ความซับซ้อนในการค้นหาสูงสุดแบบสองมิติ (MIT OCW 6.006)

ในวิดีโอการบรรยายสำหรับMIT OCW 6.006เวลา 43:30

ได้รับ $m \times n$ มดลูก $A$ กับ $m$ คอลัมน์และ $n$ แถวซึ่งเป็นอัลกอริธึมการค้นหาสูงสุดแบบสองมิติซึ่งค่าสูงสุดคือค่าใด ๆ ที่มากกว่าหรือเท่ากับเพื่อนบ้านที่อยู่ติดกันอธิบายว่า:

หมายเหตุ: หากมีความสับสนในการอธิบายคอลัมน์ผ่าน $n$ฉันขอโทษ แต่นี่เป็นวิธีที่วิดีโอการบรรยายอธิบายและฉันพยายามที่จะสอดคล้องกับวิดีโอ มันทำให้ฉันสับสนมาก

1. เลือกคอลัมน์กลาง $n/2$// มีความซับซ้อน$\Theta(1)$

2. ค้นหาค่าสูงสุดของคอลัมน์ $n/2$// มีความซับซ้อน $\Theta(m)$ เพราะมี $m$ แถวในคอลัมน์

3. ตรวจสอบขอบเขต แถวเพื่อนบ้านของค่าสูงสุดหากมีค่ามากกว่าจะพบจุดสูงสุดมิฉะนั้นจะเรียกเก็บเงินคืน$T(n/2, m)$// มีความซับซ้อน$T(n/2,m)$

จากนั้นเพื่อประเมินการสอบถามซ้ำผู้สอนการบรรยายกล่าว

$T(1,m) = \Theta(m)$ เพราะมันพบค่าสูงสุด

$$T(n,m) = \Theta(1) + \Theta(m) + T(n/2, m) \tag{E1}$$

ฉันเข้าใจส่วนถัดไปเวลา 52:09 น. ในวิดีโอซึ่งเขาบอกว่าต้องปฏิบัติต่อ $m$เหมือนค่าคงที่เนื่องจากจำนวนแถวไม่เคยเปลี่ยนแปลง แต่ฉันไม่เข้าใจว่าสิ่งที่นำไปสู่ผลิตภัณฑ์ต่อไปนี้:

ฉันคิดอย่างนั้นตั้งแต่ $m$ ถือว่าเป็นค่าคงที่จึงถือว่าเป็นเหมือน $\Theta(1)$ และกำจัดใน $(E1)$ข้างบน. แต่ฉันมีเวลายากที่จะข้ามไป$(E2)$. เป็นเพราะเรากำลังพิจารณากรณีของ$T(n/2)$ ด้วยค่าคงที่ $m$?

ฉันคิดว่าสามารถ "เห็น" แนวคิดโดยรวมก็คือ $\Theta(\log n)$จะทำการดำเนินการที่แย่ที่สุดสำหรับจำนวนแถว m สิ่งที่ฉันพยายามคิดก็คือจะอธิบายการกระโดดได้อย่างไร$(E1)$ ถึง $(E2)$ เพื่อคนอื่น ๆ เช่นได้รับความเข้าใจที่แท้จริง

เท่าที่ฉันเข้าใจมันต้องใช้ $\Theta$(m) เวลาในการประเมินองค์ประกอบทั้งหมดในคอลัมน์ที่กำหนดและระบุว่าองค์ประกอบใดเป็นสูงสุดทั่วโลก ที่ไหน$\Theta (\lg(n))$ เข้ามาคือในสถานการณ์กรณีที่เลวร้ายที่สุดอัลกอริทึมจะต้องประเมิน $\lg(n)$คอลัมน์ในเมทริกซ์ก่อนค้นหาจุดสูงสุด การทำงานโดยรวมก็จะเป็น$\Theta(m\lg(n))$

ตัวอย่างเช่นเมทริกซ์ของคุณมี 32 คอลัมน์และ 8 แถว

1. คุณใช้คอลัมน์กลางพูดคอลัมน์ 16 คุณประเมินมันและพบว่ายอดสูงสุดทั่วโลกของคอลัมน์ถูกแทนที่โดยองค์ประกอบทางด้านขวา คุณวางคอลัมน์ 1-16 และเน้นคอลัมน์ 17-32
2. ค้นหาคอลัมน์กลางของเมทริกซ์ที่เหลือซึ่งเป็นคอลัมน์ 24 และคุณประเมินค่าสูงสุดทั่วโลก (นี่คือการประเมินคอลัมน์ที่สองของคุณ) คุณพบว่าคุณต้องย้ายไปทางขวา ดร็อปคอลัมน์ 17-24, เน้นที่ 25-32
3. ค้นหาตรงกลาง (คอลัมน์ 28) - คุณประเมิน (การประเมินคอลัมน์ที่สาม) และคุณพบว่าคุณต้องย้ายไปทางขวา ดร็อปคอลัมน์ 25 - 28 และมุ่งเน้นที่ 29 - 32
4. ประเมินคอลัมน์ 30 (การประเมินที่สี่) พบว่าคุณต้องย้ายไปทางขวาวางคอลัมน์ 29-30
5. ประเมินหนึ่งในคอลัมน์ที่เหลือ (การประเมินคอลัมน์ที่ห้า) และคุณทำเสร็จแล้ว

โดยรวมแล้วคุณประเมินผลคอลัมน์ห้าคอลัมน์เสร็จแล้ว 5 =$\lg(32)$ = $\lg(n)$ โดยที่ n คือจำนวนคอลัมน์ในเมทริกซ์และ lg เป็นล็อกฐาน 2

การวิเคราะห์ที่คุณร่างดูเหมือนจะไม่ถูกต้อง ความซับซ้อนที่ถูกต้องคือ$O(m)$ ที่ไหน $m$เป็นมิติที่ใหญ่กว่าของเมทริกซ์ (แถวหรือคอลัมน์) ดูการวิเคราะห์ที่ถูกต้องอื่น ๆ นี้สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม / ดีขึ้น ส่วนหนึ่งของความผิดพลาดไม่ได้กำหนดความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ$T(n,m)$ ในแง่ของ $T(n,m)$เท่านั้น (ซึ่งจัดการอย่างถูกต้องในกระดาษ) กระดาษแสดง / ใช้ชุดอนันต์:

$\begin{eqnarray*} T(n) & = & T \left({n \over 2}\right) + cn \\ T(n) & = & T(1) + cn \left( 1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + \cdots \right) \\ &= & O(n) \end{eqnarray*}$