วิธีการแสดงว่า L = L (G)

ระบุภาษาอย่างเป็นทางการโดยให้ไวยากรณ์อย่างเป็นทางการเป็นงานบ่อย: เราต้องไวยากรณ์ไม่เพียง แต่จะอธิบายภาษา แต่ยังจะแยกพวกเขาหรือแม้กระทั่งการทำวิทยาศาสตร์ที่เหมาะสม ในทุกกรณีเป็นสิ่งสำคัญที่ไวยากรณ์ในมือนั้นถูกต้องซึ่งจะสร้างคำที่ต้องการทั้งหมด

บ่อยครั้งที่เราสามารถโต้แย้งในระดับสูงว่าทำไมไวยากรณ์เป็นตัวแทนที่เพียงพอของภาษาที่ต้องการโดยไม่ต้องมีการพิสูจน์อย่างเป็นทางการ แต่ถ้าเรามีข้อสงสัยหรือต้องการหลักฐานอย่างเป็นทางการด้วยเหตุผลบางอย่าง เราใช้เทคนิคอะไรได้บ้าง?

^{นี้ควรจะกลายเป็นคำถามที่อ้างอิง ดังนั้นโปรดระมัดระวังในการให้คำตอบทั่วไปนำเสนอคำตอบที่แสดงตัวอย่างอย่างน้อยหนึ่งตัวอย่าง แต่อย่างไรก็ตามยังครอบคลุมหลาย ๆ สถานการณ์ ขอบคุณ!}

Grammars เป็นวัตถุที่วนซ้ำโดยเนื้อแท้ดังนั้นคำตอบดูเหมือนชัดเจน: โดยการเหนี่ยวนำ ที่กล่าวว่าเฉพาะมักจะเป็นเรื่องยากที่จะได้รับสิทธิ ในภาคต่อฉันจะอธิบายถึงเทคนิคที่อนุญาตให้ลดการพิสูจน์ความถูกต้องตามหลักไวยากรณ์ไปยังขั้นตอนทางกลได้หากมีการประมวลผลล่วงหน้าที่สร้างสรรค์ $\newcommand{\lang}[1]{\mathcal{L}(#1)} \newcommand{\sent}[1]{\vartheta(#1)} \newcommand{\derive}{\mathbin{\Rightarrow}} \newcommand{\derivestar}{\mathbin{\Rightarrow^*}} \newcommand{\nats}{\mathbb{N}}$

แนวคิดพื้นฐานคือการไม่ จำกัด ตัวเองเป็นคำไวยากรณ์และภาษา มันยากที่จะเข้าใจโครงสร้างของไวยากรณ์ในลักษณะนี้ แต่เราจะโต้แย้งเกี่ยวกับชุดของประโยคที่ไวยากรณ์สามารถสร้างได้ นอกจากนี้เราจะแบ่งเป้าหมายที่พิสูจน์แล้วว่าน่ากลัวเป็นเป้าหมายขนาดเล็กจำนวนมากที่สามารถทำได้ง่ายกว่า

ให้ไวยากรณ์อย่างเป็นทางการกับอาคารผู้โดยสารไม่ , ขั้วกฎและเริ่มต้นสัญลักษณ์N เราใช้แสดงโดยชุดของประโยคที่ว่าจะได้รับจากได้รับที่เป็น\ ภาษาที่สร้างขึ้นโดยเป็น * สมมติว่าเราต้องการแสดงให้เห็นว่าสำหรับบางตัว$G=(N,T,\delta,S)$$N$$T$$\delta$$S \in N$$\sent{G}$$S$$\delta$$\alpha \in \sent{G} \iff S \derivestar \alpha$$G$$\lang{G} = \sent{G} \cap T^*$$L = \lang{G}$$L \subseteq T^*$

สถานที่จัดงาน

นี่คือวิธีที่เราจะไปเกี่ยวกับที่ เรากำหนดเพื่อให้$M_1, \dots, M_k \subseteq (N \cup T)^*$

1. $\displaystyle \sent{G} = \bigcup_{i=1}^k M_i$และ
2. $\displaystyle T^* \cap \bigcup_{i=1}^k M_i = L$L

ในขณะที่ 2. มักจะชัดเจนโดยคำจำกัดความของ , 1. ต้องมีงานที่จริงจัง ทั้งสองรายการเข้าด้วยกันอย่างชัดเจนบ่งบอกตามที่ต้องการL ( G ) = $M_i$$\lang{G} = L$

เพื่อความสะดวกในสัญกรณ์ขอแสดงว่าM_i$M = \bigcup_{i=1}^k M_i$

ถนนหิน

มีสองขั้นตอนหลักในการดำเนินการพิสูจน์ดังกล่าว

• จะหา (ดี)อย่างไร $M_i$
  กลยุทธ์หนึ่งคือการตรวจสอบขั้นตอนการทำงานของไวยากรณ์ผ่าน ไม่ใช่ทุกความคิดที่สอดคล้องกับแนวคิดนี้; โดยทั่วไปนี่เป็นขั้นตอนที่สร้างสรรค์ ช่วยถ้าเราสามารถกำหนดไวยากรณ์ของเราเอง; ด้วยประสบการณ์บางอย่างเราจะสามารถกำหนดแกรมม่าได้ง่ายขึ้นด้วยวิธีการนี้

• วิธีการพิสูจน์ 1. ?
  เช่นเดียวกับความเท่าเทียมกันที่กำหนดไว้มีสองทิศทาง

  • $\sent{G} \subseteq M$ : (โครงสร้าง) เหนี่ยวนำกว่าโปรดักชั่นของG$G$
  • $M \subseteq \sent{G}$ : โดยปกติหนึ่งเหนี่ยวนำโดยเริ่มต้นจากที่หนึ่งที่มีS$M_i$$S$

นี่เป็นสิ่งเฉพาะเจาะจงตามที่ได้รับ รายละเอียดขึ้นอยู่กับไวยากรณ์และภาษาในมือ

ตัวอย่าง

พิจารณาภาษา

$\qquad \displaystyle L = \{ a^n b^n c^m \mid n,m \in \nats \}$

และไวยากรณ์ด้วยกำหนดโดย$G = (\{S,A\}, \{a,b,c\}, \delta, S)$$\delta$

$\qquad \begin{align} S &\to Sc \mid A \\ A &\to aAb \mid \varepsilon \end{align}$

ที่เราต้องการที่จะแสดงให้เห็นว่า{G} ขั้นตอนของไวยากรณ์นี้ทำงานอย่างไร ดีแรกมันสร้างแล้ว nนี้ทันทีแจ้งทางเลือกของเราคือc m a n b n M $L = \lang{G}$$c^m$$a^n b^n$$M_i$

$\qquad \begin{align} M_0 &= \{Sc^m \mid m \in \nats \} \;, \\ M_1 &= \{ a^n A b^n c^m \mid m,n \in \nats \} \;, \\ M_2 &= \{ a^n b^n c^m \mid m,n \in \nats \} \;. \\ \end{align}$

เนื่องจากและรายการที่ 2 ได้รับการดูแลแล้ว ต่อ 1. เราแบ่งหลักฐานออกเป็นสองส่วนตามที่ประกาศM 0 ∩ T ∗ = M 1 ∩ T ∗ = $M_2 = L$$M_0 \cap T^* = M_1 \cap T^* = \emptyset$

$\mathbf{\sent{G} \subseteq M}$

เราดำเนินการเหนี่ยวนำโครงสร้างตามกฎของG$G$

IA:เนื่องจากเรายึดได้สำเร็จ$S = Sc^0 \in M_0$

IH:สมมติว่ามีประโยคบางชุดที่เรารู้จักด้วยX ⊆ $X \subseteq \sent{G}$$X \subseteq M$

IS:ให้โดยพลการ เราต้องแสดงให้เห็นว่ารูปแบบใดก็ตามมีและสิ่งที่ถูกนำไปใช้กฎต่อไปเราจะไม่ปล่อยให้Mเราทำสิ่งนี้โดยแยกความแตกต่างของกรณีอย่างสมบูรณ์ จากสมมติฐานการเข้าเป็นสมาชิกเรารู้ว่ากรณีใดกรณีหนึ่งต่อไปนี้มีผล:α $\alpha \in X \subseteq \sent{G} \cap M$$\alpha$$M$

• w = S c m m ∈ N$w \in M_0$นั่นคือสำหรับบาง\ สามารถนำกฎสองข้อมาใช้ซึ่งทั้งคู่ได้รับประโยคใน : $w = Sc^m$$m \in \nats$
  $M$
  • $Sc^m \derive Sc^{m+1} \in M_0$และ
  • $Sc^m \derive Ac^m = a^0Ab^0c^m \in M_1$M_1
• w = a n A b n c m m , n ∈ $w \in M_1$ , คือสำหรับบาง : $w = a^nAb^nc^m$$m,n \in \nats$
  • $w \derive a^{n+1}Ab^{n+1}c^m \in M_1$และ
  • $w \derive a^nb^nc^m \in M_2$M_2
• $w \in M_3$ : เนื่องจาก , ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้อีก$w \in T^*$

เนื่องจากเราครอบคลุมทุกกรณีเรียบร้อยแล้วการเหนี่ยวนำจึงเสร็จสมบูรณ์

$\mathbf{\sent{G} \supseteq M}$

เราดำเนินการอย่างใดอย่างหนึ่ง (แบบง่าย) หลักฐานต่อM_iหมายเหตุวิธีการที่เราห่วงโซ่การพิสูจน์ว่า "ภายหลัง"สามารถยึดโดยใช้ "ก่อนหน้านี้" M_i$M_i$$M_i$$M_i$

• $M_1$ : เราทำการเหนี่ยวนำมากกว่ายึดในและใช้ในขั้นตอน$m$$Sc^0 = S$$S \to Sc$
• $M_2$ : เราแก้ไขเป็นค่าโดยพลการและเหนี่ยวนำให้เกิดมากกว่าnเรายึดเหนี่ยวในโดยใช้โดยหลักฐานก่อนหน้านี้ ดำเนินขั้นตอนผ่านAAB$m$$n$$Ac^m$$S \derivestar Sc^m \derive Ac^m$$A \to aAb$
• $M_3$ : สำหรับพลเราใช้หลักฐานอดีตเมตร$m,n \in \nats$$S \derivestar a^nAb^nc^m \derive a^nb^nc^m$

นี่เป็นการสรุปทิศทางที่สองของการพิสูจน์ข้อ 1 แล้วเราก็ทำเสร็จแล้ว

เราจะเห็นว่าเราใช้ประโยชน์อย่างหนักว่าไวยากรณ์เป็นเชิงเส้น สำหรับไวยากรณ์ที่ไม่เป็นเชิงเส้นเราต้องการมีพารามิเตอร์ตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัว (ในการพิสูจน์) ซึ่งสามารถกลายเป็นสิ่งที่น่าเกลียด หากเราสามารถควบคุมไวยากรณ์สิ่งนี้สอนให้เราเรียบง่าย ถือว่าเป็นตัวอย่างของไวยากรณ์นี้ที่เทียบเท่ากับ :$M_i$$G$

$\qquad \begin{align} S &\to aAbC \mid \varepsilon \\ A &\to aAb \mid \varepsilon \\ C &\to cC \mid \varepsilon \end{align}$

การออกกำลังกาย

ให้ไวยากรณ์สำหรับ

$\qquad L = \{ b^k a^l (bc)^m a^n b^o \mid k,l,m,n,o \in \nats, k \neq o, 2l = n, m \geq 2 \}$

และพิสูจน์ความถูกต้องของมัน

หากคุณมีปัญหาไวยากรณ์:

พิจารณาด้วยโปรดักชั่น$G = (\{S,B_r,B_l,A,C\}, \{a,b,c\}, \delta, S)$

$\quad \begin{align} S &\to bSb \mid B_l \mid B_r \\ B_l &\to bB_l \mid bA \\ B_r &\to B_r b \mid Ab \\ A &\to aAaa \mid C \\ C &\to bcC \mid bcbc \end{align}$

และ :$M_i$

$\quad\begin{align} M_0 &= \{ b^i S b^i \mid i \in \nats \} \\ M_1 &= \{ b^i B_l b^o \mid o \in \nats, i \geq o \} \\ M_2 &= \{ b^k B_r b^i \mid k \in \nats, i \geq k \} \\ M_3 &= \{ b^k a^i A a^{2i} b^o \mid k,o,i \in \nats, k \neq o \} \\ M_4 &= \{ b^k a^l (bc)^i C a^{2l} b^o \mid k,o,l,i \in \nats, k \neq o \} \\ M_5 &= L \end{align}$

สิ่งที่เกี่ยวกับไวยากรณ์ที่ไม่ใช่เชิงเส้น?

คุณลักษณะการกำหนดลักษณะของคลาสของภาษาที่ไม่มีบริบทคือภาษาDyck : โดยพื้นฐานแล้วภาษาที่ปราศจากบริบททั้งหมดสามารถแสดงเป็นจุดตัดของภาษา Dyck และภาษาปกติ น่าเสียดายที่ภาษา Dyck ไม่เชิงเส้นนั่นคือเราไม่สามารถให้ไวยากรณ์ที่เหมาะกับวิธีนี้โดยเนื้อแท้

แน่นอนว่าเรายังคงสามารถกำหนดและทำการพิสูจน์ได้ แต่มันก็ยากที่จะเหนี่ยวนำซ้อนกันมากขึ้น มีวิธีทั่วไปหนึ่งอย่างที่ฉันรู้ว่าสามารถช่วยได้บ้าง เราเปลี่ยน ansatz เพื่อแสดงว่าเราสร้างคำที่ต้องการอย่างน้อยที่สุดและสร้างจำนวนคำที่เหมาะสม (ต่อความยาว) อย่างเป็นทางการเราแสดงให้เห็นว่า$M_i$

1. $\displaystyle \sent{G} \supseteq L$และ
2. $\displaystyle |\lang{G} \cap T^n| = |L \cap T^n|$สำหรับทั้งหมด$n \in \nats$

ด้วยวิธีนี้เราสามารถ จำกัด ตัวเองให้อยู่ในทิศทาง "ง่าย" จาก ansatz ดั้งเดิมและใช้ประโยชน์จากโครงสร้างในภาษาโดยไม่สนใจคุณสมบัติที่ซับซ้อนที่ไวยากรณ์อาจมี แน่นอนไม่มีอาหารกลางวันฟรี: เราได้รับงานใหม่ทั้งหมดของการนับคำสร้างสำหรับแต่ละ\ โชคดีสำหรับเรานี่เป็นคำหยั่งรู้ได้ ดูรายละเอียดที่นี่และที่นี่ ¹ คุณสามารถค้นหาตัวอย่างบางส่วนในวิทยานิพนธ์ปริญญาตรีของฉัน$G$ $n \in \nats$

สำหรับแกรมม่าที่คลุมเครือและไม่ใช้บริบทฉันกลัวว่าเราจะกลับมาอีกครั้งหนึ่งและคิดแคป

---

1. เมื่อใช้วิธีการเฉพาะนั้นในการนับเราจะได้รับโบนัสว่าไวยากรณ์นั้นไม่คลุมเครือ ในทางกลับกันนี่ก็หมายความว่าเทคนิคจะต้องล้มเหลวสำหรับไวยากรณ์ที่กำกวมเนื่องจากเราไม่สามารถพิสูจน์ได้ 2