แลมบ์ดาแคลคูลัสเป็น syntactic ล้วนๆหรือไม่

ฉันอ่านเกี่ยวกับแลมบ์ดาแคลคูลัสมาสองสามสัปดาห์แล้ว แต่ฉันยังไม่ได้เห็นอะไรที่แตกต่างอย่างมากจากฟังก์ชั่นทางคณิตศาสตร์ที่มีอยู่และฉันต้องการที่จะรู้ว่ามันเป็นเพียงสัญกรณ์หรือไม่ คุณสมบัติหรือกฎที่สร้างขึ้นโดยสัจพจน์แคลคูลัสแลมบ์ดาที่ไม่ได้ใช้กับฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ทุกฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่นฉันได้อ่านว่า:

"อาจมีฟังก์ชั่นที่ไม่ระบุชื่อ" : ฟังก์ชั่นแลมบ์ดาไม่ระบุชื่อพวกเขาทั้งหมดเรียกว่าแลมบ์ดา อนุญาตให้ใช้ในการคำนวณทางคณิตศาสตร์เพื่อใช้ตัวแปรเดียวกันสำหรับฟังก์ชั่นที่แตกต่างกันหากชื่อไม่สำคัญ ตัวอย่างเช่นทั้งสองฟังก์ชั่นในการเชื่อมต่อ Galois มักจะถูกเรียกว่า *

"ฟังก์ชั่นสามารถรับฟังก์ชั่นเป็นอินพุต" : ไม่ใช่เรื่องใหม่ที่คุณสามารถทำได้ด้วยฟังก์ชั่นทั่วไป

"ฟังก์ชั่นเป็นกล่องดำ" : เพียงแค่อินพุตและเอาต์พุตก็เป็นคำอธิบายที่ถูกต้องของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ ...

นี่อาจดูเหมือนการอภิปรายหรือคำถามที่มีความเห็น แต่ฉันเชื่อว่าควรมีคำตอบที่ "ถูกต้อง" สำหรับคำถามนี้ ฉันต้องการที่จะรู้ว่าแลมบ์ดาแคลคูลัสเป็นเพียงสัญกรณ์หรือแบบแผนวากยสัมพันธ์สำหรับการทำงานกับฟังก์ชั่นทางคณิตศาสตร์หรือไม่ว่ามีความแตกต่างที่สำคัญหรือความหมายระหว่างแลมบ์ดาและฟังก์ชั่นธรรมดา

กระแทกแดกดันชื่ออยู่ในจุด แต่ไม่ได้อยู่ในแบบที่คุณดูเหมือนจะหมายถึงซึ่งก็คือ "เป็นแคลคูลัสแลมบ์ดาเพียงการประชุมสัญกรณ์" ซึ่งไม่ถูกต้อง

แง่แลมบ์ดาไม่ได้ฟังก์ชั่น 1 พวกเขาเป็นส่วนของไวยากรณ์เช่นคอลเลกชันของสัญลักษณ์บนหน้า เรามีกฎสำหรับจัดการสัญลักษณ์เหล่านี้ซึ่งเป็นการลดเบต้าที่สำคัญที่สุด คุณสามารถมีหลายที่แตกต่างกันแง่แลมบ์ดาว่าตรงตามลักษณะที่เดียวกันฟังก์ชั่น ²

ฉันจะพูดถึงประเด็นของคุณโดยตรง

อย่างแรกแลมบ์ดาไม่ใช่ชื่อที่ถูกใช้ซ้ำ ไม่เพียง แต่จะทำให้เกิดความสับสนอย่างยิ่ง แต่เราไม่ได้เขียน (หรือ ) ซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องการถ้าเป็นชื่อของฟังก์ชันเหมือนกับที่เราเขียน(x) ในเราสามารถแทนที่ (ถ้ามันถูกนิยามโดยคำแลมบ์ดา) ด้วยคำแลมบ์ดาที่สร้างบางสิ่งเช่นความหมายคือนิพจน์ที่สามารถใช้แทนฟังก์ชันไม่ใช่ ประกาศประกาศฟังก์ชั่น (ชื่อ$\lambda(x)$$(\lambda\ x)$$\lambda$$f(x)$$f(x)$$f$$(\lambda y.y)(x)$$(\lambda y.y)$$\lambda$หรือสิ่งอื่นใด) ไม่ว่าในกรณีใดเมื่อเราใช้คำศัพท์ / สัญกรณ์เกินพิกัด (หนึ่งความหวัง) ก็ทำในลักษณะที่สามารถทำให้กระจ่างผ่านบริบทซึ่งแน่นอนไม่สามารถเป็นไปได้สำหรับเงื่อนไขแลมบ์ดา

ประเด็นต่อไปของคุณดี แต่ค่อนข้างไม่เกี่ยวข้อง นี่ไม่ใช่การแข่งขันที่มีข้อกำหนดของทีมแลมบ์ดาและฟังก์ชั่นของทีมและมีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้นที่จะชนะ แอปพลิเคชันหลักของคำศัพท์แลมบ์ดากำลังศึกษาและทำความเข้าใจกับฟังก์ชันบางประเภท พหุนามไม่ใช่ฟังก์ชั่นแม้ว่าเรามักจะระบุพวกเขาอย่างสกปรก การศึกษาชื่อพหุนามไม่ได้หมายความว่าเราคิดว่าทุกฟังก์ชั่นควรเป็นชื่อที่ประกอบด้วยหลายคำและไม่ใช่กรณีที่ชื่อพหุนามต้อง "ทำ" บางสิ่ง "ใหม่" เพื่อให้คุ้มค่าที่จะศึกษา

ตั้งฟังก์ชั่นเชิงทฤษฎีไม่ได้เป็นกล่องดำแม้ว่าพวกเขาจะถูกกำหนดโดยสิ้นเชิงโดยความสัมพันธ์อินพุทของพวกเขา (พวกมันคือความสัมพันธ์ระหว่างอินพุตและเอาท์พุต) คำของแลมบ์ดานั้นไม่ใช่กล่องดำและพวกมันไม่ได้ถูกนิยามโดยความสัมพันธ์อินพุตและเอาต์พุต ดังที่ฉันได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้คุณสามารถมีข้อกำหนดแลมบ์ดาที่แตกต่างกันซึ่งสร้างความสัมพันธ์อินพุตและเอาต์พุตเดียวกัน สิ่งนี้ยังเป็นการตอกย้ำความจริงที่ว่าคำแลมบ์ดาไม่สามารถใช้งานได้แม้ว่าพวกเขาจะสามารถกระตุ้นการทำงานได้ ²

ในความเป็นจริงการเปรียบเทียบระหว่างพหุนามกับคำแลมบ์ดานั้นใกล้เคียงกันมากและฉันสงสัยว่าคุณอาจไม่เห็นความแตกต่างระหว่างพหุนามกับฟังก์ชันที่มันแทนดังนั้นฉันจะอธิบายให้ละเอียด ³โดยทั่วไปเมื่อมีการแนะนำพหุนามหลายครั้งมักมีสัมประสิทธิ์จริงพวกเขาจะถือว่าเป็นหน้าที่ที่แท้จริงของประเภทเฉพาะ ตอนนี้ให้พิจารณาทฤษฎีของการลงทะเบียนกะตอบรับเชิงเส้น (LFSR) ส่วนใหญ่เป็นทฤษฎีของชื่อพหุนาม (uni-variate) เหนือแต่ถ้าเราคิดว่ามันเป็นฟังก์ชันแล้วมีฟังก์ชันดังกล่าวมากที่สุดอย่าง มี แต่เป็นจำนวนที่ไม่มีที่สิ้นสุดของพหุนามมากกว่าF_2 ⁴$\mathbb F_2$F 2 → F 2 4 F 2 F 2 → F 2 F 2 2 N → 2 N $\mathbb F_2\to\mathbb F_2$$4$$\mathbb F_2$วิธีหนึ่งในการดูสิ่งนี้คือเราสามารถตีความพหุนามเหล่านี้เป็นอย่างอื่นที่ไม่ใช่ฟังก์ชั่นแน่นอน - พีชคณิตจะทำอะไร สำหรับ LFSRs เรามักตีความพหุนามเป็นรูปแบบการดำเนินการบน bitstreams ซึ่งหากเราต้องการสามารถแสดงเป็นหน้าที่แม้ว่า ฟังก์ชั่นส่วนใหญ่ดังกล่าวจะไม่อยู่ในภาพการตีความของ LFSR$\mathbb F_2\to\mathbb F_2$$\mathbb F_2$$\mathbf{2}^{\mathbb N}\to\mathbf{2}^{\mathbb N}$

สิ่งนี้ใช้กับข้อกำหนดแลมบ์ดาเช่นกันเราสามารถตีความทั้งสองอย่างเป็นสิ่งอื่นนอกเหนือจากฟังก์ชั่น พวกมันยังเป็นวัตถุที่เวิ้งว้างได้มากกว่าที่จะทำงานด้วยชุดฟังก์ชั่นที่ไม่มีที่สิ้นสุด พวกเขามีทั้งการคำนวณมากกว่าฟังก์ชั่นโดยพลการ ฉันสามารถเขียนโปรแกรมเพื่อจัดการพหุนาม (ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่สามารถแทนค่าได้อย่างน้อย) และแลมบ์ดา แท้จริงแลมบ์ดาที่ไม่ได้พิมพ์คำนี้เป็นหนึ่งในรุ่นดั้งเดิมของฟังก์ชันที่คำนวณได้ นี้ / ประโยคสัญลักษณ์เพิ่มเติม calculational / การคำนวณมุมมองที่มักจะเน้นมากขึ้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับuntypedแคลคูลัสแลมบ์ดากว่าการตีความความหมายมากขึ้นของแคลคูลัสแลมบ์ดา พิมพ์ข้อตกลงแลมบ์ดานั้นเป็นสิ่งที่จัดการได้ง่ายกว่าและมักจะตีความได้ง่ายในขณะที่ตั้งค่าฟังก์ชั่นเชิงทฤษฎี แต่ก็สามารถตีความได้ในระดับที่กว้างกว่าของสิ่งต่าง ๆ นอกเหนือจากการทำงานมากกว่าแคลคูลัสแลมบ์ดา พวกเขายังมีทฤษฎีประโยคที่อุดมไปด้วยของตัวเองและการเชื่อมต่อที่ลึกมากกับตรรกะ

¹อาจเป็นไปได้ปัญหาอาจไปในทางอื่น บางทีคุณอาจเข้าใจผิดเกี่ยวกับฟังก์ชั่น

²จริง ๆ แล้วไม่ตรงไปตรงมา สำหรับuntypedแคลคูลัสแลมบ์ดาก็ไม่ได้ทำให้รู้สึกจริงๆไปอย่างไร้เดียงสาตีความแง่แลมบ์ดาพลเป็นฟังก์ชั่นการตั้งทฤษฎี คุณสามารถเริ่มเห็นสิ่งนี้เมื่อคุณพยายามที่จะอธิบายสิ่งที่โดเมนของการตีความควรเป็น หากฉันตีความคำแลมบ์ดาเป็นองค์ประกอบของเซตฉันก็ต้องการตีความมันเป็นฟังก์ชันบนและเป็นเนื่องจากฉันต้องการตีความแอปพลิเคชันเป็นแอปพลิเคชันฟังก์ชัน คุณท้ายด้วย (หรืออ่อนลงของนี้) ซึ่งเป็นความจริงเพียงชุดเดียว สิ่งที่เราต้องการสำหรับแคลคูลัสแลมบ์ดาที่ไม่ได้พิมพ์เป็นวัตถุสะท้อนกลับ$D$$D$$D$$D^D\subseteq D$และสำหรับหมวดหมู่ของฉากไม่มีวัตถุสะท้อนกลับที่ไม่สำคัญ เรื่องราวนั้นค่อนข้างแตกต่างไปจากคำศัพท์แลมบ์ดาที่พิมพ์ออกมา แต่ก็ยังไม่ใช่เรื่องไร้สาระ

³หากคุณมีความชัดเจนเกี่ยวกับความแตกต่างนี้การเปรียบเทียบควรเป็นข้อมูลที่ค่อนข้างดี

⁴ปัญหานี้ไม่ได้เกิดขึ้นกับเขตข้อมูลคุณลักษณะ 0 เช่นจำนวนเชิงซ้อนจำนวนจริงปันส่วนปันส่วนหรือจำนวนเต็มดังนั้นความแตกต่างจึงไม่คมชัดแม้ว่าจะยังคงมีอยู่

คิดเกี่ยวกับแนวคิดของตัวแปร ในภาษาเก่าอย่างพื้นฐานคุณไม่มีการจัดสรรแบบไดนามิกและคุณต้องการชื่อหนึ่งชื่อสำหรับแต่ละตัวแปร (สิ่งนี้ไม่ถูกต้องอย่างสมบูรณ์เพราะคุณมีอาร์เรย์ แต่ความคิดคือ ... ) ในหลาย ๆ ปัญหาคุณต้องจัดสรรตัวแปรได้มากเท่าที่คุณต้องการโดยไม่ จำกัด จำนวนชื่อที่โปรแกรมของคุณกำหนด

ฟังก์ชั่นแลมบ์ดาช่วยให้คุณกำจัดข้อ จำกัด เดียวกันกับชื่อฟังก์ชั่นทำให้โปรแกรมของคุณสามารถกำหนดฟังก์ชั่นได้มากเท่าที่ต้องการและ "จัดเก็บ" ไว้ในโครงสร้างข้อมูลที่ซับซ้อนเช่นเดียวกับตัวแปรอื่น ๆ นี่ไม่ใช่สิ่งที่คุณสามารถทำได้ด้วยฟังก์ชั่นที่มีชื่อแบบดั้งเดิม