ผลรวมถ่วงน้ำหนักของหมายเลข N ล่าสุด

สมมติว่าเราได้รับตัวเลขในสตรีม หลังจากได้รับแต่ละตัวเลขแล้วจะต้องคำนวณผลรวมถ่วงน้ำหนักของตัวเลขสุดท้ายโดยที่น้ำหนักจะเหมือนกันเสมอ แต่ตามอำเภอใจ $N$

ทำได้อย่างมีประสิทธิภาพแค่ไหนหากเราได้รับอนุญาตให้เก็บโครงสร้างข้อมูลไว้เพื่อช่วยในการคำนวณ? เราสามารถทำได้ดีกว่าคือการคำนวณผลรวมทุกครั้งที่ได้รับตัวเลขหรือไม่ $\Theta(N)$

ตัวอย่างเช่นสมมติว่าน้ำหนักที่มีw_4 เมื่อมาถึงจุดหนึ่งที่เรามีรายชื่อของที่ผ่านมาตัวเลขและน้ำหนักรวม d $W= \langle w_1, w_2, w_3, w_4\rangle$ $N$ $L_1= \langle a, b, c, d \rangle>$ $S_1=w_1*a+w_2*b+w_3*c+w_4*d$

เมื่อจำนวนอีกจะได้รับเราปรับปรุงรายการที่จะได้รับและเราจำเป็นต้องคำนวณ . $e$ $L_2= \langle b,c,d,e\rangle$ $S_2=w_1*b+w_2*c+w_3*d+w_4*e$

การพิจารณาโดยใช้ FFT กรณีพิเศษของปัญหานี้ดูเหมือนจะแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยใช้การแปลงฟูริเยร์อย่างรวดเร็ว ที่นี่เราคำนวณจำนวนเงินชั่งน้ำหนักหลายรายการNกล่าวอีกนัยหนึ่งเราได้รับหมายเลขและจากนั้นเราสามารถคำนวณผลรวมน้ำหนักที่เกี่ยวข้อง การทำเช่นนี้เราต้องหมายเลขที่ผ่านมา (ซึ่งจำนวนเงินที่ได้รับการคำนวณแล้ว) และตัวเลขใหม่ทั้งหมดหมายเลข $S$ $N$ $N$ $N$ $N-1$ $N$ $2N-1$

ถ้าเวกเตอร์ของตัวเลขอินพุตและเวกเตอร์น้ำหนัก $W$ กำหนดสัมประสิทธิ์ของพหุนาม $P(x)$ และ $Q(x)$ โดยมีค่าสัมประสิทธิ์ใน $Q$ กลับด้านเราจะเห็นว่าผลิตภัณฑ์ $P(x)\times Q(x)$ เป็น พหุนามซึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์อยู่ด้านหน้า $x^{N-1}$ สูงสุด $x^{2N-2}$ เป็นผลรวมของน้ำหนักที่เราแสวงหา สิ่งเหล่านี้สามารถคำนวณได้โดยใช้ FFT ในเวลา $\Theta(N*\log (N))$ ซึ่งทำให้เรามีเวลาเฉลี่ย $Θ(\log (N))$ ต่อจำนวนอินพุต

อย่างไรก็ตามนี่ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาตามที่ระบุไว้เนื่องจากจำเป็นต้องมีการคำนวณผลรวมถ่วงน้ำหนักอย่างมีประสิทธิภาพทุกครั้งที่รับหมายเลขใหม่ - เราไม่สามารถหน่วงเวลาการคำนวณได้

algorithms data-structures online-algorithms

— Ambroz Bizjak
แหล่งที่มา

โปรดทราบว่าคุณสามารถใช้ LaTeX ได้ที่นี่

— Raphael

อินพุตมาจากการกระจายที่รู้จักบ้างหรือไม่? พวกเขามีคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ที่เป็นประโยชน์หรือไม่? หากพวกเขาไม่ทำเช่นนั้นก็ไม่น่าเป็นไปได้ที่จะเป็นไปได้ (นอกเสียจากว่าใครบางคนสามารถหารูปแบบปิดที่เรียบร้อยซึ่งคำนวณได้แบบเชิงเส้น - ฉันไม่สามารถหาได้อย่างแน่นอน) การประมาณก็โอเคไหม นั่นอาจเป็นวิธีหนึ่งในการไปหากมีประโยชน์กับคุณเลย

— RDN

ตัวกรอง FIRทำสิ่งนี้ดังนั้นการออกแบบจะมีความเกี่ยวข้อง

— adrianN

@RDN ฉันตั้งคำถามนี้เป็นความอยากรู้อยากเห็นฉันไม่มีแอปพลิเคชันเชิงปฏิบัติในใจ

— Ambroz Bizjak

นี่คือรายละเอียดของวิธีการของคุณ การวนซ้ำเราใช้อัลกอริทึม FFT เพื่อคำนวณค่าของการแปลงในเวลาโดยสมมติว่าค่าต่อมาเป็นศูนย์ เรากำลังคำนวณ ที่เป็นน้ำหนัก (หรือ น้ำหนักกลับ)เป็นลำดับใส่เป็นเวลาปัจจุบันและสำหรับเสื้อ $m$ $m$ $O(n\log n)$ $m$

\sum_{i = 0}^{n - 1} w_{i} a_{t - i + k}, 0 \leq k \leq m - 1,

$\sum_{i=0}^{n-1} w_i a_{t-i+k}, \quad 0 \leq k \leq m-1,$

w_{i}

$w_i$

n

$n$

a_{i}

$a_i$

t

$t$

a_{t^{'}} = 0

$a_{t'} = 0$

t^{'} > t

$t' > t$

สำหรับแต่ละการวนซ้ำต่อไปนี้เราสามารถคำนวณการบิดที่ต้องการในเวลา (การวนซ้ำที่ต้องการเวลา ) ดังนั้นครั้งตัดจำหน่ายเป็นm) นี้จะลดลงโดยการเลือกซึ่งจะช่วยให้ตัดจำหน่ายเวลาการทำงานของบันทึก) $m$ $O(m)$ $i$ $O(i)$ $O(m) + O(n\log n/m)$ $m = \sqrt{n\log n}$ $O(\sqrt{n\log n})$

เราสามารถปรับปรุงสิ่งนี้ให้เป็นเวลาทำงานที่เลวร้ายที่สุดของโดยแบ่งการคำนวณออกเป็นส่วน ๆ แก้ไขและกำหนด แต่ละขึ้นอยู่กับปัจจัยการผลิตเพื่อที่จะสามารถคำนวณได้ในเวลาบันทึกเมตร) นอกจากนี้ยังได้รับสำหรับเราสามารถคำนวณบิดในเวลาm) แผนคือการรักษารายการ สำหรับแต่ละช่วงเวลาของ $O(\sqrt{n\log n})$ $m$

b_{T, p, o} = \sum_{i = 0}^{m - 1} w_{p m + i} a_{T m - i + o}, C_{T, p} = b_{T, p, 0}, \dots, b_{T, p, m - 1} .

$b_{T,p,o} = \sum_{i=0}^{m-1} w_{pm+i} a_{Tm-i+o}, \quad C_{T,p} = b_{T,p,0}, \ldots, b_{T,p,m-1}.$

C_{T, p}

$C_{T,p}$

2 m

$2m$

O (m \log m)

$O(m\log m)$

C_{⌊ t / m ⌋ - p, p}

$C_{\lfloor t/m \rfloor-p,p}$

0 \leq p \leq n / m - 1

$0 \leq p \leq n/m-1$

O (n / m + m)

$O(n/m + m)$

C_{⌊ t / m ⌋ - p, p}, 0 \leq p \leq n / m - 1.

$C_{\lfloor t/m \rfloor-p,p}, \quad 0 \leq p \leq n/m-1.$

m

$m$ อินพุตเราจำเป็นต้องอัปเดตของสิ่งเหล่านี้ การอัปเดตแต่ละครั้งต้องใช้เวลาดังนั้นหากเรากระจายการอัปเดตเหล่านี้อย่างสม่ำเสมอแต่ละอินพุตจะใช้งานเมตร) ร่วมกับการคำนวณบิดของตัวเองความซับซ้อนครั้งต่ออินพุตเป็นเมตร) เลือกเมื่อก่อนนี้จะช่วยให้n})

n / m

$n/m$

O (m \log m)

$O(m\log m)$

O ((n / m^{2}) m \log m) = O ((n / m) \log m)

$O((n/m^2) m\log m) = O((n/m) \log m)$

O ((n / m) \log m + m)

$O((n/m)\log m + m)$

m = \sqrt{n \log n}

$m = \sqrt{n\log n}$

O (\sqrt{n \log n})

$O(\sqrt{n\log n})$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

การแก้ปัญหาที่ยอดเยี่ยมขอบคุณฉันไม่แน่ใจจริงๆว่าสามารถทำได้

— Ambroz Bizjak

และมันใช้งานได้! การติดตั้ง C: ideone.com/opuoMj

— Ambroz Bizjak

Meh ผมก็หายไปที่บิตสุดท้ายของรหัสที่จริงทำให้มันเลิกคำนวณคงที่นี่ideone.com/GRXMAZ

— Ambroz Bizjak

บนเครื่องของฉันอัลกอริทึมนี้เริ่มเร็วกว่าอัลกอริธึมธรรมดาที่ประมาณ 17,000 น้ำหนัก สำหรับน้ำหนักที่น้อยก็ช้า เกณฑ์มาตรฐาน: ideone.com/b7erxu

— Ambroz Bizjak

น่าประทับใจมากที่คุณใช้งานจริง! คุณอาจต้องการที่จะเพิ่มประสิทธิภาพกว่าเมตรตัวเลือกเป็นเพียงคำแนะนำคร่าวๆและอาจไม่เหมาะสม คุณลองใช้อัลกอริทึมด้วยค่าต่าง ๆ ของหรือไม่?

m

$m$

m = \sqrt{n \log n}

$m = \sqrt{n\log n}$

m

$m$

— Yuval Filmus