หาก

พูด, $L \subseteq \{0\}^*$ * ถ้าเช่นนั้นเราจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่า$L^*$นั้นปกติ?

ถ้า$L$เป็นปกติแน่นอนว่า$L^*$ก็เหมือนกัน ถ้า$L$เป็นจำนวน จำกัด แสดงว่าเป็นปกติและอีกครั้งคือ$L^*$ปกติ นอกจากนี้ฉันได้สังเกตเห็นว่าสำหรับ$L = \{0^p \mid p \text{ is a prime}\}$ , $L$ไม่ปกติ, $L \subseteq \{0\}^*$และ$L^*$เป็นปกติ

แต่วิธีการแสดงนี้ได้เซต$L$ของ$\{0\}^*$ ?

สมมติว่า$L$มีสองคำ$w_1$และ$w_2$ดังนั้นความยาวของคำเหล่านี้$|w_1|$และ$|w_2|$ไม่มีปัจจัยร่วมกัน จากนั้นเรามีคำที่ยาวที่สุดที่ไม่สามารถจัดรูปแบบโดยการต่อคำเหล่านี้มีความยาว$(|w_1|-1)(|w_2|-1) - 1$ ( หมายเลข Frobenius) กล่าวคือถ้ามีคำในภาษาที่มีความยาวไม่ได้มีปัจจัยร่วมกันแล้วทุกคำที่มีความยาวน้อยที่สุดบางอย่างในภาษาที่$L^*$ * มันง่ายที่จะเห็นว่านี่เป็นเรื่องปกติเนื่องจากมีความจำเป็นมีคลาสจำนวนเท่ากันภายใต้ความสัมพันธ์ซึ่งแยกไม่ออกจาก Myhill-Nerode

เกิดอะไรขึ้นถ้าความยาวของคำทั้งหมดในมีปัจจัยร่วมกัน? ก็ไม่ยากที่จะเห็นว่าในกรณีเช่นนี้L ∗ก็ปกติเช่นกัน เพียงแค่ทราบว่าแทนที่จะเป็นคำทั้งหมดที่มีความยาวมากกว่าความยาวน้อยที่สุดในL ∗มันจะเป็นความจริงทุกคำที่มีความยาวหลาย GCD ของความยาวของคำจะเป็นL ∗และไม่มีคำใดที่มีความยาว จะไม่ทวีคูณของ GCD นี้และเนื่องจาก( L k ) ∗เป็นปกติสำหรับจำนวนเต็มใด ๆk , L ∗จึงเป็นปกติเช่นกัน$L$$L^*$$L^*$$L^*$$(L^k)^*$$k$$L^*$

นี่เป็นเรื่องที่ค่อนข้างไม่เป็นทางการ แต่ทุกสิ่งที่คุณต้องการในการทำให้เป็นระเบียบนี้ควรอยู่ที่นี่

$w$$L^*$$L$$\mathring{L}$$w$$\mathring{L}$$L^* = \mathring{L}^*$$\mathring{L}$$L^*$

Letเป็นส่วนย่อยของและคำในLสามารถแสดงเป็นการต่อกันของคำใน iffสามารถแสดงเป็นผลรวมขององค์ประกอบของ ที่คือชุดของความยาวของคำในMดังนั้นปัญหาจะลดลงเพื่อแสดงจำนวนเต็มเป็นผลรวมของจำนวนเต็มในชุดใดชุดหนึ่ง (โดยอนุญาตการทำซ้ำ): canแสดงเป็นด้วยและ ?$M$$L$$w$$L$$w$$L$$|w|$$S \subset \mathbb{N}$$S$$M$$|w|$$k_1 s_1 + \ldots + k_m s_m$$\forall i, s_i \in S$$k_1 \in \mathbb{N}$

นี่เป็นปัญหาที่รู้จักกันดีในวิชาคณิตศาสตร์และคำตอบก็คือถ้าสัมประสิทธิ์สามารถเป็นค่าลบได้ ( ),เป็นแสดงออก IFF มันมีหลายตัวหารร่วมมากขององค์ประกอบของ :S ด้วยข้อกำหนดสำหรับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นลบสิ่งนี้ยังคงมีขนาดใหญ่เพียงพอ.$(k_i)$$k_i \in \mathbb{Z}$$|w|$$S$$\gcd S$$|w|$

พิจารณาลำดับอนันต์กำหนดโดยผม]) นี่คือลำดับที่ลดลงของจำนวนเต็ม (เริ่มต้นด้วยดังนั้นจึงเป็นค่าคงที่หลังจากดัชนีบางอย่างและโดยทฤษฎีเศษที่เหลือของจีนทุกองค์ประกอบของสามารถ แสดงเป็นด้วยและถ้าและจากนั้นคุณสามารถเลือกสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นลบทั้งหมดได้$(g_i)_{i\ge\min S}$$g_i = \gcd (S \cap [0,i])$$g_{\min S} = \min S$$j$$g_j = \gcd S$$S$$k_1 s_1 + \ldots + k_m s_m$$\forall i, k_i \in \mathbb{Z}$$\{s_1, \ldots, s_m\} = S \cup [0,j]$$x \in S$$x \ge s_1 \cdot \ldots \cdot s_m$

เลขคณิตเพียงพอ ปล่อย\} คำในทุกสามารถแสดงเป็นเรียงต่อกันของคำในมีความยาวมากที่สุดคือ * เนื่องจากเรามีเราจึงมีซึ่งเป็นเรื่องปกติเนื่องจากเป็นขอบเขตปกติดังนั้น$\mathring{L} = \{w \in L \mid |w| \le g_j\}$$L$$L$$g_j$$L \subseteq \mathring{L}^*$$\mathring{L} \subseteq L$$L^* = \mathring{L}^*$$\mathring{L}$

หรือใช้ลักษณะของภาษาปกติในตัวอักษรตัวเดียว