การแก้หารและพิชิต reccurences หากการแบ่งอัตราส่วนขึ้นอยู่กับ

มีวิธีการทั่วไปในการแก้ปัญหาการเกิดซ้ำของแบบฟอร์มหรือไม่:

$T(n) = T(n-n^c) + T(n^c) + f(n)$

สำหรับหรือมากกว่าโดยทั่วไป$c < 1$

$T(n) = T(n-g(n)) + T(r(n)) + f(n)$

ที่$g(n),r(n)$มีบางฟังก์ชั่นย่อยเชิงเส้นของn$n$

ปรับปรุง : ฉันได้ผ่านการเชื่อมโยงที่ให้ไว้ด้านล่างและร่อนผ่านทั้งหมดนอกจากนี้ยังมีความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นอีกในบันทึกเจฟฟ์เอริก รูปแบบของการเกิดซ้ำนี้ไม่ได้กล่าวถึงทุกที่ วิธี Akkra-Bazi ใช้เฉพาะเมื่อการแบ่งเป็นเศษส่วน การอ้างอิงที่รุนแรงใด ๆ จะถูกตรวจสอบ

สมมติว่าคุณมีการเกิดซ้ำ นั่นจะอยู่ในช่วงรีแอสทีบวก

$$T(n) = \begin{cases} T(n - n^c) + T(n^c) + f(n) & \text{n > 2} \\ 1 & \text{otherwise} \end{cases}$$

เราจะทำอย่างไรกับฟังก์ชั่นนี้? ไม่มากถ้าเราใส่โครงสร้างบางอย่างลงไป ฉันมาจากพื้นหลังการวิเคราะห์เชิงตัวเลขซึ่งปูด้วยสูตรเชิงตัวเลขที่ใช้งานได้แม้ว่าปัญหาพื้นฐานจะไม่ราบรื่นพอ (ไม่สำคัญเรายังคงโยนวิธีของนิวตันในการแบ่งความแตกต่าง) หรือซับซ้อนเกินไปที่จะวิเคราะห์ (เรียงลำดับ ของชอบปัญหานี้) ปฏิกิริยาทางเดินอาหารของฉันที่มีต่อปัญหาเหล่านี้คือการทำให้สมมติฐานที่ทำด้วยมือบางอย่างข้ามนิ้วของเราและหวังว่าจะดีที่สุด ในกรณีนี้ดูเหมือนว่าจะให้ขอบเขตที่ค่อนข้างดี

โดยเฉพาะฉันต้องการตั้งสมมติฐานหลักสองข้อ หนึ่งในสมมติฐานเหล่านี้ไม่มีมูลความจริงมากไปกว่านี้ แต่เราจะไม่ไปไกลหากไม่มีมัน อีกคนมีสัญชาตญาณทางสายตาที่ค่อนข้างดีที่คุณสามารถหวังจะคร่ำครวญ แต่มันก็ยังคงเป็นคลื่นมือมากกว่าสิ่งอื่นใด

1. ฉันจะสมมติว่าคือ "smooth-ish" มันค่อนข้างง่ายที่จะเห็นว่าT ( n )ไม่แตกต่างกันในทุกที่ ที่จริงแล้วมันไม่ได้ต่อเนื่องเนื่องจากสำหรับf ( n ) = log ( n )และc = $T(n)$$T(n)$$f(n) = \log(n)$ ,ลิมn→2-T(n)=1และลิมn→2+T(n)=2+LN2 ดังนั้นการกำหนดแผนที่ซ้ำที่สร้างขึ้นโดยn↦$c = \frac{1}{2}$$\lim_{n \to 2^-} T(n) = 1$$\lim_{n \to 2^+} T(n) = 2 + \ln 2$หรือn↦n-$n \mapsto \sqrt{n}$ ,T(n)จะมีความไม่ต่อเนื่องที่nหากต้นไม้ซ้ำของมันมี2แห่งในวิถีของมัน นั่นคือความไม่ต่อเนื่องมากมายมันอาจทำให้ฟังก์ชั่นของ Dirichlet วิ่งได้ด้วยเงิน หากเราไปถึงจุดที่เราเปรียบเทียบพฤติกรรมของฟังก์ชันกับตัวอย่างต้นแบบของฟังก์ชันที่ไม่มีการต่อเนื่องมันจะไม่น่าหัวเราะหรือไม่ที่จะอ้างว่ามันเป็น "smooth-ish"? ในทางปฏิบัติแล้วผลกระทบของความไม่ต่อเนื่องเหล่านี้ลดลงแบบไม่แสดงอาการจนถึงจุดที่กราฟของคุณดูเกือบจะราบรื่นเมื่อ$n \mapsto n - \sqrt{n}$$T(n)$$n$$2$$n$มีแนวโน้มไปสู่อินฟินิตี้! ดังนั้นฉันเสนอให้เราใส่โกยของเราลงและมองไปทางอื่นในกรณีนี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งผมจะสมมติว่าในจุดสนใจใด ๆที่เป็นพอห่างไกลจากแหล่งกำเนิด, T ( n )เป็นอนุพันธ์หรืออย่างน้อยประมาณอนุพันธ์รอบละแวกบาง$n$$T(n)$
2. ฉันจะถือว่าท่าทางที่ราบรื่นยิ่งขึ้นเมื่ออยู่ห่างพอสมควร สมมติว่าα ( n )เป็นฟังก์ชั่น sublinear บางอย่างเช่นที่n > α ( n ) (ตัวอย่างเช่นn ค ) แล้วอนุพันธ์T ' ( ξ ∈ ( n - α ( n ) , n )ไม่แตกต่างกันอย่างมีนัยสำคัญเมื่อα ( n )ช้าพอสังหรณ์ใจเช่นเดียวกับ$n$$\alpha(n)$$n > \alpha(n)$$n^c$$T'(\xi \in (n - \alpha(n), n)$$\alpha(n)$$n$มีขนาดใหญ่ขึ้นขนาดสัมพัทธ์ของละแวกใกล้เคียงลดลง (เนื่องจากขนาดเป็นเพียงα ( n )ซึ่งเติบโตช้ากว่าnมาก) ในที่สุดขนาดของพื้นที่ใกล้เคียงนี้จะกลายเป็นไม่มีนัยสำคัญดังนั้น (เทียบกับn ) ว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของT ( n )ภายในพื้นที่ใกล้เคียงนี้ไม่เปลี่ยนแปลงทั้งหมดที่มาก$(n - \alpha(n), n)$$\alpha(n)$$n$$n$$T(n)$

ทีนี้, คุณสมบัติทั้งสองนี้ถูกสันนิษฐาน, และฉันไม่มีความคิดเลยว่าจะพิสูจน์ได้อย่างไรในวิธีที่เข้มงวด แต่อย่างที่ฉันบอกไปก่อนหน้านี้มาข้ามนิ้วของเราและหวังว่าจะดีที่สุด

เริ่มจากความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำกัน: ตอนนี้ผมจะคิดว่าTเป็นพอเรียบบนช่วงระหว่างn-nคและn การดึงดูดหนึ่งในเครื่องมือวิเคราะห์แบบคลาสสิกของเราค่าเฉลี่ย - ทฤษฎีบททำให้เรามี T(n)-T(n- n c

$$\begin{align*} T(n) &= T(n - n^c) + T(n^c) + f(n) \\ T(n) - T(n - n^c) &= T(n^c) + f(n) \\ n^c\frac{T(n) - T(n-n^c)}{n^c} &= T(n^c) + f(n) \end{align*}$$ $T$$n - n^c$$n$ นอกจากนี้เมื่อnมีขนาดใหญ่พอเราสันนิษฐานว่าT′(ξ)มีค่าใกล้เคียงกันตลอดช่วงเวลานี้และใช้ค่าของความแตกต่างอัน จำกัด ใด ๆ ภายในช่วงเวลานี้เช่นกัน นี่หมายความว่า T′(ξ)≈T(n)-T(n-ϵ $$\frac{T(n) - T(n-n^c)}{n^c} = T'(\xi \in (n - n^c, n)).$$ $n$$T'(\xi)$ โดยเฉพาะใช้ϵ=1เพื่อให้ได้การประมาณความแตกต่างแบบแบ่งขั้นตอนหนึ่งขั้นตอน n c ( T ( n ) - T ( n - 1 ) $$T'(\xi) \approx \frac{T(n) - T(n - \epsilon)}{\epsilon} ~~~~ \epsilon < n^c$$ $\epsilon = 1$ เราสามารถกล้องโทรทรรศน์นี้เพื่อรับ T(n)≈n∑kT(kc $$\begin{align*} n^c (T(n) - T(n-1)) &\approx T(n^c) + f(n) \\ T(n) - T(n-1) &\approx \frac{T(n^c) + f(n)}{n^c} \\ \end{align*}$$ $$T(n) \approx \sum_k^n \frac{T(k^c)}{k^c} + \sum_k^n \frac{f(k)}{k^c}$$

รบกวนเผยให้เห็นว่าT ( n )มีสองขั้นตอน asymptotic ขึ้นอยู่กับธรรมชาติของ asymptotic ฉ( Z )$T(n)$$T(n)$$f(z)$

$f(n) = o(n^c)$$f$$n^c$$T(n) = \Theta\left(\sum\limits_k^n \frac{f(k)}{k^c}\right)$$\int\limits^n \frac{f(x)}{x^c} dx$

เมื่อไหร่ $f(n) = \omega(n^c)$

$$\left(\sum_k^n \frac{T(k^c)}{k^c}\right) + F_c(n)$$ $F_c(n) = \int\limits^n \frac{f(x)}{x^c}dx$

$\int_n \frac{T(x^c)}{x^c} dx$

$$\sum_k \frac{T(k^c)}{k^c} \approx \int^n \frac{f(x^c)}{x^c} dx = n\frac{T(\xi < n^c)}{\xi^c}$$ $n\frac{T(n^c)}{n^c}$, which gives the approximation $$\begin{equation} T(n) \le n M \frac{T(n^c)}{n^c} + F_c(n) \end{equation}$$ for some constant $M$ that bounds the series.

Now, suppose that we have the iterated sequence $(n, n^c, n^{c^2}, n^{c^3}, \dots, n^{c^k})$ where $n^{c^k} < 2$, then we can use this sequence to telescope the above inequality to get:

$$\label{eqn:meh} T(n) \le n \left(\sum_i^{k-1} \frac{M^i}{n^{c^i}}F_c(n^{c^i}) + \frac{M^k}{n^{c^k}}\right) \tag{*}$$ Once again, we can bound the $F_c(n^{c^i})$ term by some constant to find that $$T(n) = O\left(F_c(n) + n F_c(n^c) \left(M n^{-c} + M^2 n^{-c^2} + \dots + M^k n^{-c^k}\right)\right)$$ where $k = \log_c\left(\frac{\log(2)}{\log(n)}\right)$. Simplifying a bit and coalescing some of the $Mn^{-c}$ terms together (in particular, we know that $n^{-c^k}$ is a constant), we get $$T(n) = O\left(n k F_c(n) M^{k} \right)$$

However, this bound is relatively loose, and you should refer to $(\ref{eqn:meh})$ whenever possible.

Be aware that in no way is this rigorous. I have not provided any support that this ought to work beyond some clumsy approximations. Nevertheless, if you just need a quick asymptotic guess for the sake of informal analysis, then you can actually see that this scheme works well (for large enough values of $n$, usually $n > 10$ suffices) in practice.

Anyways, for all of the choices of $c$ and $f$ that I've tried, the following computation

$$\begin{align*} \hat T(n) &= n \sum_k^{\log_c \log_n 2} \frac{M^k}{n^{c^k}} F(n^{c^k}) \\ F(n) &= \sum_k^n \frac{f(k)}{k^c} \end{align*}$$ where $$M \approx \frac{\sum_k \frac{T(k^c)}{k^c}}{n \frac{T(n^c)}{n^c}}$$ seems to give good approximations. This technique also generalizes to recurrences of the form $$T(n) = T(n - \alpha(n)) + T(\beta(n)) + f(n)$$ which can be approximated with $$\begin{align*} \hat T(n) &= n \sum_k^{\#_\beta(n)} \frac{M^k}{\alpha^k(n)} F(\beta^k(n)) \\ F(n) &= \sum_k^n \frac{f(k)}{\alpha(k)} \end{align*}$$ where $\alpha^k(n) = \alpha(\stackrel{k}{\cdots}(\alpha(n)))$ and $\#_\beta(n)$ denotes the number of elements of the sequence $n, \beta(n), \beta(\beta(n)), \dots, \beta^{\#_\beta(n)}(n)$ such that the last term is between $1$ and $2$.