การตัดเค้กที่ยุติธรรมเมื่อผู้เล่นเข้าร่วมสาย

คำสั่งปกติของปัญหาการตัดเค้กที่ยุติธรรมถือว่าผู้เล่นทั้งหมดคนได้รับส่วนแบ่งในเวลาเดียวกัน อย่างไรก็ตามในหลายกรณีผู้เล่นมาถึงแบบค่อยเป็นค่อยไป ตัวอย่างเช่นเราอาจแบ่งเค้กให้กับผู้เล่นnคน แต่จากนั้นผู้เล่นใหม่มาถึงและต้องการแบ่งปัน$n$$n$

โดยปกติการแบ่งเค้กที่ยุติธรรมต้องใช้ความพยายามอย่างมาก (เช่นต้องการให้ผู้เล่นตอบคำถามมากมาย) โดยเฉพาะเมื่อจำนวนผู้เล่นมีจำนวนมาก

เป็นไปได้หรือไม่ที่จะใช้ส่วนที่มีอยู่ของเค้กเหนือผู้เล่นคนเพื่อสร้างส่วนใหม่ของเค้กให้กับผู้เล่นn + 1ด้วยความพยายามเพิ่มเติมน้อยที่สุด$n$$n+1$

ฉันจะบอกล่วงหน้าว่าฉันไม่สามารถให้คำตอบที่ดีสำหรับคำถามของคุณ (ฉันคิดว่าคุณอาจจะได้รับรายงานการวิจัยจากมันถ้าคุณทำได้) แต่ฉันคิดว่าฉันสามารถช่วยได้โดยการกำหนดปัญหาอย่างเป็นทางการและระบุว่า ของความยากลำบากอยู่

พื้นหลัง ให้ฉันบอกโมเดลการตัดเค้กอย่างชัดเจน เราต้องการแบ่งช่วงเวลาระหว่างผู้เล่นnคน ผู้เล่นแต่ละคนที่ฉันมีฟังก์ชั่นการประเมินมูลค่าv ฉัน ( S )มากกว่าส่วนย่อยSของเค้ก เราจะสมมติว่าฟังก์ชันนี้เป็นการวัดความน่าจะเป็น มันเป็นค่าลบและสารเติมแต่ง (สำหรับ disjoint A , B ⊆ [ 0 , 1 ] , v ฉัน ( A ∪ B ) = v i$[0,1]$$n$$i$$v_i(S)$$S$$A,B \subseteq [0,1]$ ) และวีฉัน ( [ 0 , 1 ] ) = 1 วิธีการแก้ไขปัญหานี้คือโปรโตคอลหรืออัลกอริทึมที่สอบถามผู้เล่นและกำหนดส่วนของช่วงเวลา โปรดทราบว่าผู้เล่นอาจรายงานผิด / โกหกในการตอบแบบสอบถาม$v_i(A \cup B) = v_i(A) + v_i(B)$$v_i([0,1]) = 1$

บางเอกสารจะมีข้อ จำกัด เฉพาะเพิ่มเติม เช่นฟังก์ชั่นการประเมินค่าเป็นแบบต่อเนื่องหรือเชิงเส้นเชิงเส้นหรือค่าคงที่ทีละชิ้น

ให้ชิ้นส่วนที่ได้รับมอบหมายให้กับผู้เล่นเป็น } เรามักต้องการคุณสมบัติต่อไปนี้ของโปรโตคอล:$\{S_1,\dots,S_n\}$

• สัดส่วน : ผู้เล่นทุกคนมีกลยุทธ์ที่ค้ำประกัน s A / เขาได้รับค่าอย่างน้อย( 1 / n ) วีฉัน ( [ 0 , 1 ] ) (จากมุมมองของฉัน s / เขาได้1 / nของมูลค่ารวมของเค้ก)$i$$(1/n)v_i([0,1])$$i$$1/n$
• อิจฉา-freeness : ผู้เล่นทุกคนมีกลยุทธ์ที่รับประกันว่าสำหรับผู้เล่นทุกคนอื่น ๆเจ (ผู้เล่นทุกคนชอบชิ้นส่วนของเขา / เธอเองกับชิ้นส่วนของผู้เล่นคนอื่น ๆ )$v_i(S_i) \geq v_i(S_j)$$j$

โปรดทราบว่าความอิจฉา - freeness หมายถึงสัดส่วน

นอกจากนี้ยังมีคุณสมบัติ "การปฏิบัติงาน" ที่เราอาจต้องการเช่นการตัดเป็นชิ้น ๆ เวลาทำงานพหุนาม (หรือความสามารถในการคำนวณ / การสร้างได้เลย - เราไม่ต้องการใช้ Axiom of Choice เพื่อเลือกเค้กชุดหนึ่ง! ) และอื่น ๆ

คำถามที่เฉพาะเจาะจงที่จะถาม สองบันทึก ก่อนอื่นคำตอบสำหรับคำถามของคุณจะแก้ปัญหาทั่วไป: เริ่มต้นด้วยการมอบเค้กให้ผู้เล่นคนจากนั้นให้ผู้เล่นคนอื่นมาออนไลน์และใช้โปรโตคอลนี้ซ้ำ ๆ ดังนั้นเราควรคาดหวังว่าปัญหานี้จะยากกว่าการตั้งค่าการตัดเค้กมาตรฐานที่เราใช้กับ$1$

ประการที่สองเราสามารถแก้ปัญหาของคุณได้โดยนำเค้กทั้งหมดกลับมาจากทุกคนและใช้อัลกอริทึมที่รู้จักกันเพื่อแจกจ่ายเค้กใหม่ทั้งหมดจากศูนย์ ดังนั้นคำถามก็คือหากมีวิธีที่สง่างามกว่านี้ ฉันคิดว่าวิธีที่ดีในการหาจำนวนนี้คือ "เมื่อใดที่การกระจายซ้ำต้องใช้เวลาน้อยลงหรือลดลงน้อยกว่าการเริ่มต้นจากศูนย์และ / หรือเมื่อผู้เล่นได้รับส่วนสำคัญของชิ้นปัจจุบันของพวกเขา?"

1. สมมติว่าเรามีการจัดสรรที่ไม่อิจฉาสำหรับผู้เล่นคน เราจะแจกจ่ายใหม่เพื่อจัดสรรการอิจฉาในหมู่ผู้เล่นn + 1 ได้อย่างไร?$n$$n+1$

ฉันคิดว่ามันยากมาก เหตุผลก็คือการหาการจัดสรรที่ไม่มีอิจฉาและมีประสิทธิภาพนั้นเป็นปัญหาที่ยากอยู่แล้ว เท่าที่ฉันรู้โพรโทคอลที่รู้จักอาจต้องใช้จำนวนการตัดเค้กที่ซับซ้อนและซับซ้อนมาก (ดู Brams and Taylor, โปรโตคอลเค้กฝ่ายอิจฉาฟรี , 1995) ดังนั้นอาจไม่มีอะไรดีไปกว่าการหยิบเค้กทั้งหมดกลับมาจากทุกคนและแจกจ่ายต่อไปยังตัวแทนโดยใช้ Brams-Taylor$n+1$

1. $n$$n+1$

$1/n$$1$$1/n$$2$$(n-1)/n$$2$$1/n$$3$$(n-1)/n$$n$$1/n$$1$$(n-1)/n$$2$$1$$3$$2$

การอ้างอิงหนึ่งอาจเป็นวอลช์การตัดเค้กออนไลน์ในทฤษฎีการตัดสินใจแบบอัลกอริทึม 2011 (ลิงก์ไฟล์ PDF) แต่ฉันคิดว่ากระดาษถือว่าเรารู้ล่วงหน้าถึงจำนวนของตัวแทนที่มาถึงและถือว่าผู้เล่นจะต้องจัดสรรชิ้นส่วนอย่างแม่นยำเมื่อพวกเขาออกจาก (ซึ่งเป็นก่อนที่จะสิ้นสุดของโปรโตคอล) ดังนั้นจึงไม่เหมาะกับปัญหาของคุณ

$n$$n+1$$n+1$$n$

$C$$r$$n$$\frac{\pi r^2}{n}$$(n+1)$$n+1$

การหาตัวเลขทำได้ง่าย สำหรับผู้เล่นใหม่คนแรกแค่แก้ปัญหา

$\qquad \pi r_1^2 = \frac{\pi r^2}{n+1}$

เพื่อรับรัศมีสำหรับพล็อตของเขา สำหรับวินาทีแก้

$\qquad\begin{align} \pi r_1^2 &= \frac{\pi r^2}{n+2} \\ \pi r_2^2 - \pi r_1^2 &= \frac{\pi r^2}{n+2} \end{align}$

$n + i$$r_i = \frac{r\sqrt{i}}{\sqrt{n+k}}$$k$

$n=6$$k=0,1,2,3$

^{[ แหล่งที่มา ]}

$n$$n$