เรียงลำดับอาร์เรย์ของจำนวนเต็ม 5 จำนวนโดยเปรียบเทียบได้สูงสุด 7 รายการ

ฉันจะเรียงลำดับรายการจำนวนเต็ม 5 ตัวได้อย่างไรในกรณีที่แย่ที่สุดใช้เวลา 7 เปรียบเทียบ? ฉันไม่สนใจว่าจะมีการปฏิบัติการอื่นอีกกี่ครั้ง ฉันไม่รู้อะไรเป็นพิเศษเกี่ยวกับจำนวนเต็ม

ฉันได้ลองวิธีการแบ่งและพิชิตที่แตกต่างกันสองสามข้อซึ่งทำให้ฉันเปรียบเทียบได้ 8 ข้อเช่นต่อไปนี้วิธีการผสานหรือผสานการผสานกับการใช้การค้นหาแบบไบนารีเพื่อค้นหาตำแหน่งการแทรก แต่ทุกครั้งที่ฉันจบด้วย 8 เปรียบเทียบกรณีที่เลวร้ายที่สุด .

ตอนนี้ฉันแค่มองหาคำใบ้ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา

algorithms sorting

— Robert S. Barnes
แหล่งที่มา

คุณลองเขียนต้นไม้ "เปรียบเทียบกับ" แล้วหรือยัง มันมีใบแต่ละใบสอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงของจำนวนเต็ม หากคุณไม่รู้ว่าฉันหมายถึงอะไรโดยต้นไม้ "เปรียบเทียบกับ" คุณรู้หรือไม่ว่าหลักฐานที่คุณต้องการเปรียบเทียบ ? ปล. อะไรทำให้คุณคิดว่าเป็นไปได้

5! = 120

$5! = 120$

n \log n

$n \log n$

— Pål GD

ในส่วนที่สองของ 8 บิตif(x > y)นั้นเหมือนกับif((x - y) & 0x80)การเปรียบเทียบ ฉันเดาว่าเราควรลืมว่าวัตถุนั้นเป็นจำนวนเต็มและสมมติว่าเราต้องใช้compare(x, y)ฟังก์ชั่นเวทมนต์เพื่อเปรียบเทียบวัตถุเหล่านั้น ...

— Karolis Juodelė

'ตรวจสอบส่วนที่ 5.3 เกี่ยวกับการเรียงลำดับที่ดีที่สุดในเล่ม 3 ของศิลปะการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ซึ่งครอบคลุมคำถามนี้อย่างแม่นยำ' นับเป็นคำใบ้หรือวิธีแก้ปัญหาหรือไม่ :-)

— Steven Stadnicki

ข้อ จำกัด คือและ128 ดังนั้นจึงเป็นไปได้ (ตามหลักการ)

2^{c} \geq n!

$2^c \ge n!$

5! = 120 < 2^{7} = 128

$5! = 120 < 2^7 = 128$

— vonbrand

ที่เกี่ยวข้อง: การเรียงลำดับอาร์เรย์ที่มีการเปรียบเทียบน้อยที่สุด

— Janus Troelsen

คำตอบ:

มีเพียงวิธีเดียวในการเริ่มต้นกระบวนการนี้ (และสำหรับการตัดสินใจเกือบทั้งหมดของคุณเกี่ยวกับสิ่งที่จะเปรียบเทียบในขั้นตอนหลังมีเพียงหนึ่งวิธีที่ถูกต้อง) นี่คือวิธีการคิดออก ก่อนอื่นให้สังเกตว่ามีคำตอบที่เป็นไปได้ที่คุณจะได้รับสำหรับการเปรียบเทียบของคุณและพีชคณิตที่แตกต่างกันที่คุณต้องแยกแยะ $2^7 =128$ $5! = 120$

การเปรียบเทียบครั้งแรกนั้นง่าย: คุณต้องเปรียบเทียบสองปุ่มและเนื่องจากคุณไม่รู้อะไรเลยเกี่ยวกับพวกมันตัวเลือกทั้งหมดจึงดีพอ ๆ กัน ดังนั้นสมมติว่าคุณเปรียบเทียบและและพบว่าข ตอนนี้คุณเหลือคำตอบที่เป็นไปได้และเหลืออีกพีชคณิตที่เหลือ (เนื่องจากเราได้ลบครึ่งหนึ่ง) $a$ $b$ $a \leq b$ $2^6 = 64$ $60$

ต่อไปเราสามารถเปรียบเทียบและหรือเราสามารถเปรียบเทียบกับหนึ่งในคีย์ที่เราใช้ในการเปรียบเทียบครั้งแรก หากเราเปรียบเทียบและและเรียนรู้ว่าเรามีคำตอบที่เหลือและการเปลี่ยนลำดับที่เป็นไปได้ ในทางกลับกันถ้าเราเปรียบเทียบกับและเราค้นพบว่าเรามีการเปลี่ยนลำดับที่เป็นไปได้ที่เหลืออยู่เพราะเราตัดการเปลี่ยนรูปแบบที่เป็นไปได้ (ที่มี ) . เรามีเท่านั้น $c$ $d$ $c$ $c$ $d$ $c \leq d$ $32$ $30$ $c$ $a$ $a \leq c$ $40$ $1/3$ $c \leq a \leq b$ $32$ เหลือคำตอบที่เป็นไปได้ดังนั้นเราจึงไม่มีโชค

ตอนนี้เรารู้แล้วว่าเราต้องเปรียบเทียบคีย์ตัวแรกและตัวที่สองกับคีย์ที่สามและสี่ เราสามารถสมมติว่าเรามีและd หากเราเปรียบเทียบกับปุ่มสี่ปุ่มใด ๆ เหล่านี้ด้วยเหตุผลเดียวกับที่เราใช้ในขั้นตอนก่อนหน้าเราอาจกำจัดเพียงแค่ของการเปลี่ยนลำดับที่เหลือและเราไม่มีโชค ดังนั้นเราจึงมีการเปรียบเทียบสองของปุ่ม D คำนึงถึงความสมมาตรบัญชีเรามีสองทางเลือกเปรียบเทียบและหรือเปรียบเทียบและdที่คล้ายกันแสดงให้เห็นว่าข้อโต้แย้งนับเราต้องเปรียบเทียบและคเราสามารถสมมติได้โดยไม่สูญเสียความเป็นนายพลที่ $a\leq b$ $c \leq d$ $e$ $1/3$ $a,b,c,d$ $a$ $c$ $a$ $d$ $a$ $c$ $a \leq c$ และตอนนี้เรามีและd $a \leq b$ $a \leq c \leq d$

เมื่อคุณขอคำใบ้ฉันจะไม่ผ่านการโต้แย้งที่เหลือ คุณมีการเปรียบเทียบสี่รายการที่เหลือ ใช้พวกเขาอย่างชาญฉลาด

— ปีเตอร์แคระ
แหล่งที่มา

คุณไม่ได้รับวิธีที่เปรียบเทียบเพื่อ

เพียงได้รับคุณลงถึง 40 พีชคณิต?

a

$a$

c

$c$

— Robert S. Barnes

@ Robert: สมมติว่าคุณมี

และ

ค

จากนั้นมีสองพีชคณิต

สอดคล้องกับข้อ จำกัด เหล่านี้

และ

ข

สำหรับการเรียงสับเปลี่ยนทั้งสองนี้มีสี่ตำแหน่งที่คุณสามารถเพิ่ม

และห้าตำแหน่งที่คุณสามารถเพิ่ม

ได้

a \leq b

$a \leq b$

a \leq c

$a \leq c$

a, b, c

$a,b,c$

a < b < c

$a < b < c$

a < c < b

$a < c < b$

d

$d$

e

$e$

— Peter Shor

คุณสามารถค้นหาได้ใน The Art of Computer Programming vol III โดย D.Knuth แต่กลยุทธ์เป็นเช่นนี้ (ฉันจะสมมติว่าคุณมีอาร์เรย์ ): หากคุณต้องการคำใบ้อ่าน เพียงสองคำตอบแรกของฉัน $\{a,b,c,d,e\}$

กลุ่มแรกคู่ของตัวเลข: ) $(a,b), (c,d)$
เปรียบเทียบคู่ขึ้นไปจัดเรียงพวกเขาเช่น: d $a<b, c<d$
เปรียบเทียบองค์ประกอบที่เล็กที่สุดของคู่เราจะส่งผลเช่นค $a<c$
เปรียบเทียบองค์ประกอบสุดท้ายกับองค์ประกอบที่ใหญ่กว่าในการเปรียบเทียบล่าสุด ( c )
- หากเป็นเรื่องง่ายที่จะจบลงด้วยการเปรียบเทียบที่เหลืออีก 3 รายการ เสร็จ $e<c$
- ถ้าแล้วคุณควรเรียงลำดับ{ B , C , D , E }มีความรู้ค< E , C < d
  - ถ้า d < อีแล้ว
    - ถ้า B > d
      - )เสร็จ $Compare(b,e)$
    - ถ้า
      - )เสร็จ $Compare(b,c)$
  - ถ้า
    - ถ้า B > อี
      - )เสร็จ $Compare(b,d)$
    - ถ้า
      - )เสร็จ $Compare(b,c)$

ทุกวิธีที่กล่าวมาข้างต้นเป็นสาเหตุให้ได้มากที่สุดสามเปรียบเทียบหลังจากเปรียบเทียบแรกของที่มีค(หมายถึง 7 ไม่เกิน) $e$ $c$

— จอร์จ
แหล่งที่มา

คุณแน่ใจหรือไม่ว่าถูกต้อง? สมมติว่าคุณได้รับผลลัพธ์ต่อไปนี้: a <b, c <d, a <c จากนั้น c <e, b <e, c <b และ d <e การจัดลำดับ <c <b <d <e และ a <c <d <b <e นั้นสอดคล้องกัน เหตุผลก็คือว่าจะไม่มีการเปรียบเทียบ b และ d โดยปริยายหรืออย่างชัดเจน บางทีฉันอาจเข้าใจผิดบางแห่งถ้าเป็นเช่นนั้นโปรดแก้ไขให้ถูกต้อง

— จอร์จ