([p])
sieve_val = int(sieve_val / p)
if sieve_val == 1:
# smooth
smooth += [(vec, (sqr, (A*x+B), root_A))]
used_prime |= vec
elif sieve_val in partial:
# combine two partials to make a (xor) smooth
# that is, every prime factor with an odd power is in our factor base
pair_vec, pair_vals = partial[sieve_val]
sqr += list(vec & pair_vec) + [sieve_val]
vec ^= pair_vec
smooth += [(vec, (sqr + pair_vals[0], (A*x+B)*pair_vals[1], root_A*pair_vals[2]))]
used_prime |= vec
num_partial += 1
else:
# save partial for later pairing
partial[sieve_val] = (vec, (sqr, A*x+B, root_A))
i += 1
num_smooth = len(smooth)
num_used_prime = len(used_prime)
if verbose:
print 100 * num_smooth / num_prime, 'percent complete\r',
if num_smooth > num_used_prime:
if verbose:
print '%d polynomials sieved (%d values)'%(num_poly, num_poly*x_max*2)
print 'found %d smooths (%d from partials) in %f seconds'%(num_smooth, num_partial, clock()-time1)
print 'solving for non-trivial congruencies...'
used_prime_list = sorted(list(used_prime))
# set up bit fields for gaussian elimination
masks = []
mask = 1
bit_fields = [0]*num_used_prime
for vec, vals in smooth:
masks += [mask]
i = 0
for p in used_prime_list:
if p in vec: bit_fields[i] |= mask
i += 1
mask <<= 1
# row echelon form
col_offset = 0
null_cols = []
for col in xrange(num_smooth):
pivot = col-col_offset == num_used_prime or bit_fields[col-col_offset] & masks[col] == 0
for row in xrange(col+1-col_offset, num_used_prime):
if bit_fields[row] & masks[col]:
if pivot:
bit_fields[col-col_offset], bit_fields[row] = bit_fields[row], bit_fields[col-col_offset]
pivot = False
else:
bit_fields[row] ^= bit_fields[col-col_offset]
if pivot:
null_cols += [col]
col_offset += 1
# reduced row echelon form
for row in xrange(num_used_prime):
# lowest set bit
mask = bit_fields[row] & -bit_fields[row]
for up_row in xrange(row):
if bit_fields[up_row] & mask:
bit_fields[up_row] ^= bit_fields[row]
# check for non-trivial congruencies
for col in null_cols:
all_vec, (lh, rh, rA) = smooth[col]
lhs = lh # sieved values (left hand side)
rhs = [rh] # sieved values - n (right hand side)
rAs = [rA] # root_As (cofactor of lhs)
i = 0
for field in bit_fields:
if field & masks[col]:
vec, (lh, rh, rA) = smooth[i]
lhs += list(all_vec & vec) + lh
all_vec ^= vec
rhs += [rh]
rAs += [rA]
i += 1
factor = gcd(list_prod(rAs)*list_prod(lhs) - list_prod(rhs), n)
if factor != 1 and factor != n:
break
else:
if verbose:
print 'none found.'
continue
break
if verbose:
print 'factors found:'
print factor, 'x', n/factor
print 'time elapsed: %f seconds'%(clock()-time1)
return factor
if __name__ == "__main__":
parser =ArgumentParser(description='Uses a MPQS to factor a composite number')
parser.add_argument('composite', metavar='number_to_factor', type=long,
help='the composite number to factor')
parser.add_argument('--verbose', dest='verbose', action='store_true',
help="enable verbose output")
args = parser.parse_args()
if args.verbose:
mpqs(args.composite, args.verbose)
else:
time1 = clock()
print mpqs(args.composite)
print 'time elapsed: %f seconds'%(clock()-time1)
my_math.py
# divide and conquer list product
def list_prod(a):
size = len(a)
if size == 1:
return a[0]
return list_prod(a[:size>>1]) * list_prod(a[size>>1:])
# greatest common divisor of a and b
def gcd(a, b):
while b:
a, b = b, a%b
return a
# modular inverse of a mod m
def mod_inv(a, m):
a = int(a%m)
x, u = 0, 1
while a:
x, u = u, x - (m/a)*u
m, a = a, m%a
return x
# legendre symbol (a|m)
# note: returns m-1 if a is a non-residue, instead of -1
def legendre(a, m):
return pow(a, (m-1) >> 1, m)
# modular sqrt(n) mod p
# p must be prime
def mod_sqrt(n, p):
a = n%p
if p%4 == 3:
return pow(a, (p+1) >> 2, p)
elif p%8 == 5:
v = pow(a << 1, (p-5) >> 3, p)
i = ((a*v*v << 1) % p) - 1
return (a*v*i)%p
elif p%8 == 1:
# Shank's method
q = p-1
e = 0
while q&1 == 0:
e += 1
q >>= 1
n = 2
while legendre(n, p) != p-1:
n += 1
w = pow(a, q, p)
x = pow(a, (q+1) >> 1, p)
y = pow(n, q, p)
r = e
while True:
if w == 1:
return x
v = w
k = 0
while v != 1 and k+1 < r:
v = (v*v)%p
k += 1
if k == 0:
return x
d = pow(y, 1 << (r-k-1), p)
x = (x*d)%p
y = (d*d)%p
w = (w*y)%p
r = k
else: # p == 2
return a
#integer sqrt of n
def isqrt(n):
c = n*4/3
d = c.bit_length()
a = d>>1
if d&1:
x = 1 << a
y = (x + (n >> a)) >> 1
else:
x = (3 << a) >> 2
y = (x + (c >> a)) >> 1
if x != y:
x = y
y = (x + n/x) >> 1
while y < x:
x = y
y = (x + n/x) >> 1
return x
# strong probable prime
def is_sprp(n, b=2):
if n < 2: return False
d = n-1
s = 0
while d&1 == 0:
s += 1
d >>= 1
x = pow(b, d, n)
if x == 1 or x == n-1:
return True
for r in xrange(1, s):
x = (x * x)%n
if x == 1:
return False
elif x == n-1:
return True
return False
# lucas probable prime
# assumes D = 1 (mod 4), (D|n) = -1
def is_lucas_prp(n, D):
P = 1
Q = (1-D) >> 2
# n+1 = 2**r*s where s is odd
s = n+1
r = 0
while s&1 == 0:
r += 1
s >>= 1
# calculate the bit reversal of (odd) s
# e.g. 19 (10011) <=> 25 (11001)
t = 0
while s:
if s&1:
t += 1
s -= 1
else:
t <<= 1
s >>= 1
# use the same bit reversal process to calculate the sth Lucas number
# keep track of q = Q**n as we go
U = 0
V = 2
q = 1
# mod_inv(2, n)
inv_2 = (n+1) >> 1
while t:
if t&1:
# U, V of n+1
U, V = ((U + V) * inv_2)%n, ((D*U + V) * inv_2)%n
q = (q * Q)%n
t -= 1
else:
# U, V of n*2
U, V = (U * V)%n, (V * V - 2 * q)%n
q = (q * q)%n
t >>= 1
# double s until we have the 2**r*sth Lucas number
while r:
U, V = (U * V)%n, (V * V - 2 * q)%n
q = (q * q)%n
r -= 1
# primality check
# if n is prime, n divides the n+1st Lucas number, given the assumptions
return U == 0
# primes less than 212
small_primes = set([
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,
73, 79, 83, 89, 97,101,103,107,109,113,
127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,
179,181,191,193,197,199,211])
# pre-calced sieve of eratosthenes for n = 2, 3, 5, 7
indices = [
1, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,
43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83,
89, 97,101,103,107,109,113,121,127,131,
137,139,143,149,151,157,163,167,169,173,
179,181,187,191,193,197,199,209]
# distances between sieve values
offsets = [
10, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6,
6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4,
2, 4, 8, 6, 4, 6, 2, 4, 6, 2, 6, 6,
4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 2,10, 2]
max_int = 2147483647
# an 'almost certain' primality check
def is_prime(n):
if n < 212:
return n in small_primes
for p in small_primes:
if n%p == 0:
return False
# if n is a 32-bit integer, perform full trial division
if n <= max_int:
i = 211
while i*i < n:
for o in offsets:
i += o
if n%i == 0:
return False
return True
# Baillie-PSW
# this is technically a probabalistic test, but there are no known pseudoprimes
if not is_sprp(n, 2): return False
# idea shamelessly stolen from Mathmatica
# if n is a 2-sprp and a 3-sprp, n is necessarily square-free
if not is_sprp(n, 3): return False
a = 5
s = 2
# if n is a perfect square, this will never terminate
while legendre(a, n) != n-1:
s = -s
a = s-a
return is_lucas_prp(n, a)
# next prime strictly larger than n
def next_prime(n):
if n < 2:
return 2
# first odd larger than n
n = (n + 1) | 1
if n < 212:
while True:
if n in small_primes:
return n
n += 2
# find our position in the sieve rotation via binary search
x = int(n%210)
s = 0
e = 47
m = 24
while m != e:
if indices[m] < x:
s = m
m = (s + e + 1) >> 1
else:
e = m
m = (s + e) >> 1
i = int(n + (indices[m] - x))
# adjust offsets
offs = offsets[m:] + offsets[:m]
while True:
for o in offs:
if is_prime(i):
return i
i += o
ตัวอย่าง I / O:
$ pypy mpqs.py --verbose 94968915845307373740134800567566911
smoothness bound: 6117
sieve size: 24360
log threshold: 14.3081031579
skipping primes less than: 47
sieving for smooths...
144 polynomials sieved (7015680 values)
found 405 smooths (168 from partials) in 0.513794 seconds
solving for non-trivial congruencies...
factors found:
216366620575959221 x 438925910071081891
time elapsed: 0.685765 seconds
$ pypy mpqs.py --verbose 523022617466601111760007224100074291200000001
smoothness bound: 9998
sieve size: 37440
log threshold: 15.2376302725
skipping primes less than: 59
sieving for smooths...
428 polynomials sieved (32048640 values)
found 617 smooths (272 from partials) in 1.912131 seconds
solving for non-trivial congruencies...
factors found:
14029308060317546154181 x 37280713718589679646221
time elapsed: 2.064387 seconds
หมายเหตุ: การไม่ใช้--verboseตัวเลือกจะให้เวลาที่ดีขึ้นเล็กน้อย:
$ pypy mpqs.py 94968915845307373740134800567566911
216366620575959221
time elapsed: 0.630235 seconds
$ pypy mpqs.py 523022617466601111760007224100074291200000001
14029308060317546154181
time elapsed: 1.886068 seconds
แนวคิดพื้นฐาน
โดยทั่วไปตะแกรงกำลังสองจะขึ้นอยู่กับการสังเกตต่อไปนี้: คอมโพสิตแปลก ๆ ใด ๆnอาจแสดงเป็น:
นี่ไม่ใช่เรื่องยากที่จะยืนยัน เนื่องจากnเป็นเลขคี่ระยะทางระหว่างสองปัจจัยร่วมของnต้องเท่ากับ2dโดยที่xคือจุดกึ่งกลางระหว่างพวกเขา ยิ่งไปกว่านั้นความสัมพันธ์แบบเดียวกันนั้นมีอยู่สำหรับพหุคูณใด ๆ ของn
โปรดทราบว่าถ้าใด ๆ เช่นxและdสามารถพบได้ทันทีจะส่งผลให้ปัจจัย (ไม่จำเป็นต้องลาก) ของnตั้งแต่x + Dและx - วันที่ทั้งสองหารnโดยความหมาย ความสัมพันธ์นี้สามารถลดลงได้อีกซึ่งเป็นผลมาจากการอนุญาตให้มีความสอดคล้องเล็กน้อยที่อาจเกิดขึ้นกับแบบฟอร์มต่อไปนี้:
ดังนั้นโดยทั่วไปถ้าเราสามารถหาสองสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบซึ่งเทียบเท่าสมัย nแล้วก็ค่อนข้างมีแนวโน้มที่เราโดยตรงสามารถผลิตปัจจัยของnลาGCD (x ± d, n) ดูเหมือนง่ายสวยใช่มั้ย
ยกเว้นมันไม่ใช่ ถ้าเราตั้งใจที่จะดำเนินการค้นหาหมดจดกว่าเป็นไปได้ทั้งหมดxเราจะต้องค้นหาทั้งช่วงจาก [ √ n , √ ( 2n ) ] ซึ่งเป็นเล็กน้อยมีขนาดเล็กกว่าส่วนการพิจารณาคดีเต็ม แต่ยังต้องมีราคาแพงis_squareการดำเนินงานแต่ละซ้ำไป ยืนยันค่าของd เว้นแต่เป็นกรณีที่เป็นที่รู้จักกันก่อนที่nมีปัจจัยมากใกล้√ nส่วนการพิจารณาคดีมีแนวโน้มที่จะได้เร็วขึ้น
บางทีเราอาจทำให้ความสัมพันธ์นี้อ่อนแอลงยิ่งกว่าเดิม สมมติว่าเราเลือกxเช่นนั้น
รู้จักการแยกตัวประกอบเฉพาะของyอย่างเต็มที่ หากเรามีความสัมพันธ์ดังกล่าวเพียงพอเราควรจะสามารถสร้างd ที่เพียงพอได้ถ้าเราเลือกจำนวนyเพื่อให้ผลิตภัณฑ์ของพวกเขาเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์ นั่นคือปัจจัยสำคัญทั้งหมดจะถูกใช้เป็นจำนวนเท่าตัว ในความเป็นจริงถ้าเรามีyมากกว่าจำนวนรวมของปัจจัยสำคัญเฉพาะที่มีอยู่รับประกันว่าจะมีอยู่จริง มันกลายเป็นระบบของสมการเชิงเส้น ตอนนี้กลายเป็นคำถามเราจะเลือกxอย่างนั้นได้อย่างไร? นั่นคือสิ่งที่ sieving เข้ามาเล่น
ตะแกรง
พิจารณาพหุนาม:
จากนั้นสำหรับไพร์มpและเลขจำนวนเต็มkค่าต่อไปนี้เป็นจริง:
ซึ่งหมายความว่าหลังจากแก้หารากของพหุนามmod p - นั่นคือคุณได้พบxเช่นy (x) ≡ 0 (mod p) , ergo yหารด้วยp - แล้วคุณได้พบจำนวนอนันต์ เช่นx ด้วยวิธีนี้คุณสามารถกรองช่วงของxโดยระบุปัจจัยเฉพาะขนาดเล็กของyหวังว่าจะได้พบกับปัจจัยสำคัญทั้งหมดที่มีขนาดเล็ก ตัวเลขดังกล่าวรู้จักกันในชื่อk-smoothโดยที่kเป็นตัวประกอบที่สำคัญที่สุดที่ใช้
แม้ว่าจะมีปัญหาเล็กน้อยเกี่ยวกับวิธีการนี้ ไม่ได้ค่าทั้งหมดของxที่เพียงพอในความเป็นจริงมีเพียงมากน้อยของพวกเขาแน่นิ่ง√ n ค่าที่น้อยลงจะกลายเป็นค่าลบส่วนใหญ่ (เนื่องจากคำว่า-n ) และค่าที่มากขึ้นจะกลายเป็นค่าที่ใหญ่เกินไปเช่นว่ามันไม่น่าเป็นไปได้ที่การแยกตัวประกอบเฉพาะของพวกเขาจะประกอบไปด้วยเฉพาะช่วงเวลาเล็ก ๆ จะมีจำนวนของxดังกล่าวแต่ถ้าคอมโพสิตที่คุณแยกตัวประกอบมีขนาดเล็กมากมันไม่น่าเป็นไปได้สูงที่คุณจะพบว่าผิวเรียบเนียนพอที่จะทำให้เกิดการแยกตัวประกอบ ดังนั้นสำหรับn ที่ใหญ่กว่ามันจำเป็นต้องกรองหลายพหุนามของรูปแบบที่กำหนด
หลายพหุนาม
ดังนั้นเราจึงต้องการพหุนามอีกมากมาย เกี่ยวกับสิ่งนี้:
นั่นจะได้ผล โปรดทราบว่าAและBอาจเป็นค่าจำนวนเต็มใด ๆ และคณิตศาสตร์ยังคงมีอยู่ สิ่งที่เราต้องทำคือเลือกค่าสุ่มสองสามค่าแก้หารากของพหุนามและกรองค่าใกล้กับศูนย์ เมื่อถึงจุดนี้เราก็เรียกมันว่าดีพอ: ถ้าคุณขว้างก้อนหินไปในทิศทางที่สุ่มมากพอคุณจะต้องแตกหน้าต่างไม่ช้าก็เร็ว
ยกเว้นมีปัญหากับที่เกินไป หากความชันของพหุนามมีขนาดใหญ่ที่จุดตัดแกน x ซึ่งจะเป็นถ้ามันไม่ค่อนข้างแบนจะมีค่าที่เหมาะสมเพียงไม่กี่ที่จะกรองต่อพหุนาม มันจะใช้งานได้ แต่คุณจะได้จำนวนมากมายของพหุนามก่อนที่จะได้รับสิ่งที่คุณต้องการ เราทำได้ดีกว่านี้ไหม
เราทำได้ดีกว่า ข้อสังเกตซึ่งเป็นผลมาจากมอนต์โกเมอรี่มีดังนี้: ถ้าเลือกAและBเช่นนั้นจะมีCพอใจอยู่บ้าง
จากนั้นพหุนามทั้งหมดสามารถเขียนใหม่เป็น
นอกจากนี้หากถูกเลือกให้เป็นตารางที่สมบูรณ์แบบชั้นนำระยะสามารถละเลยในขณะที่ sieving ผลในค่าที่มีขนาดเล็กมากและโค้งประจบมาก สำหรับการแก้ปัญหาดังกล่าวจะมีชีวิตอยู่, nจะต้องเป็นกำลังสองตกค้างmod √ซึ่งสามารถเป็นที่รู้จักทันทีโดยคำนวณสัญลักษณ์ Legendre : ( n | √A ) = 1 โปรดทราบว่าเพื่อที่จะแก้ปัญหาสำหรับBจะต้องทราบการแยกตัวประกอบเฉพาะที่สมบูรณ์ของ√A (เพื่อใช้สแควร์รูทแบบแยกส่วน√n (mod √A) ) ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไม√Aจึงถูกเลือกให้เป็นนายก
จากนั้นจะสามารถแสดงให้เห็นว่าหาก
จากนั้นสำหรับค่าทั้งหมดของx ∈ [ -M, M ] :
และตอนนี้ในที่สุดเรามีส่วนประกอบทั้งหมดที่จำเป็นในการใช้ตะแกรงของเรา หรือพวกเรา
พลังแห่งกาลเป็นปัจจัย
ตะแกรงของเราดังที่อธิบายไว้ข้างต้นมีข้อบกพร่องที่สำคัญอย่างหนึ่ง มันสามารถระบุได้ว่าค่าใดของxจะส่งผลให้yหารด้วยpได้ แต่ไม่สามารถระบุได้ว่าyนี้หารด้วยพลังของpได้หรือไม่ เพื่อตรวจสอบว่าเราจะต้องดำเนินการส่วนการพิจารณาคดีในค่าที่จะร่อนจนกว่าจะไม่มีอีกต่อไปหารด้วยP ดูเหมือนว่าเราจะไปถึงทางตัน: จุดรวมของตะแกรงนั้นเพื่อที่เราจะได้ไม่ต้องทำอย่างนั้น ใช้เวลาในการตรวจสอบ playbook
นั่นดูมีประโยชน์ทีเดียว หากผลรวมของlnของปัจจัยสำคัญทั้งหมดเล็ก ๆ ของyใกล้เคียงกับค่าที่คาดหวังของln (y) , มันก็เกือบจะเป็นได้ว่าyไม่มีปัจจัยอื่น ๆ นอกจากนี้หากเราปรับค่าที่คาดหวังลงเล็กน้อยเราสามารถระบุค่าได้อย่างราบรื่นซึ่งมีอำนาจหลายช่วงเวลาเป็นปัจจัย ด้วยวิธีนี้เราสามารถใช้ตะแกรงเป็นกระบวนการ 'คัดกรองล่วงหน้า' และพิจารณาเฉพาะค่าที่น่าจะราบรื่น
นี่มีข้อดีอื่น ๆ เช่นกัน โปรดทราบว่าจำนวนเฉพาะน้อยมีผลต่อlnน้อยมากแต่ถึงกระนั้นพวกเขาก็ต้องการเวลาร่อนมากที่สุด sieving มูลค่า 3 ต้องใช้เวลามากกว่า 11, 13, 17, 19, และ 23 รวม แต่เราสามารถข้ามช่วงเวลาสองสามช่วงแรกและปรับเกณฑ์ลงตามนั้นโดยสมมติว่าเปอร์เซ็นต์ที่แน่นอนของพวกเขาจะผ่านไป
ผลลัพธ์อื่นคือจำนวนของค่าที่ได้รับอนุญาตให้ 'ส่งผ่าน' ซึ่งส่วนใหญ่จะราบรื่น แต่มีปัจจัยร่วมขนาดใหญ่เพียงครั้งเดียว เราสามารถทิ้งค่าเหล่านี้ได้ แต่สมมติว่าเราพบค่าที่ราบรื่นเป็นส่วนใหญ่โดยมีปัจจัยร่วมเดียวกัน แล้วเราสามารถใช้ทั้งสองค่าที่จะสร้างใช้งานY ; เนื่องจากผลิตภัณฑ์ของพวกเขาจะมีปัจจัยร่วมขนาดใหญ่กำลังสองจึงไม่จำเป็นต้องพิจารณาอีกต่อไป
วางมันทั้งหมดเข้าด้วยกัน
สิ่งสุดท้ายที่เราต้องทำคือการใช้ค่าเหล่านี้ของปีสร้างเพียงพอxและd สมมติว่าเราพิจารณาเฉพาะปัจจัยที่ไม่ใช่กำลังสองของyนั่นคือปัจจัยสำคัญของพลังคี่ จากนั้นแต่ละyสามารถแสดงในลักษณะดังต่อไปนี้:
ซึ่งสามารถแสดงในรูปแบบเมทริกซ์:
จากนั้นปัญหาจะกลายเป็นการค้นหาเวกเตอร์vเช่นนั้นvM = ⦳ (mod 2)โดยที่⦳เป็นเวกเตอร์โมฆะ นั่นคือการแก้สำหรับพื้นที่ null ซ้ายM ซึ่งสามารถทำได้ในหลายวิธีที่ง่ายที่สุดในการที่จะดำเนินการกำจัดแบบเกาส์ในM Tเปลี่ยนการดำเนินงานนอกจากนี้แถวที่มีแถวxor สิ่งนี้จะส่งผลให้มีเวกเตอร์พื้นฐานพื้นที่ว่างจำนวนหนึ่งซึ่งการรวมกันใด ๆ จะสร้างโซลูชันที่ถูกต้อง
การสร้างxค่อนข้างตรงไปตรงมา มันเป็นผลผลิตของAx + Bสำหรับแต่ละy ที่ใช้ การก่อสร้างของdซับซ้อนกว่าเล็กน้อย ถ้าเราจะเอาผลคูณของyทั้งหมด, เราจะจบลงด้วยค่า 10s ของหลักพัน, ถ้าไม่ใช่ 100s ของหลักพัน, ซึ่งเราต้องหาสแควร์รูท การคำนวณนี้มีราคาแพงมาก แต่เราสามารถติดตามพลังของจำนวนเฉพาะในระหว่างกระบวนการกรองและจากนั้นใช้และและการดำเนินงานxorบนเวกเตอร์ของปัจจัยที่ไม่ใช่สแควร์เพื่อสร้างรากที่สองใหม่
ฉันดูเหมือนจะมีจำนวนอักขระสูงสุดถึง 30,000 ตัว อ่าฉันคิดว่ามันดีพอ