SK2 แคลคูลัสเป็นพื้นฐานที่สมบูรณ์หรือไม่ซึ่ง K2 เป็นตัวรวม K ที่พลิกกลับหรือไม่

โดยเฉพาะถ้าฉันกำหนดใหม่เป็น แทน จะแคลคูลัสเป็นพื้นฐานการแข่งขันหรือไม่?$K_2$

ฉันเดาว่า "ไม่" เพียงเพราะฉันไม่สามารถสร้าง combinator K ปกติจาก , , และ combinators แต่ฉันไม่มีอัลกอริทึมที่จะติดตามหรือฉันมีสัญชาตญาณที่ดี เกี่ยวกับการทำสิ่งต่าง ๆ จากผู้รวมกลุ่ม$S$$I$$K_2$

ดูเหมือนว่าคุณสามารถกำหนด ด้วย -calculus แต่ฉันไม่สามารถทำงานย้อนกลับจากที่ได้รับในแง่ของและที่เหลือ

ความพยายามของฉันในการพิสูจน์ว่ามันยังไม่เสร็จสมบูรณ์ตามหลักความพยายามในการสร้างฟังก์ชั่นทุกอย่างที่สามารถทำได้จาก combinators เหล่านี้เพื่อแสดงให้เห็นว่าคุณถึงจุดตาย (ฟังก์ชั่นที่คุณเคยเห็นมาก่อน) ไม่ว่า ฉันรู้ว่าสิ่งนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นเรื่องจริงของชุด combinators ที่ไม่สมบูรณ์ตามหน้าที่ (เช่น combinator ด้วยตัวเองจะไม่มีวันตายเมื่อใช้กับตัวเอง) แต่นี่เป็นความคิดที่ดีที่สุดของฉัน ฉันสามารถใช้combinatorเพื่อแอบออกจากสิ่งที่ฉันคิดว่าในที่สุดก็ถึงจุดจบดังนั้นฉันจึงไม่มั่นใจในความเป็นไปได้ของวิธีการนี้อีกต่อไป$K$$S$

ฉันถามคำถามนี้ในStackOverflowแต่ได้รับการสนับสนุนให้โพสต์ไว้ที่นี่ ฉันได้รับความคิดเห็นเล็กน้อยจากโพสต์นั้น แต่ฉันไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจถูกต้องหรือไม่

โบนัส: ถ้าไม่ใช่พื้นฐานที่สมบูรณ์ภาษาทัวริงยังสมบูรณ์อยู่หรือไม่?

พิจารณาเงื่อนไขของแคลคูลัสเป็นต้นไม้ (ที่มีโหนดโหนดที่เป็นตัวแทนของการใช้งานและใบเป็นตัวแทนของ combinators$S,K_2,I$$S, K_2$

ตัวอย่างเช่นคำว่าจะแสดงเป็นต้นไม้$S(SS)K_2$

        @
       / \
      /   \
     @    K2
    / \
   /   \
  S     @
       / \
      /   \
     S     S

เพื่อให้ต้นไม้แต่ละต้นเชื่อมโยงใบขวาสุดของหนึ่งที่คุณได้รับโดยการสาขาที่เหมาะสมในแต่ละ ยกตัวอย่างเช่นใบขวาสุดของต้นไม้ข้างต้นเป็นK_2$T$@$K_2$

ดังที่เห็นได้จากศิลปะ ASCII ด้านล่างกฎการลดทั้งหมดในแคลคูลัสรักษาใบไม้ที่ถูกต้องที่สุด$S, K_2, I$

         @                           @
        / \                         / \
       /   \                       /   \
      @     g    [reduces to]     @     @
     / \                         / \   / \
    /   \                       e   g f   g
   @     f                 
  / \
 /   \
S     e

      @
     / \
    /   \
   @     f    [reduces to]   f
  / \
 /   \
K2    e

จากนั้นไปมันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าถ้าบางคำลดลงเป็นดังนั้นและจะมีใบไม้ทางขวาสุดเหมือนกัน ดังนั้นจึงไม่มีเงื่อนไขในแคลคูลัสดังกล่าวว่าลดK_2อย่างไรก็ตามลดลงเหลือดังนั้นจึงไม่สามารถแสดงในแคลคูลัส$T$$T'$$T$$T'$$T$$S, K_2, I$$TK_2S$$K_2$$KK_2S$$K_2$$K$$S,K_2, I$

แก้ไข: ตามความเห็นชี้ให้เห็นว่านี่เป็นเพียงคำตอบบางส่วนเนื่องจากมันใช้กับเพียงพิมพ์แคลคูลัสเท่านั้น (หรือมากกว่านั้นก็แสดงให้เห็นว่าไม่มีคำจำกัดความที่เป็นไปได้ของ K ที่ไม่ได้ป่วย แบบฟอร์มย่อย) หากไม่มีการคัดค้านฉันจะไม่ลบเนื่องจากจะแสดงเทคนิคการพิสูจน์ที่มีประสิทธิผลมากสำหรับการตั้งค่าที่พิมพ์$S,K_2,I$

จำได้ว่า combinators ของเรามีประเภทดังต่อไปนี้ (Curry-style ดังนั้นเป็นตัวแปร):$A,B,C$

• $K: A \rightarrow B \rightarrow A$
• $K_2: A \rightarrow B \rightarrow B$
• $S: (A \rightarrow B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow C)$
• $I: A \rightarrow A$

โดยแกงกะหรี่ - โฮเวิร์ดจดหมายถ้าเราสามารถแสดงในแง่ของแล้วสไตล์แคลคูลัสพิสูจน์สไตล์ของฮิลแบร์ตกับตรรกะเหตุผลสามและกฎการอนุมานหนึ่ง (จากและสรุป ) พิสูจน์สูตร$K$$I,S,K_2$$A \rightarrow B \rightarrow B, (A \rightarrow B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow C), A \rightarrow A$$A$$A \rightarrow B$$B$$A \rightarrow B \rightarrow A$

แต่เราสามารถให้ความหมายสามค่า (ค่าt,f,u) กับความเกี่ยวพันเช่นว่าสูตร ,และรับค่าสำหรับการตีความใด ๆ$\rightarrow$$A \rightarrow B \rightarrow B$$(A \rightarrow B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow C)$$A \rightarrow A$t

A B | A -> B
t t | t
t f | f
f t | t
f f | t
t u | f
f u | t
u t | t
u f | f
u u | t

อรรถศาสตร์นี้ชัดเจนในแง่ที่ว่าความจริงทุกประการของสัจพจน์ได้รับคุณค่าภายใต้การตีความทุกครั้ง (ไม่สมบูรณ์มีสิ่งต่าง ๆ ที่ได้รับคุณค่าเสมอแต่เราไม่สามารถพิสูจน์ได้จริง) อย่างไรก็ตามได้รับค่าภายใต้การตีความที่กำหนดเพื่อและเพื่อและดังนั้นจึงไม่สามารถพิสูจน์ได้จากหลักการที่สอดคล้องกับผม$K_2, S, I$A → B → A A B S , K 2 , Itt$A \rightarrow B \rightarrow A$fu$A$t$B$$S, K_2, I$