การแปลงฝาปิดโดยพลการให้เป็นฝาครอบจุดสุดยอด

ป.ร. ให้ไว้เป็นภาพถ่ายกราฟและปล่อยแสดงฝังในเครื่องบินเซนต์ขอบแต่ละมีความยาว1นอกจากนี้ฉันมีชุดของจุดที่แต่ละจุดที่มีอยู่ใน{G} นอกจากนี้ยังถือสำหรับจุดใด ๆในว่ามีอยู่กับระยะทางที่จะเนื้อที่ที่หนึ่งมากที่สุด (ระยะทางวัดเป็นระยะทางที่สั้นที่สุดภายใน ) $G=(V,E)$ $\mathcal{G}$ $1$ $C$ $c \in C$ $\mathcal{G}$ $p$ $\mathcal{G}$ $c \in C$ $p$ $\mathcal{G}$

ฉันต้องการโต้แย้งว่าเนื่องจากที่มีเงื่อนไขข้างต้นเก็บไว้ฉันสามารถแปลงให้เป็นจุดสุดยอดหรือทำให้แตกต่างแปลงเป็นของ cardinality เดียวกันกับ $C$ $C'$ $c \in C'$ ถูกวางใน ที่ จุดสุดยอดของและยังคงครอบคลุมG $\mathcal{G}$ $G$ $C'$ $G$

แนวทางของฉันคือปรับขอบและเลื่อนจุดในที่จุดสุดยอดของส่วนโค้ง แต่จนถึงขณะนี้ผมไม่ได้หาทิศทางที่ถูกต้องที่ทำให้จากC $C$ $C'$ $C$

มีใครมีความคิดบ้างไหม?

algorithms graph-theory set-cover

— user695652
แหล่งที่มา

ฉันไม่เข้าใจปัญหามากนัก "

" หมายถึงอะไร คุณวัดระยะทางได้อย่างไร? หากคุณหมายความว่า

อยู่เสมอขอบแล้วมันดูเหมือนว่าถ้าคุณวางมันไว้ที่ปลายทั้งสองแล้วทุกจุดที่มีระยะทางที่มากที่สุด

จากมัน - คือทั้งปลายทาง - ยังอยู่ในระยะทางที่มากที่สุด

จากมัน สำหรับการปฐมนิเทศอะไรก็ตาม

p

$p$

G

$\mathcal{G}$

p

$p$

1

$1$

1

$1$

— Yuval Filmus

@Yuval Filmus

เป็นโค้งจอร์แดนวาดภาพของ

คือส่วนหนึ่งของ

เพียงหมายความว่าจุดนั้นต้องอยู่ในรูปวาดไม่ใช่เฉพาะที่ใดก็ได้บนเครื่องบิน ระยะทางจะวัดเป็นระยะทางมาตรใน

คือเส้นทางที่สั้นที่สุดที่เชื่อมต่อสองจุดในภาพวาด สำหรับคำพูดสุดท้ายของคุณให้ใช้ 4 รอบและใส่สองจุดที่อยู่ตรงกลางของขอบที่หนึ่งและสาม ซึ่งครอบคลุมกราฟทั้งหมด แต่ถ้าคุณย้ายจุดหนึ่งไปที่จุดปลายตามเข็มนาฬิกาจุดหนึ่งและจุดหนึ่งที่จุดสิ้นสุดตามเข็มนาฬิกาจุดยอดของมันจะครอบคลุม

G

$\mathcal{G}$

G

$G$

\mathhbb R^{2}

$\mathhbb{R}^2$

p \in G

$p \in \mathcal{G}$

G

$\mathcal{G}$

— user695652

หากไม่มีคะแนนในอยู่ตรงกับจุดกึ่งกลางของขอบในแล้วก็พอเพียงที่จะเชื่อมโยงแต่ละจุดในเพื่อจุดสุดยอดที่ใกล้ที่สุดในGฉันจะปล่อยให้มันเป็นแบบฝึกหัดให้กับผู้อ่านเพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ (คำใบ้: พิสูจน์ด้วยความขัดแย้ง) $C$ $\mathcal{G}$ $C$ $\mathcal{G}$

ในทางกลับกันหากคะแนนในได้รับอนุญาตให้นอนที่จุดกึ่งกลางของขอบเราสามารถให้ตัวอย่างเคาน์เตอร์ได้: $C$

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

เส้นสีฟ้าและวงการเป็นและกากบาทสีแดงเป็นC $\mathcal{G}$ $C$

แก้ไขเพื่อเพิ่ม: ตัวอย่างที่มีกราฟเชื่อมต่อแบบ bicon

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

— mhum
แหล่งที่มา

ขอบคุณมากสำหรับตัวอย่างตัวอย่าง คุณเห็นด้วยหรือไม่ถ้าเรา จำกัด กราฟที่จะเชื่อมต่อแบบ bicon การอ้างสิทธิ์จะเป็นจริงแม้ว่าจุดทั้งหมดจะอยู่ตรงกลางหรือไม่?

— user695652

ฉันไม่คิดว่าการเชื่อมต่อแบบสองทางจะช่วยคุณได้ ฉันแก้ไขคำตอบของฉันด้วยตัวอย่างใหม่

— mhum

นี่เป็นคำถามที่แตกต่าง อาจเหมาะสมที่จะโพสต์แยกต่างหาก

— mhum

@mhum คุณสร้างรูปกราฟได้อย่างไร? มีบางโปรแกรมที่ใช่หรือไม่?

— Tacet

@Tacet ฉันจำไม่ได้ว่าฉันทำสิ่งเหล่านี้อย่างไร ฉันคิดว่าอันแรกอาจเป็น MS Paint หรือ GIMP ส่วนที่สองอาจเป็น GIMP หรือ Geogebra

— mumum