คำอธิบายสาขาและขอบเขต

ฉันมีการทดสอบเกี่ยวกับสาขาและอัลกอริทึมที่ถูกผูกไว้ ฉันเข้าใจในทางทฤษฎีว่าอัลกอริทึมนี้ทำงานอย่างไร แต่ฉันไม่พบตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่าอัลกอริทึมนี้สามารถนำไปใช้งานได้จริง

ฉันพบตัวอย่างบางอย่างเช่นอันนี้ แต่ฉันก็ยังสับสนอยู่ดี ฉันยังมองหาปัญหาพนักงานขายที่เดินทางและฉันก็ไม่เข้าใจ

สิ่งที่ฉันต้องการคือปัญหาและวิธีแก้ไขปัญหาเหล่านี้โดยใช้สาขาและขอบเขต

ลองใช้ Branch และ Bound กับKnapsackหวังว่านี่จะทำให้แนวคิดนี้ชัดเจนสำหรับคุณ

เรามี $n$ รายการที่มีข้อความกำกับ $1$ ผ่านไป $n$. $v_i$ คือค่าของ $i$รายการที่และ $w_i$น้ำหนักของมัน เราพยายามที่จะใส่พวกเขาในเป้ที่สามารถมีได้ถึง$T$ น้ำหนักรวมและเราพยายามที่จะเพิ่มผลรวมของค่าของรายการที่เราใส่ในเป้

แนวทางย้อนรอยทั่วไปเป็นพื้นฐานของเรา ก่อนอื่นเราใส่$v_1$ ในแพ็คแล้วแก้ไขปัญหาสำหรับส่วนที่เหลือ $n-1$รายการที่มีการสอบถามซ้ำ จากนั้นเราก็ลบ$v_1$ จากแพ็คและแก้ปัญหาสำหรับส่วนที่เหลือ $n-1$ รายการอีกครั้งและเรากลับการกำหนดค่าที่ดีที่สุดที่เราพบ

Backtracking นี้เป็นส่วน 'Branch' ของ Branch and Bound คุณแยกสาขาใน (ในกรณีของเป้) สองกรณี: 'รายการ$i$ เป็นส่วนหนึ่งของรายการ 'และ' โซลูชัน $i$ไม่ใช่ส่วนหนึ่งของโซลูชัน ' คุณสามารถมองเห็นสิ่งนี้เป็นต้นไม้ไบนารีโดยที่เด็กด้านซ้ายเป็นหนึ่งกรณีและเด็กที่ถูกต้องคืออีกกรณีหนึ่ง ต้นไม้นี้เป็นต้นไม้ค้นหา (หรือพื้นที่ค้นหา ): ความลึกของมันคือ$n$และดังนั้นจึงมี $O(2^n)$โหนด อัลกอริทึมจึงมีการชี้แจงเวลาทำงานในจำนวนรายการ

ตอนนี้เราไปถึงส่วน 'Bound': เราพยายามค้นหาเกณฑ์ที่เราสามารถพูดได้ว่า 'การกำหนดค่านี้ไม่เคยประสบความสำเร็จดังนั้นเราจึงอาจไม่สนใจการคำนวณนี้' ตัวอย่างของเกณฑ์ดังกล่าวคือ 'น้ำหนักของรายการที่เราใส่ในเป้เกินกว่า$T$': ถ้าเราเพิ่มพูดก่อน $n/2$ รายการไปยังเป้หลังและดังนั้นจึงเต็มแล้วไม่มีจุดพยายามวางรายการ $n/2+1$ ผ่านไป $n$ ในเป้เช่นกัน แต่ก็ยังไม่มีจุดในการพยายามที่จะพอดีกับส่วนย่อยของ $n/2+1$ ผ่านไป $n$ ในเป้มันเต็มแล้วดังนั้นเราจึงประหยัด $2^{n/2}$กรณี อีกตัวอย่างคือ ' แม้ว่าฉันจะใส่รายการที่เหลือทั้งหมดมูลค่าของรายการที่ฉันใส่เข้าไปจะไม่เกินค่าที่ดีที่สุดที่ฉันเคยพบ '

เกณฑ์เหล่านี้จะตัดทอนบางส่วนของโครงสร้างการค้นหา: ในบางโหนดคุณพูดเช่น 'ทรีย่อยด้านซ้ายจะไม่ให้การกำหนดค่าที่ดีกว่าแก่ฉันเพราะ X' ดังนั้นคุณจึงลืมทรีย่อยนั้นและคุณไม่สำรวจ ทรีย่อยของความลึก$d$ ที่คุณตัดออกด้วยวิธีนี้จะช่วยให้คุณประหยัด $O(2^d)$ ปมซึ่งสามารถเพิ่มความเร็วได้บ้างหากคุณโชคดี

โปรดทราบว่าสิ่งนี้เรียกว่า ' Bounding ' เพราะโดยทั่วไปจะเกี่ยวข้องกับขอบเขตล่างหรือบนบางอย่าง: สำหรับเกณฑ์ ' แม้ว่าฉันจะใส่รายการที่เหลือทั้งหมดมูลค่าของรายการที่ฉันใส่จะไม่เกินค่าที่ดีที่สุด ฉันพบแล้ว 'คุณค่าของการกำหนดค่าที่ดีที่สุดของคุณจนถึงตอนนี้คือขอบเขตที่ต่ำกว่าในการกำหนดค่าที่ดีที่สุดดังนั้นสิ่งใดก็ตามที่จะไม่ผ่านพ้นขอบเขตล่างนี้ไปถึงความล้มเหลว

คุณสามารถสร้างส่วน 'Bounding' ที่ซับซ้อนตามที่คุณต้องการ ตัวอย่างเช่นปัญหาการเขียนโปรแกรมจำนวนเต็มมักจะได้รับการแก้ไขโดยใช้การผ่อนคลาย: คุณผ่อนคลายโปรแกรมของคุณไปยังโปรแกรมเชิงเส้นซึ่งคุณสามารถแก้ปัญหาในเวลาพหุนามและจากนั้นคุณสามารถทิ้งกรณีจำนวนมากสำหรับตัวแปรไบนารีของคุณ จากนั้นคุณแยกสาขาตามตัวเลือกที่เหลือ

โปรดทราบว่าโดยทั่วไปแล้ว Branch และ Bound จะช่วยให้คุณฝึกฝนได้เร็วขึ้น แต่ไม่ใช่ในทางทฤษฎี: มันยากที่จะบอกว่าต้นไม้การค้นหานั้นถูกตัดโดยใช้ฮิวริสติกของคุณมากเพียงใด นี่คือการพิสูจน์โดยจำนวนของฮิวริสติกที่แตกต่างกันที่ใช้ในการปฏิบัติเกี่ยวกับปัญหาดังกล่าว หากคุณโชคไม่ดีแผนผังการค้นหาที่เหลือยังคงใหญ่แม้ว่าจะมีขอบเขต จำกัด ก็ตาม

พิจารณากำหนดเวลางานในการมอบหมายงานด้วยระยะเวลาและกำหนดส่งให้กับเครื่องจักร เราถือว่าเวลาไม่ต่อเนื่อง ปัญหาดังกล่าวจำนวนมากคือปัญหา NP (O)

โดยเฉพาะคำตอบนี้จะพูดถึง $1 \mid r_i \mid L_\max$นั่นคือเรากำหนด

• ในเครื่องเดียว
• ปัญหาเกี่ยวกับวันที่ปล่อยและเรา
• ลดความล่าช้าสูงสุด $L_\max$นั่นคือความแตกต่างสูงสุดระหว่างกำหนดเวลาและเวลาดำเนินการกับงานทั้งหมด

เวอร์ชันการตัดสินใจของปัญหานี้คือ NP-hard สิ่งนี้สามารถเห็นได้โดยการลดลงจาก3ส่วน

น่าสนใจพอสมควรถ้าเรายอมให้มีการจองนั่นคือการแลกเปลี่ยนงานที่ใช้งานอยู่ปัญหาสามารถแก้ไขได้ในช่วงกำลังสองตามวันที่ครบกำหนดเร็วที่สุดฮิวริสติกแรก (ในวันที่ครบกำหนดที่แก้ไข) มันง่ายที่จะเห็นว่าทางออกที่ดีที่สุดของตัวแปรนี้ไม่เลวไปกว่าทางออกที่ดีที่สุดของปัญหาดั้งเดิม

ตอนนี้เพื่อที่จะใช้ Branch & Bound กับปัญหานี้เราจำเป็นต้องแก้ไขพารามิเตอร์บางอย่าง:

• เราคำนวณขอบเขตที่ต่ำกว่าโดยอนุญาตให้จองและใช้ EDD
• เราแยกสาขาโดยแก้ไขงานที่ไม่ได้กำหนดไว้ทั้งหมดเป็นงานถัดไป
• เราไปหาเด็กที่มีขอบเขตย่อยน้อยกว่าก่อน

คุณต้องทำสิ่งนี้เพื่อการใช้งาน B & B ทุกครั้ง

สำหรับตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมให้พิจารณาตัวอย่างของ $1 \mid r_i \mid L_\max$:

$\qquad \displaystyle \begin{array}{c|cccc} i & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline p_i & 4 & 2 & 6 & 5 \\ r_i & 0 & 1 & 3 & 5 \\ d_i & 8 & 12 & 11 & 10 \end{array}$

กับ $p_i$ เวลาในการประมวลผลของงาน $r_i$ วันที่วางจำหน่ายและ $d_i$ วันที่ครบกำหนด

ดำเนินการ B & B ตามที่ระบุข้างต้นสิ่งนี้เกิดขึ้น:

_{GIF นี้ไม่วนซ้ำ โหลดซ้ำในแท็บใหม่เพื่อดูตั้งแต่ต้น}
^{[ แหล่งที่มา ] [ รุ่นคงที่ ]}

โปรดทราบว่าจากทั้งหมด 41 โหนดมีเพียงสี่คนเท่านั้นที่ได้รับการเยี่ยมชมอย่างเหมาะสมและเพียงสิบเท่านั้นที่ถูกคำนวณขอบเขตที่ต่ำกว่า