เหตุใดจึงกล่าวได้ว่าการค้นหาแบบกว้างแรกแสดงในเวลา

มันมักจะระบุไว้ (เช่นในวิกิพีเดีย ) ที่เวลาทำงานของการค้นหาในแนวกว้าง (BFS) ในกราฟเป็น|) อย่างไรก็ตามกราฟที่เชื่อมต่อใด ๆ มีและแม้ในกราฟที่ไม่ได้เชื่อมต่อ BFS จะไม่มองจุดยอดนอกส่วนประกอบที่มีจุดยอดเริ่มต้น องค์ประกอบนั้นมีอย่างมาก ขอบดังนั้นมันจึงมีจุดยอดมากที่สุดและนั่นเป็นสิ่งเดียวที่อัลกอริธึมจะเข้าชม$G=(V,E)$$O(|V|+|E|)$$|V|\leq |E|+1$$|E|$$|E|+1$

ซึ่งหมายความว่าดังนั้นทำไมเราไม่พูดว่าเวลาทำงานเป็นเพียง ?$|V|+|E|\leq 2|E|+1$$O(|E|)$

_{นี้ขึ้นมาในความคิดเห็นในคำถามเกี่ยวกับเวลาทำงานของอัลกอริทึม Disjkstra ของ}

โดยทั่วไปแล้ว BFS จะอธิบายบางอย่างดังนี้ (จากWikipedia )

 1  procedure BFS(G,start_v):
 2      let Q be a queue
 3      label start_v as discovered
 4      Q.enqueue(start_v)
 5      while Q is not empty
 6          v = Q.dequeue()
 7          if v is the goal:
 8              return v
 9          for all edges from v to w in G.adjacentEdges(v) do
10             if w is not labeled as discovered:
11                 label w as discovered
12                 w.parent = v
13                 Q.enqueue(w)

ปัญหานี้ค่อนข้างบอบบาง: ซ่อนอยู่ในบรรทัดที่ 3! คำถามคือเราจะใช้โครงสร้างข้อมูลใดในการจัดเก็บจุดยอดที่ถูกค้นพบ?

ทางออกที่ง่ายที่สุดคือการใช้อาร์เรย์บูลีนกับหนึ่งรายการต่อยอด ในกรณีนี้เราจะต้องเริ่มต้นองค์ประกอบของอาร์เรย์ทุกfalseนี้และต้องใช้เวลา|) สิ่งนี้ใช้กับกราฟทุกอันแม้ว่าจะไม่มีขอบเลยดังนั้นเราจึงไม่สามารถสรุปความสัมพันธ์ระหว่างและ และเราได้รับเป็นเวลาการทำงานของ|)$\Theta(|V|)$$|V|$$|E|$$O(|V|+|E|)$

เราสามารถหลีกเลี่ยงโครงสร้างข้อมูลด้วยเวลาเริ่มต้นหรือไม่? ความพยายามครั้งแรกของเราอาจจะใช้รายการเชื่อมโยง อย่างไรก็ตามตอนนี้ทดสอบว่ามีการค้นพบจุดสุดยอด (บรรทัดที่ 10) ต้องใช้เวลาเป็นเส้นตรงในจำนวนจุดยอดเยี่ยมแทนที่จะเป็นเวลาคงที่เหมือนเมื่อก่อน ซึ่งหมายความว่าเวลาทำงานกลายเป็นซึ่งเลวร้ายยิ่งกว่าในกรณีที่เลวร้ายที่สุด (โปรดทราบว่าเราไม่ต้องการเขียนซ้ำว่าเป็นเนื่องจากมันแย่ยิ่งกว่า: มันอาจจะแย่กว่าในขณะที่ )$\Theta(|V|)$$O(|V|\,|E|)$$O(|E|^2)$$|V|^4$$|V|\,|E|\leq |V|^3$

การใช้อาร์เรย์ที่ปรับขนาดแบบไดนามิกจะช่วยให้เราสามารถเรียงลำดับรายการดังนั้นตอนนี้การค้นหาจะใช้เวลาเพียงแต่ยังคงให้เวลาในการรันเพียงซึ่งยังคงแย่กว่ามาตรฐาน$O(\log|V|)$$O(|E|\log|V|)$

ในที่สุดเราสามารถใช้ตารางแฮชแบบไดนามิกขนาด: เริ่มต้นด้วยตารางขนาดคงที่ และเพิ่มเป็นสองเท่าทุกครั้งที่ได้รับครึ่งเต็ม นี่หมายความว่าขนาดสุดท้ายของตารางเป็นสองเท่าของจำนวนจุดยอดที่ถูกค้นพบก่อนที่อัลกอริทึมจะสิ้นสุดและนี่คือมากที่สุดเพราะเราไม่เคยค้นพบอะไรเลยนอกส่วนประกอบของจุดเริ่มต้น นอกจากนี้จำนวนงานทั้งหมดที่ทำเสร็จแล้วการคัดลอกตารางแฮชที่จะขยายมากที่สุดคือ. การค้นหาและการแทรกลงในตารางแฮชจะถูกตัดจำหน่ายดังนั้นเราจึงได้เวลาแน่นอน$c$$|E|+1$$c + 2c + 4c + \dots + 2|E|\leq 4|E|$ $O(1)$$O(|E|)$

ดังนั้นจึงเป็นไปได้ แต่ต้องการทำเช่นนั้นในการดำเนินการจริงหรือไม่? ฉันจะบอกว่าอาจจะไม่ หากคุณไม่มีเหตุผลที่จะเชื่อว่ากราฟอินพุตของคุณจะมีส่วนประกอบขนาดเล็กจำนวนมากค่าใช้จ่ายในการบำรุงรักษาตารางแฮชจะเพิ่มปัจจัยคงที่ที่เห็นได้ชัดเจนในเวลาทำงาน การเพิ่มตารางแฮชอาจใช้เวลาและการค้นหาจะทำให้คุณต้องคำนวณฟังก์ชันแฮชและโดยเฉลี่ยแล้วให้ดูที่ช่องมากกว่าหนึ่งช่องในตาราง ประสิทธิภาพการทำงานแคชที่ไม่ดีของตารางแฮชอาจทำให้คุณเสียหายบนคอมพิวเตอร์จริง ในกรณีส่วนใหญ่ที่มีการใช้อาร์เรย์มาตรฐานส่วนเป็นคำที่โดดเด่นของ$O(|E|)$$4|E|$$O(|E|)$$O(|V|+|E|)$ เวลาทำงานดังนั้นจึงไม่คุ้มค่าที่จะใช้ตารางแฮชเพื่อลบคำศัพท์ที่ได้รับเนื่องจากค่าใช้จ่ายจริงในการทำเช่นนี้