ปัญหา

ไม่มีวิธีง่ายๆในการรับการเปลี่ยนแปลงด้วย regex

• การเปลี่ยนแปลง:การเดินทางคำ ( "aabc") ในการสั่งซื้ออื่นโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงจำนวนหรือชนิดของตัวอักษร $$w=x_1…x_n$$
• Regex:การแสดงออกปกติ

สำหรับการตรวจสอบ:

• "การเปลี่ยนลำดับ Regex โดยไม่มีการทำซ้ำ"คำตอบจะสร้างรหัส JavaScript แทนการใช้ Regex โดยสมมติว่าสิ่งนี้ง่ายกว่ามาก
• "วิธีหาวิธีเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดของคำที่กำหนดในข้อความที่กำหนด" - คำตอบไม่ได้ใช้ regexes เช่นกัน
• "Regex จับคู่ทั้งหมด {1, 2, 3, 4} โดยไม่มีการทำซ้ำ" - คำตอบนั้นใช้ regexes แต่ก็ไม่สามารถปรับเปลี่ยนได้หรือไม่ง่าย
• คำตอบนี้ยังเรียกร้อง: "นิพจน์ทั่วไปไม่สามารถทำในสิ่งที่คุณขอมันไม่สามารถสร้างพีชคณิตจากสตริง."

วิธีการแก้ปัญหาที่ฉันค้นหา

ควรมีแบบฟอร์ม:

• » aabc « (หรืออะไรก็ได้ที่คุณสามารถใช้วงเล็บเปิดและปิด)
• (aabc)! (คล้ายกับ (abc)? แต่มีสัญลักษณ์อื่นในตอนท้าย)
• [aabc]! (คล้ายกับ [abc] + แต่มีสัญลักษณ์อื่นในตอนท้าย)

ข้อดีของการแก้ปัญหาเหล่านี้

พวกเขาคือ:

• ง่าย
• ปรับตัวได้
• นำมาใช้ใหม่

ทำไมสิ่งนี้ควรมีอยู่

• Regexes เป็นวิธีการอธิบายไวยากรณ์ของภาษาปกติ พวกเขามีพลังเต็มที่ในการเป็นภาษาประจำชนิดใด ๆ
• สมมติว่าภาษาปกติมีพลังเพียงพอสำหรับการเรียงสับเปลี่ยน (พิสูจน์ด้านล่าง) - ทำไมไม่มีวิธีง่าย ๆ ในการถ่ายทอดสิ่งนี้

ดังนั้นคำถามของฉันคือ:

• (ทำไม) หลักฐานของฉันผิด
• ถ้าถูกต้อง: ทำไมไม่มีวิธีง่าย ๆ ในการแสดงการเรียงสับเปลี่ยน?

การพิสูจน์

• นิพจน์ทั่วไปเป็นวิธีหนึ่งในการบันทึกไวยากรณ์ของภาษาปกติ พวกเขาสามารถอธิบายไวยากรณ์ภาษาใด ๆ ปกติ
• อีกวิธีในการอธิบายภาษาปกติใด ๆ (ที่มีจำนวนตัวอักษรที่ จำกัด ภายในตัวอักษรของพวกเขา) ไวยากรณ์เป็น Automatons ที่ไม่ได้กำหนดไว้ (ด้วยจำนวน จำกัด ของรัฐ)

มีจำนวนตัวอักษรที่ จำกัด ฉันสามารถสร้างหุ่นยนต์นี้: (ตัวอย่างเป็นทางการ: ดูด้านล่าง)

ไวยากรณ์ที่ยอมรับการเรียงสับเปลี่ยนของ "abbc":

(เพราะตัวเลขด้านบนอาจมีบางคนรู้วิธีที่จะทำให้ส่วนนี้ดูดีขึ้น)

s -> ah¹

s -> bh²

s -> ch³

h¹ -> bh¹¹

h¹ -> ch¹²

h² -> ah¹¹ (ไม่มีการพิมพ์ผิด!

h² -> bh²²

h² -> ch²³

h³ -> ah¹²

h³ -> bh²³

h¹¹ -> bc

h¹¹ -> cb

h¹² -> bb

h²² -> ac

h²² -> แคลิฟอร์เนีย

h²³ -> ab

h²³ -> ba

เป็นทางการมากขึ้น: (ใช้ finite-state-automaton แต่สามารถทำได้ด้วยไวยากรณ์เช่นกัน)

• คำ q (ที่มีความยาว จำกัด ) ซึ่งการเรียงสับเปลี่ยนใด ๆ ควรถึงสถานะที่ยอมรับได้
• X คือตัวอักษรที่ จำกัด
• Set of states S ประกอบด้วยลำดับของตัวอักษรใด ๆ ที่ยาวถึง q (ดังนั้นขนาดของ S จึงมี จำกัด ) บวกหนึ่งสถานะของ "คำที่ยาวกว่า"
• ฟังก์ชั่นการเปลี่ยนสถานะ d ซึ่งใช้ตัวอักษรและย้ายไปยังสถานะที่สอดคล้องกับส่วนที่อ่านในขณะนี้ของคำ
• F คือชุดของสถานะที่เป็นพีชคณิตที่แน่นอนของ q

ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะสร้างออโตเมติกอัน จำกัด สำหรับการยอมรับการเรียงสับเปลี่ยนของคำที่กำหนด

ย้ายไปพร้อมกับหลักฐาน

ดังนั้นฉันได้พิสูจน์แล้วว่าภาษาปกติมีอำนาจในการตรวจสอบวิธีการเรียงสับเปลี่ยนใช่ไหม?

เหตุใดจึงไม่มีวิธีเข้าถึงสิ่งนี้ด้วย Regexes มันเป็นฟังก์ชั่นที่มีประโยชน์

ทฤษฎีพื้นฐานของทฤษฎีภาษาแบบทางการคือนิพจน์ทั่วไปไวยากรณ์ปกติออโต จำกัด (DFAs) ที่กำหนดขึ้นอย่าง จำกัด และ nondeterministic finite automata (NFAs) ล้วนอธิบายถึงภาษาประเภทเดียวกันนั่นคือภาษาปกติ ความจริงที่ว่าเราสามารถอธิบายภาษาเหล่านี้ในรูปแบบที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิงแสดงให้เห็นว่ามีบางสิ่งบางอย่างที่เป็นธรรมชาติและมีความสำคัญเกี่ยวกับภาษาเหล่านี้ในลักษณะเดียวกับความเท่าเทียมกันของเครื่องจักรทัวริง เป็นธรรมชาติและสำคัญ พวกเขาไม่ได้เป็นเพียงสิ่งประดิษฐ์ของการตัดสินใจแบบสุ่มใด ๆ ที่ผู้ค้นพบดั้งเดิมทำ

สมมติว่าเราเพิ่มกฎใหม่สำหรับการสร้างการแสดงออกปกติ: ถ้า$R$  คือการแสดงออกปกติแล้ว$\pi(R)$คือการแสดงออกปกติและมันตรงกับการเปลี่ยนแปลงของสตริงทุกทุกการจับคู่โดย  R$R$ดังนั้นสำหรับตัวอย่างเช่น$L(\pi(abc)) = \{abc, acb, bac, bca, cab, cba\}$. ปัญหาคือว่าสิ่งนี้ทำลายความเท่าเทียมขั้นพื้นฐานที่อธิบายข้างต้น $L\big(\pi((ab)^*))\big)$เป็นภาษาของสตริงที่มีจำนวนเท่ากับของและขและนี้ไม่ได้เป็นภาษาปกติ เปรียบเทียบสิ่งนี้กับการเพิ่มโอเปอเรเตอร์การปฏิเสธหรือการกลับรายการในนิพจน์ทั่วไปซึ่งจะไม่เปลี่ยนคลาสของภาษาที่ยอมรับ$a$$b$

ดังนั้นเพื่อตอบคำถามไตเติ้ลนิพจน์ทั่วไปไม่สามารถเปลี่ยนแปลงพีชคณิตได้และเราจะไม่เพิ่มความสามารถนั้นเพราะนิพจน์ทั่วไปจะไม่ตรงกับภาษาทั่วไป ต้องบอกว่าเป็นไปได้ที่ "การแสดงออกปกติด้วยการเรียงสับเปลี่ยน" ก็จะเป็นคลาสที่น่าสนใจของภาษาที่มีลักษณะที่แตกต่างกันมากมาย

ดังนั้นคำถามของฉันคือ:

• (ทำไม) หลักฐานของฉันผิด
• ถ้าถูกต้อง: ทำไมไม่มีวิธีง่าย ๆ ในการแสดงการเรียงสับเปลี่ยน?

"การพิสูจน์" ของคุณดูที่การเรียงสับเปลี่ยนของคำเดียวซึ่งเป็นภาษาที่ จำกัด

ทุกภาษาที่ จำกัด เป็นปกติ (เช่นเพียงแค่แสดงรายการสมาชิกทั้งหมดด้วย|inbetween) แต่มีภาษาปกติที่ไม่มีที่สิ้นสุด (และภาษาเหล่านี้มักเป็นภาษาที่น่าสนใจมากกว่า)

ทันทีที่คุณได้รับนิพจน์ปกติ (หรือไวยากรณ์ / ออโตเมติก) ซึ่งยอมรับภาษาที่ไม่สิ้นสุด (เช่นนิพจน์กับ*ผู้ดำเนินการหรือออโตเมชั่นที่มีลูป) โครงสร้างของคุณจะไม่ทำงานอีกต่อไป )

คำตอบของ David Richerby เป็นตัวอย่างของภาษาปกติที่ภาษาการเรียงสับเปลี่ยนไม่ได้เป็นแบบปกติอีกต่อไปตัวอย่างทั้งหมดเป็นภาษาไม่มีที่สิ้นสุด

$\Sigma$$n$$\Sigma$$m$$O(m)$

ดังนั้นในบางแง่มุมไม่มีวิธีรวบรัดที่จะระบุการเรียงสับเปลี่ยนของคำทั้งหมด

$\tilde\Omega(2^n)$$\Sigma$$n$$m$$O(m)$

$L$$(x_i,y_i)_{1 \leq i \leq N}$

• $x_iy_i \in L$
• $i \neq j$$x_i y_j \notin L$$x_j y_i \notin L$

$L$$N$$L$$i$$x_iy_i$$q_i$$x_i$$q_i \neq q_j$$i \neq j$$q_i = q_j$$x_iy_j$$x_jy_i$$L$

$L_n$$\sigma_1,\ldots,\sigma_n$$n$$S$$\sigma_1,\ldots,\sigma_n$$n/2$$x_S$$S$$y_S$$S$$x_Sy_S \in L_n$$S \neq T$$x_S y_T \notin L_n$$L_n$$\binom{n}{n/2} = \Omega(2^n/\sqrt{n})$

เหตุใดจึงไม่มีวิธีเขียน "การเปลี่ยนแปลง" ใน Regexes

การเรียงสับเปลี่ยนของภาษาปกติและไม่มีที่สิ้นสุด (จำนวนคำที่ไม่ จำกัด ) ไม่จำเป็นต้องเป็นปกติ ดังนั้นจึงไม่สามารถเขียนเป็น regex

พิสูจน์

(ab)*คิดว่าของภาษา (ตัวอย่างแรงบันดาลใจจากเดวิด Richerby .) a*b*หนึ่งในพีชคณิตของมันคือ นี่ไม่ใช่ภาษาปกติ QED