อัลกอริทึมการติดฉลากเวลาเชิงเส้นสำหรับต้นไม้หรือไม่?

ฉันมีต้นไม้ที่ไม่มีทิศทางซึ่งมีจุดสูงสุดที่ฉันต้องการติดป้าย โหนดใบไม้ควรมีป้ายกำกับหนึ่งรายการ จากนั้นสมมติว่าใบถูกลบออก ในต้นไม้ที่เหลือใบควรจะติดป้ายที่สอง กระบวนการนี้จะดำเนินต่อไปในลักษณะที่ชัดเจนจนกระทั่งจุดยอดทั้งหมดมีป้ายกำกับ เหตุผลที่ฉันทำเช่นนี้คือฉันต้องการเก็บจุดยอดในคิวและผ่านพวกเขา "ทิ้งก่อน" มีวิธีง่าย ๆ ในการทำเวลา $O(n+m)$ นี้หรือไม่?

ฉันสามารถแก้ปัญหาด้วยการทำ BFS ในทุกขั้นตอน แต่ในกรณีที่เลวร้ายที่สุดในทุกขั้นตอนที่ฉันไปถึงจุดสุดยอดทุกอันให้เอาใบสองใบออกและเข้าพวกเขา ฉันเชื่อว่านี่ใช้เวลากำลังสอง

อีกแนวคิดหนึ่งคือค้นหาใบทั้งหมดก่อนแล้วจึงทำ BFS จากทุก ๆ ใบ นี่ไม่ได้ให้ทางออกที่ต้องการแก่ฉัน ตัวอย่างเช่นลองพิจารณา "กราฟรูปทรงมงกุฎ" ดังในรูปด้านล่าง โซลูชั่นที่ต้องการแสดงขึ้น แต่การเปิดตัว BFS จากแต่ละใบไม้จะทำให้มีการใช้ป้ายกำกับเพียงสองป้ายเท่านั้น

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

อุดมคติแล้วอัลกอริธึมเชิงเส้นเวลาก็จะอธิบายและนำไปปฏิบัติได้ง่าย

algorithms trees

— บ๊อบหวือ
แหล่งที่มา

คำตอบ:

ต้นไม้ที่ไม่ได้ใช้ราก

$O(E+V\log V)$

วางจุดยอดทั้งหมดในคิวลำดับความสำคัญโดยลำดับความสำคัญของพวกเขาคือระดับของพวกเขา
ในขณะที่คิวไม่ว่างเปล่า:
- $v$ $1$ $0$
- $\sigma(v) = 1 + \max \sigma(u)$ $u$ $v$
- ลบจากลำดับความสำคัญของเพื่อนบ้านที่เหลือไม่ซ้ำกันของ (ถ้ามี) $1$ $u$

ในความเป็นจริงเราไม่ต้องการคิวลำดับความสำคัญและอัลกอริทึมนี้สามารถนำมาใช้โดยใช้คิวแบบง่าย ๆ ในเวลา : $O(E+V)$

เริ่มต้นอาร์เรย์ของความยาวด้วยองศาของจุดยอดทั้งหมด $V$
เริ่มต้นอาร์เรย์ความยาวอีกชุดด้วย "alive" $V$
ผ่านอาร์เรย์แรกไปหนึ่งครั้งแล้วกดจุดยอดทั้งหมดขององศาไปที่คิว $1$
ในขณะที่คิวไม่ว่างเปล่า:
- แสดง a เวอร์เท็กซ์ . $v$
- Letที่ไปมากกว่าเดิมเพื่อนบ้านทั้งหมดของโวลต์ $\sigma(v) = 1 + \max \sigma(u)$ $u$ $v$
- ทำเครื่องหมายว่า "ตายแล้ว" $v$
- ถ้ามีบางส่วน "ชีวิต" เพื่อนบ้านลบจากองศาของมึง $v$ $u$ $1$ $u$
- หากระดับใหม่ของคือให้กดไปที่คิว $u$ $1$ $u$

ต้นไม้ที่หยั่งราก

ใช้ DFS แทน นี่คือภาพร่างของอัลกอริทึม

กำหนดโหนดถ้าเป็นใบชุด1 $v$ $v$ $d(v) = 1$
หากไม่ใช่ leaf ให้รันอัลกอริธึมบน children ทั้งหมดแล้วปล่อยให้โดยที่ไปเหนือกลุ่มของเด็กทั้งหมด $v$ $d(v) = 1 + \max d(u)$ $u$

คุณเรียกใช้อัลกอริทึมนี้บนราก

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

ถูกต้องหรือไม่ พิจารณาต้นไม้ 1-> 2-> 3-> 4-> 5 โดยที่ 1 คือราก 2 ควรได้รับฉลาก 1 แต่คุณให้ 3 หรือโดยเด็กคุณหมายถึงเพื่อนบ้าน โหนดใดที่เราจะเริ่ม dfs จากนั้น

— Knoothe

การใช้งานของฉันคือ "ปิดทีละคน" แต่ตามคำอธิบายของคุณควรได้รับป้ายกำกับเนื่องจากคุณต้องลบจากนั้นจากนั้นจากนั้นและเพียงกลายเป็นใบไม้

2

$2$

4

$4$

5

$5$

4

$4$

3

$3$

2

$2$

— Yuval Filmus

ฉันไม่ได้ถามคำถาม :-) ฉันตีความคำถามว่าเป็น: ต้นไม้ที่ไม่ได้บอกทาง ติดป้ายใบไม้ทั้งหมด ลบทิ้ง รีเคลมต้นไม้ที่เกิดขึ้น ในกรณีนั้นทรีเป็นจริง 1-2-3-4-5 ขั้นตอนที่ 1 คุณลบ 1 และ 5 จากนั้น 2 และ 4 และ 3 จากนั้น 3 ดูวรรคเกี่ยวกับ "กราฟกราฟ" นี่เป็นหนึ่งในอัลกอริธึมคลาสสิคที่จะค้นหาจุดศูนย์กลางของต้นไม้

— Knoothe

1 ไม่ใช่ใบไม้ มันไกลมากจากการเป็นใบไม้มันเป็นราก ฉันตีความคำถามว่าเป็นการกำหนดเป้าหมายต้นไม้ที่ถูกรูท บางทีเราควรรอให้ OP ตอบกลับ

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus เพียงเพื่อโยน 2 เซ็นต์ของฉันในนั้นไม่ควรจะเป็น ? ใบไม้คือถ้าคุณลบออกแล้วใบไม้ใหม่ควรเป็นดังนั้นจึงเป็นการวัดว่าคุณต้องลบเลเยอร์จำนวนเท่าใดก่อนที่จุดสุดยอดจะกลายเป็นใบไม้ ด้วย min, จุดสุดยอดใด ๆ ที่อยู่ติดกับใบไม้จะได้รับ 2 แต่มันอาจไม่กลายเป็นใบไม้เมื่อใบถูกลบ ประโยคนั้นมีใบไม้เหลืออยู่มากเกินไป ฉันต้องการไม้กวาด

1 + m a x {d (u)}

$1+max\{d(u)\}$

1

$1$

2

$2$

— Luke Mathieson

คำตอบที่ตรงไปตรงมามีดังนี้:

เปิดนี้เป็นกราฟกำกับที่เรามีขอบจากแต่ละโหนดไปยังผู้ปกครองของโวลต์โปรดทราบว่าคุณจะได้รับ dag (กราฟ acyclic โดยตรง) $(u,v)$ $u$ $v$
จัดเรียงกราฟทอพอโลยี
สแกนจุดยอดตามลำดับที่เรียง ติดฉลากจุดสุดยอดแต่ละจุดด้วยป้ายชื่อที่ใหญ่ที่สุดบนหน้ากระดาษก่อนหน้า เนื่องจากเรากำลังสแกนเพื่อทอพอโลยีทั้งหมดของรุ่นก่อนของแล้วจะได้รับฉลากก่อนที่เราจะพยายามที่จะฉลากวี $v$ $v$

แต่ละขั้นตอนเหล่านี้สามารถทำได้ในเวลาดังนั้นเวลาทำงานรวมเป็นm) ฉันพูดถึงวิธีการทางเลือกนี้เฉพาะในกรณีที่คุณคิดว่าเข้าใจง่ายกว่าคำตอบของ Yuval $O(n+m)$ $O(n+m)$

— DW
แหล่งที่มา