จำนวนรอบมิลโตเนียนในกราฟSierpiński

ฉันใหม่กับฟอรัมนี้และเป็นเพียงนักฟิสิกส์ที่ทำสิ่งนี้เพื่อให้สมองของเขาอยู่ในรูปร่างดังนั้นโปรดแสดงความสง่างามถ้าฉันไม่ได้ใช้ภาษาที่งดงามที่สุด นอกจากนี้โปรดแสดงความคิดเห็นหากคุณคิดว่าแท็กอื่น ๆ จะเหมาะสมกว่า

ฉันกำลังพยายามที่จะแก้ปัญหานี้ซึ่งผมต้องคำนวณจำนวนมิลรอบในวันเพื่อ Sierpinski กราฟS_n(โปรดดูลิงค์ด้านบนสำหรับคำจำกัดความและรูปภาพของ Sierpinski-graphs)n S $C(n)$$n$$S_n$

ฉันได้พบแต่ฉันจะต้องมีบางสิ่งบางอย่าง messed ขึ้นเพราะวิธีการแก้ปัญหาของฉันไม่ตรงกับค่าที่กำหนด71328803586048 การถกเถียงของฉันประกอบด้วยความคิดพื้นฐานมากและฉันไม่สามารถหาข้อผิดพลาดได้ ความช่วยเหลือใด ๆ ที่ชื่นชมอย่างมาก แม้ว่ามันจะดูยาว แต่ความคิดก็ไม่สำคัญถ้าคุณดูกราฟในขณะที่ติดตามC ( 5 ) = $C(n)$$C(5) = 71328803586048$

(ก)ในกราฟให้เรียกมุมด้านนอก C จากนั้นฉันจะกำหนดปริมาณต่อไปนี้: A , B , $S_n$$A,B,C$

$N(n) :=$จำนวนเส้นทางแฮมิลตันจากเพื่อC$A$$C$

$\bar{N}(n) :=$จำนวนเส้นทางจากเพื่อซึ่งแต่ละโหนดเยี่ยมชมครั้งเดียวยกเว้นBC $A$$C$$B$

ฉันจะเรียกพา ธ ดังกล่าว - หรือ - พา ธ ประเภทต่อไปนี้ˉ $N$$\bar{N}$

(ข)มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่า(n)$N(n)=\bar{N}(n)$

เหตุผลมีดังต่อไปนี้: พิจารณาพา ธ -type เริ่มต้นที่เส้นทางนี้จะอยู่ในรูปC) โดยการแทนที่กลุ่มโดยเราได้รับ - เส้นทางประเภท การดำเนินการนี้แม็พพา ธ -type ทั้งหมดไปยัง -type พา ธ( , . . . , X 1 , B , X 2 , . . . , C ) ( X 1 , B , X 2 ) ( X 1 , X 2 ) ˉ N N ˉ $N$$A$$(A,...,X_1,B,X_2,...,C)$$(X_1,B,X_2)$$(X_1,X_2)$$\bar{N}$$N$$\bar{N}$

(ค)เราได้รับมา recursion 3$N(n+1)=2N(n)^3$

พิจารณาพา ธ -type จากถึงและแสดงว่า subtriangles ที่มุมด้านนอกโดยตามลำดับ มันเป็นที่ชัดเจนว่าเส้นทางชนิดจะไปเยี่ยมชมแต่ละ subtriangle ครั้งว่าเริ่มต้นจากกว่าเพื่อT_Cตอนนี้พิจารณาโหนดที่ซึ่ง subtrianglesและสัมผัส มีความเป็นไปได้สองทางเมื่อจุดนี้ถูกเยี่ยมชมโดยเส้นทาง(i)ก่อนออกจากหรือ(ii)หลังจากป้อนA B A , B , C T A , T B , T C N T A T B T C Z T A T $N$$A$$B$$A,B,C$$T_A,T_B,T_C$$N$$T_A$$T_B$$T_C$$Z$$T_A$$T_C$$T_A$$T_C$. ในกรณีเหล่านี้สามพา ธ ย่อยภายในเป็นประเภท(i)หรือ(ii) , ตามลำดับ ด้วยสิ่งนี้ในใจเราสามารถนับได้$T_A,T_B,T_C$ $N,N,\bar{N}$ $\bar{N},N,N$

$N(n+1)=N(n)N(n)\bar{N}(n)+\bar{N}(n)N(n)N(n)$และด้วย(b)เรามาถึงที่ด้านบน เรียกซ้ำ

(ง)เราแก้ recursion (c)กับและได้รับ{n-2}}N ( n ) = 2 3 0 + 3 1 + . . + 3 n - $N(1)=1$$N(n)=2^{3^0+3^1+...+3^{n-2}}$

(จ)พิจารณาวงจรมิลโตในกราฟS_nเนื่องจากแต่ละซับไตเติ้ลสามตัวเชื่อมต่อกับคนอื่น ๆ ผ่านสองโหนดเท่านั้นเป็นที่ชัดเจนว่าวัฏจักรจะเข้าสู่ซับไตเติ้ลแต่ละครั้งอย่างแน่นอนผ่านการเชื่อมต่อโหนดหนึ่งแล้ว "กรอก" มันในที่สุดก็ปล่อยให้มันผ่านโหนดเชื่อมต่ออื่น ๆ ดังนั้นวงจรมิลโตในประกอบด้วยสามประเภท subpaths ใน subtriangles ที่ทุกคนต้องมีโครงสร้างของ{n-1} เราสามารถสรุปจำนวนรอบมิลโตเนียน$S_n$$S_n$$N$$S_{n-1}$

$C(n) = N(n-1)^3$ 3

อย่างไรก็ตามมันตามมาสำหรับ$n=5$

$C(5) = N(4)^3 = 8192^3=549755813888 \neq 71328803586048$

ที่หลังควรได้รับตามหน้าปัญหา (ลิงค์ด้านบน)

ขอบคุณอีกครั้งสำหรับความช่วยเหลือหรือความคิดเห็น

ความคิดดี! ปัญหาน่าจะอยู่ในขั้นตอน ) เปลี่ยน( X 1 , B , X 2 )ในN -path โดย( X 1 , X 2 )ให้ˉ N -path แต่ไม่ทุกˉ N -path จะมี( X 1 , X 2 ) ดังนั้นนี่ไม่ใช่ bijection นี้จะบอกว่าไม่มี( n ) ≤ ˉ N ( n )$(b)$$(X_1,B,X_2)$$N$$(X_1,X_2)$$\bar{N}$$\bar{N}$$(X_1,X_2)$$N(n) \leq \bar{N}(n)$

หรือคุณสามารถในความเป็นจริงแสดงให้เห็นว่าส่งผลให้ในN ( n + 1 ) = 3 N 3$\bar{N}(n) = 3N(n)/2$$N(n+1) = 3N^3$