วิธีที่ง่ายที่สุดในการคำนวณความโค้งหลักสำหรับสามเหลี่ยมตาข่ายคืออะไร?

19

ฉันมีตาข่ายและในพื้นที่รอบ ๆ สามเหลี่ยมแต่ละรูปฉันต้องการคำนวณค่าประมาณของทิศทางความโค้งหลัก ฉันไม่เคยทำสิ่งนี้มาก่อนและWikipediaก็ไม่ได้ช่วยอะไรมากมาย คุณสามารถอธิบายหรือชี้ให้ฉันเป็นอัลกอริทึมแบบง่ายที่สามารถช่วยฉันคำนวณการประมาณนี้ได้หรือไม่?

สมมติว่าฉันรู้ตำแหน่งและบรรทัดฐานของทุกจุด

mesh

— ap_
แหล่งที่มา

24

เมื่อฉันต้องการการประมาณค่าความโค้งของตาข่ายสำหรับสกินเชดเดอร์

ก่อนอื่นฉันคำนวณความโค้งแบบสเกลาร์สำหรับแต่ละขอบในตาข่าย หากขอบมีตำแหน่งและ normalsดังนั้นฉันประเมินความโค้งเป็น: $p_1, p_2$ $n_1, n_2$

ความโค้ง = \frac{(n_{2} - n_{1}) \cdot ({พี}_{2} - {พี}_{1})}{| {พี}_{2} - {พี}_{1} |^{2}}

$\text{curvature} = \frac{(n_2 - n_1) \cdot (p_2 - p_1)}{|p_2 - p_1|^2}$

สิ่งนี้จะคำนวณความแตกต่างในรูปแบบปกติที่ฉายไปตามขอบซึ่งเป็นเศษส่วนของความยาวของขอบ (ดูด้านล่างสำหรับวิธีฉันมากับสูตรนี้)

จากนั้นสำหรับแต่ละจุดสุดยอดฉันดูที่ความโค้งของขอบทั้งหมดที่สัมผัสมัน ในกรณีของฉันฉันแค่ต้องการประมาณค่าสเกลาร์ของ "ความโค้งเฉลี่ย" ดังนั้นฉันจึงลงเอยด้วยการใช้ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของค่าสัมบูรณ์ของความโค้งของขอบทั้งหมดในแต่ละจุดยอด สำหรับกรณีของคุณคุณอาจพบความโค้งต่ำสุดและสูงสุดและนำขอบเหล่านั้นไปเป็นทิศทางความโค้งหลัก (อาจเป็นการเปลี่ยนมุมฉากของพวกมันด้วยจุดยอดปกติ) ค่อนข้างหยาบ แต่อาจให้ผลลัพธ์ที่ดีพอสำหรับสิ่งที่คุณต้องการ

แรงจูงใจสำหรับสูตรนี้คือการดูว่าเกิดอะไรขึ้นในแบบ 2D เมื่อใช้กับวงกลม:

สูตรความโค้งใช้กับจุดสองจุดบนวงกลม

สมมติว่าคุณมีวงกลมรัศมี (เพื่อความโค้งของมันคือ ) และคุณมีจุดสองจุดบนวงกลมที่มีภาวะปกติของพวกเขาn_2 ตำแหน่งของจุดสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางของวงกลมจะเป็นและเนื่องจากคุณสมบัติที่วงกลมหรือทรงกลมชี้ตรงออกจากจุดศูนย์กลางเสมอ $r$ $1/r$ $n_1, n_2$ $p_1 = rn_1$ $p_2 = rn_2$

ดังนั้นคุณสามารถกู้รัศมีได้เป็นหรือ. แต่โดยทั่วไปตำแหน่งจุดสุดยอดจะไม่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางของวงกลม เราสามารถแก้ไขได้โดยการลบสอง: $r = |p_1| / |n_1|$ $|p_2| / |n_2|$

\begin{aligned} {พี}_{2} - {พี}_{1} & = R n_{2} - R n_{1} \\ = R (n_{2} - n_{1}) \\ R & = \frac{| {พี}_{2} - {พี}_{1} |}{| n_{2} - n_{1} |} \\ ความโค้ง = \frac{1}{R} & = \frac{| n_{2} - n_{1} |}{| {พี}_{2} - {พี}_{1} |} \end{aligned}

$\begin{aligned} p_2 - p_1 &= rn_2 - rn_1 \\ &= r(n_2 - n_1) \\ r &= \frac{|p_2 - p_1|}{|n_2 - n_1|} \\ \text{curvature} = \frac{1}{r} &= \frac{|n_2 - n_1|}{|p_2 - p_1|} \end{aligned}$

ผลลัพธ์จะถูกต้องเฉพาะกับแวดวงและทรงกลมเท่านั้น อย่างไรก็ตามเราสามารถขยายเพื่อให้ "อดทน" อีกเล็กน้อยและใช้กับตาข่าย 3D โดยพลการและดูเหมือนว่าจะทำงานได้ดีพอสมควร เราสามารถทำให้สูตรมากขึ้น "ใจกว้าง" เป็นครั้งแรกโดยการฉายเวกเตอร์สู่ทิศทางของขอบที่P_1 วิธีนี้ช่วยให้เวกเตอร์สองตัวนี้ไม่ขนานกันอย่างแน่นอน (เหมือนในกรณีวงกลม); เราจะฉายส่วนประกอบใด ๆ ที่ไม่ขนานกัน เราสามารถทำสิ่งนี้ได้ด้วยการกระจายเวกเตอร์ขอบ: $n_2 - n_1$ $p_2 - p_1$

\begin{aligned} curvature & = \frac{(n_{2} - n_{1}) \cdot normalize (p_{2} - p_{1})}{| p_{2} - p_{1} |} \\ = \frac{(n_{2} - n_{1}) \cdot (p_{2} - p_{1}) / | p_{2} - p_{1} |}{| p_{2} - p_{1} |} \\ = \frac{(n_{2} - n_{1}) \cdot (p_{2} - p_{1})}{| p_{2} - p_{1} |^{2}} \end{aligned}

$\begin{aligned} \text{curvature} &= \frac{(n_2 - n_1) \cdot \text{normalize}(p_2 - p_1)}{|p_2 - p_1|} \\ &= \frac{(n_2 - n_1) \cdot (p_2 - p_1)/|p_2 - p_1|}{|p_2 - p_1|} \\ &= \frac{(n_2 - n_1) \cdot (p_2 - p_1)}{|p_2 - p_1|^2} \end{aligned}$

อีกครั้ง, มีสูตรที่ปรากฏที่ด้านบนของคำตอบนี้. ข้อดีข้างเคียงที่ดีของการใช้โปรเจคชั่นที่เซ็นชื่อ (ผลิตภัณฑ์ดอท) คือสูตรนั้นให้ความโค้งที่มีลายเซ็น: บวกสำหรับนูนและลบสำหรับพื้นผิวเว้า

อีกวิธีที่ฉันสามารถจินตนาการได้ แต่ไม่ได้ลองคือการประมาณรูปแบบพื้นฐานที่สองของพื้นผิวในแต่ละจุดยอด สิ่งนี้สามารถทำได้โดยการตั้งค่าพื้นฐานแทนเจนต์ที่จุดสุดยอดจากนั้นแปลงจุดยอดที่อยู่ใกล้เคียงทั้งหมดเป็นพื้นที่แทนเจนต์นั้นและใช้กำลังสองน้อยที่สุดเพื่อหาเมทริกซ์ 2FF ที่ดีที่สุด จากนั้นทิศทางความโค้งหลักจะเป็นค่าเฉพาะของเมทริกซ์นั้น สิ่งนี้น่าสนใจเพราะคุณสามารถหาทิศทางความโค้ง "โดยนัย" ของจุดยอดที่อยู่ใกล้เคียงโดยไม่มีขอบใด ๆ ชี้ไปในทิศทางนั้นอย่างชัดเจน แต่ในทางกลับกันก็คือรหัสที่มากขึ้นการคำนวณที่มากขึ้น

กระดาษที่ใช้วิธีนี้คือRusinkiewicz "ประมาณโค้งและอนุพันธ์ของพวกเขาในสามเหลี่ยมตาข่าย" มันทำงานได้โดยการประมาณเมทริกซ์ 2FF ที่ดีที่สุดต่อสามเหลี่ยมแล้วเฉลี่ยเมทริกซ์ต่อจุดสุดยอด (คล้ายกับวิธีการคำนวณบรรทัดฐานแบบเรียบ)

— นาธานรีด
แหล่งที่มา

1

FYI ถ้าเป็นเช่นนั้นฉันได้ใช้คำตอบของคุณที่นี่blender.stackexchange.com/questions/146819/แต่เพิ่มน้ำหนักโดยใช้มุมประมาณ p1 ไม่ทราบว่าคุณพบว่ามีค่าหรือไม่ อย่างไรก็ตามโปรดแสดงความคิดเห็น ขอบคุณ

— เลมอน

19

เพียงเพิ่มอีกวิธีหนึ่งในคำตอบ @NathanReed ที่ยอดเยี่ยมคุณสามารถใช้ค่าเฉลี่ยและความโค้งแบบเกาส์เซียนที่สามารถรับได้ด้วย Laplace-Beltrami แบบแยก

สมมติว่าย่าน 1-ring ของใน mesh ของคุณมีลักษณะเช่นนี้ $v_i$

$A(v_i)$ สามารถเป็นของพื้นที่สามเหลี่ยมที่เกิดวงแหวนนี้และระบุเป็นหนึ่งในจุดยอดที่อยู่ใกล้เคียง $\frac{1}{3}$ $v_j$

ทีนี้ลองเรียกฟังก์ชั่นที่กำหนดโดย mesh ของคุณ (จะต้องเป็น manifold ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้) ณ จุดหนึ่ง การแยกส่วนที่เป็นที่นิยมมากที่สุดของโอเปอเรเตอร์ Laplace-Beltrami ที่ฉันรู้คือการแยกส่วนโคแทนเจนต์และได้รับจาก: $f(v_i)$

Δ_{S} ฉ ({โวลต์}_{ผม}) = \frac{1}{2 A ({โวลต์}_{ผม})} \underset{{โวลต์}_{J} \in {ยังไม่มีข้อความ}_{1} ({โวลต์}_{ผม})}{Σ} (ค โอ เสื้อ α_{ผม J} + ค โอ เสื้อ β_{ผม J}) (ฉ ({โวลต์}_{J}) - ฉ ({โวลต์}_{ผม}))

$\Delta_S f(v_i) = \frac{1}{2A(v_i)} \sum_{v_j \in N_1(v_i)} (cot \alpha_{ij} + cot \beta_{ij}) (f(v_j) - f(v_i))$

ที่ไหนหมายถึงจุดสุดยอดทุกในย่านแหวนหนึ่งv_i $v_j \in N_1(v_i)$ $v_i$

ด้วยวิธีนี้ค่อนข้างง่ายในการคำนวณค่าเฉลี่ยความโค้ง (ตอนนี้เพื่อความง่ายเรามาเรียกฟังก์ชันของ mesh ที่จุดยอดที่น่าสนใจอย่างง่ายๆ ) คือ $v$

H = \frac{1}{2} | | Δ_{S} โวลต์ | |

$H = \frac{1}{2} || \Delta_S v ||$

ตอนนี้เราจะแนะนำมุมเป็น $\theta_j$

ความโค้งของเกาส์เซียนคือ:

K = (2 π - \underset{J}{Σ} θ_{J}) / A

$K = (2\pi - \sum_j \theta_j) / A$

หลังจากความเจ็บปวดทั้งหมดนี้ความโค้งที่ไม่ต่อเนื่องหลักได้รับจาก:

k_{1} = H + \sqrt{H^{2} - K} และ k_{2} = H - \sqrt{H^{2} - K}

$k_1 = H + \sqrt{H^2 - K} \ \ \text{and} \ \ k_2 = H - \sqrt{H^2 - K}$

หากคุณมีความสนใจในเรื่อง (และเพื่อเพิ่มการอ้างอิงถึงโพสต์นี้) การอ่านที่ยอดเยี่ยมคือ: ตัวดำเนินการ แยกความแตกต่าง - เรขาคณิตสำหรับสามเหลี่ยมสอง Manifolds [เมเยอร์และคณะ 2003]

สำหรับภาพฉันขอขอบคุณอดีตศาสตราจารย์ Niloy Mitra เนื่องจากฉันพบพวกเขาในบันทึกย่อบางอย่างที่ฉันใช้ในการบรรยาย

— cifz
แหล่งที่มา

คำตอบทั้งสองนั้นดีมากมันยากสำหรับฉันที่จะเลือก ตั้งแต่ฉันถามถึงวิธีที่ง่ายที่สุดฉันคิดว่านาธานรับเค้ก

— ap_

2

K = (π - \sum_{j} θ_{j}) / A_{m i x e d}

$K = (\pi - \sum_j{\theta_j})/A_{mixed}$

@teodron คุณมีข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับความโค้งเฉลี่ยของจุดยอดขอบหรือไม่ สิ่งนี้สามารถกำหนดได้หรือไม่?

— รำพึง

v_{i}

$v_i$

-1

@ Nathan-Reed: เพียงแค่คำถามสำหรับคำตอบของ Nathan-Reed: ทำไมคุณถึงใช้รูปทรงเรขาคณิต? นั่นเป็นเพราะมันเป็น "แบบจำลอง" หลังจากความโค้งของเกาส์เซียนหรือไม่?

— กาเบรียล
แหล่งที่มา

3

หากคุณมีคำถามใหม่โปรดขอได้โดยคลิกที่ถามคำถามปุ่ม รวมลิงค์ไปยังคำถามนี้หากช่วยระบุบริบท - จากการรีวิว

— Dragonseel