การประสานของเสียงประสานครึ่งวงกลม

Spherical Harmonics (SH) เป็นวิธีการแสดงฟังก์ชั่นทรงกลมความถี่ต่ำที่มีค่าสัมประสิทธิ์เพียงไม่กี่ พวกมันมีคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ที่ดีเช่นการแปลงด้วยฟังก์ชันเคอร์เนลh (x) (ที่มีสมมาตรแบบวงกลม) สามารถคำนวณได้

$(h * f) ^ m_l = \ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}} h ^ 0_l f ^ m_l$

ในกรณีที่มีการบิดด้วยโคไซน์พูสำหรับอันดับ 3 SH นี่จะทำให้การปรับขนาดของวงดนตรีง่ายขึ้นด้วยปัจจัย

$[\ pi, \ frac {2 \ pi} {3}, \ frac {\ pi} {4}]$

ในหลายกรณีเช่นแสงตกกระทบสำหรับจุดที่กำหนดบนพื้นผิวทึบแสงไม่จำเป็นต้องใช้ข้อมูลทรงกลมเต็มรูปแบบเนื่องจากครึ่งหนึ่งของทรงกลมเป็นศูนย์ / ไม่ได้กำหนด / ไม่ได้ใช้ต่อไป ดังนั้นHemispherical Harmonics (HSH) จึงเกิดขึ้น

การบิดด้วยเคอร์เนลตามอำเภอใจ (ที่มีสมมาตรแบบวงกลม) ทำงานอย่างไรกับ HSH การสนทนาจาก SH สามารถขยายออกไปหรือมีกระดาษแผ่นไหนที่ให้รายละเอียดเกี่ยวกับเรื่องนี้?

hemisphere

— เดวิดคูริ
แหล่งที่มา

คุณเขียน "เคอร์เนลโดยพลการด้วยสมมาตรแบบวงกลม": นั่นไม่ได้หมายความว่าคุณต้องการเพียงแค่สังวัตนาด้วยส่วน (Hemispheric) Zonal Harmonics หรือไม่? หากแกนสมมาตรของคุณแตกต่างกันคุณยังคงสามารถใช้มันได้โดยการเพิ่มการหมุนก่อนและหลังการแปลงสัญ วิธีการหมุนจะอธิบายไว้ในกระดาษ การรวมกับส่วนที่เป็นวง (m = 0) น่าจะง่ายกว่า อย่างไรก็ตามเช่นเดียวกับ Spherical Harmonics มันจะไม่สามารถวิเคราะห์ได้สำหรับฟังก์ชั่นโดยพลการ สิ่งที่เรียบง่ายเช่น cosine lobes น่าจะใช้ได้ดี (ยังไม่ได้ลองเลย)

— Wumpf

@ Wumpf คุณพูดถูกมันเป็นอะไรที่เยี่ยมมาก ๆ สำหรับ SH ฉันจะขยาย "f ของแต่ละกลุ่มด้วยคำ m = 0 ที่สอดคล้องกันจาก [ฟังก์ชันเคอร์เนล] h" (อ้างถึงเทคนิคของ SH Sloan Stupid SH) คำถามคือฉันสามารถทำเช่นเดียวกันสำหรับ HSH

— David Kuri

คำตอบนี้พยายามให้ภาพรวมโดยย่อเกี่ยวกับประเด็นสำคัญบางประการ เนื่องจากคำจำกัดความของ HSH ค่อนข้างซับซ้อนและฉันไม่สามารถหาภาพรวมของฟังก์ชั่นที่ประเมินไว้ล่วงหน้าได้ฉันจึงไม่ได้ยกตัวอย่างเพราะมันใช้เวลามากเกินไปในตอนนี้

คำอธิบายปัญหา & กำลังดุร้าย

ในการพิจารณาการโน้มน้าวใด ๆ กับชุดของฟังก์ชั่นพื้นฐานใด ๆ และดังนั้นจึงคำนวณค่าสัมประสิทธิ์โดยทั่วไปเราจำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัลภายในโดเมน (= ทรงกลมสำหรับ SH, ซีกโลกสำหรับ HSH) ทุกสิ่งที่เราต้องทำเพื่อแสดงฟังก์ชันครึ่งซีกfซึ่งกำหนดเหนือมุมtheta ("ขึ้น / ลง") และphi ("ซ้าย / ขวา") ผ่านค่าสัมประสิทธิ์cสำหรับฟังก์ชันพื้นฐาน HSH Hคือ:

$\ int_0 ^ {2 \ pi} \ int_0 ^ {\ frac {2} {\ pi}} f (\ theta, \ phi) \ cdot H_l ^ m (\ theta, \ phi) \ cdot บาป (\ theta) \ , \, \ mathrm {d} \ theta \ mathrm {d} \ phi$

บาป (theta)คือมีเพราะเรารวมกว่าพื้นผิวของ (hemi-) ทรงกลม ตามหลักการแล้วขนาดของชิ้นส่วนของพื้นที่ที่มาจากการเปลี่ยนพีนั้นใหญ่กว่าหรือเล็กกว่าในทีทีปัจจุบัน เพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ที่นี่

หากเราไม่ใส่ใจมากเกินไปเกี่ยวกับความแม่นยำหรือเวลาในการคำนวณเราสามารถแก้ปัญหานี้ได้ง่ายๆโดยการสุ่มตัวอย่าง: สร้างทิศทางการกระจาย (!) เท่า ๆ กันบนซีกโลกคำนวณผลิตภัณฑ์ของ f และ H และเฉลี่ยผลลัพธ์ (ถ้าคุณกระจายเท่ากันอย่างแท้จริง คะแนนที่คุณไม่ต้องการบาป (theta) )

เริ่มต้นด้วยโซลูชันการวิเคราะห์

แน่นอนว่าเราชอบที่จะมีโซลูชันการวิเคราะห์สำหรับฟังก์ชั่นของเรา แต่นี่คือสิ่งที่สามารถเกิดขึ้นได้ยากมาก ในขั้นตอนแรกเราอาจจำเป็นต้องแปลงฟังก์ชั่นที่ให้ไว้ในทิศทางคาร์ทีเซียนให้เป็นพิกัดทรงกลม ส่วนนี้ยังคงง่ายเพียงแค่แทนที่ x, y และ z ของคุณทั้งหมดดังต่อไปนี้:

$(x, y, z) \ rightarrow (\ sin \ theta \ cos \ phi, \ sin \ theta \ sin \ phi, \ cos \ theta)$

โปรดทราบว่าสิ่งนี้ทำให้เรามีระบบที่แกน z คือ "ขึ้น" ของซีกโลก (theta = 0) ซึ่งควรจะแสดงโดย HSH หลังจากนั้นอาจเป็นไปได้ที่จะแทรกทุกอย่างลงในระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์และแก้สมการ อย่าพยายามที่จะแก้ปัญหาสำหรับทุกm & lแต่ลองสัมประสิทธิ์หนึ่งครั้งในขณะที่มันไม่น่าเป็นไปได้ที่จะมีการแสดงออกที่กะทัดรัดที่อธิบายพวกเขาทั้งหมดในครั้งเดียว คำจำกัดความของ HSH นั้นค่อนข้างซับซ้อนซึ่งทำให้น่าเบื่อมากในการประเมินฟังก์ชั่นเหล่านี้ ในบทความนี้จะกล่าวถึงฟังก์ชั่นพื้นฐานของ HSH เป็นศูนย์และอันดับที่ 1 ในพิกัดคาร์ทีเซียน

หมายเหตุเกี่ยวกับการหมุน & Harmonics Zonal

ฟังก์ชั่นที่มีความสมมาตรการหมุนรอบแกน z นี้เป็นตัวเลือกที่ดีมากสำหรับการวิเคราะห์ที่ประสบความสำเร็จเนื่องจากมันจะส่งผลต่อค่าสัมประสิทธิ์โซนซึ่งเป็นสัมประสิทธิ์ทั้งหมดที่มีดัชนีmเท่ากับศูนย์ นี้จะเป็นประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับทั่วไปมากขึ้นทรงกลมที่ฮาร์มอนิสูตรง่ายอยู่ที่ช่วยให้การหมุนใด ๆ ที่เป็นตัวแทนเขตฮาร์มอนิทรงกลมไปยังทิศทางพลผลในการเป็นตัวแทนทรงกลมฮาร์มอนิโดยไม่สูญเสียข้อมูลใด ๆ (ดูที่นี่) ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถรับค่าสัมประสิทธ์ ZSH ได้โดยสมมติว่ารัศมีฟังก์ชันสมมาตรของคุณชี้ไปที่ z และหมุนมันไปในทิศทางที่ต้องการ วิธีนี้ใช้งานได้อย่างสมบูรณ์แบบกับรูปแบบของโคไซน์พูหลากหลายรูปแบบและยังให้ปัจจัยที่คุณกล่าวถึงในคำถามด้วย

ตอนนี้ข่าวร้าย: สำหรับ HSH การหมุนของฟังก์ชั่นรอบแกนอื่นที่ไม่ใช่ z จะสูญเสียไปเนื่องจากฟังก์ชั่นของคุณจะ "แตะ" ซีกโลกใต้ที่ไม่ได้กำหนดล่างหลังจากการหมุน ดังนั้นจึงไม่มีสูตรการหมุน "Hemi Zonal to HSH" ที่สะดวก แต่มีหลายวิธีที่จะทำได้ด้วยข้อเสียต่างกัน สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมโปรดดูที่กระดาษและนำเสนอ

โดยวิธีการ: ทั้งหมดนี้ง่ายขึ้นด้วยH-Basisซึ่งเป็นครึ่งวงกลมเช่นกัน (แต่เดิมกำหนดไว้เฉพาะสำหรับแถบความถี่จำนวน จำกัด )

— Wumpf
แหล่งที่มา