ปัญหาก้อนกรวด

Pebbling เป็นเกมเล่นไพ่คนเดียวที่เล่นบนกราฟไม่ได้บอกทิศทางซึ่งจุดสุดยอดแต่ละอันจะมีก้อนกรวดเป็นศูนย์หรือมากกว่า ย้าย pebbling เดียวประกอบด้วยการลบสองก้อนกรวดจากจุดสุดยอดและเพิ่มหนึ่งกรวดไปยังเพื่อนบ้านโดยพลการของโวลต์(เห็นได้ชัดว่าจุดยอด v ต้องมีก้อนกรวดอย่างน้อยสองก้อนก่อนที่จะเคลื่อนที่) ปัญหา PebbleDestruction ถามโดยให้กราฟและก้อนหินนับสำหรับจุดยอดแต่ละอันไม่ว่าจะมีลำดับหรือไม่ ของการเคลื่อนย้ายก้อนกรวดที่ลบออกทั้งหมดยกเว้นก้อนกรวดเดียว พิสูจน์ว่า PebbleDestruction นั้นสมบูรณ์แบบด้วย NP $G$ $v$ $v$ $G = ( V; E )$ $p ( v )$ $v$

ก่อนอื่นฉันแสดงให้เห็นว่ามันอยู่ใน NP เนื่องจากฉันสามารถตรวจสอบวิธีการแก้ปัญหาในเวลาพหุนามติดตามการนับพลอยจากเพียงหนึ่งกรวด

ถัดไปมีแนวคิดอะไรบ้างที่ปัญหาที่จะใช้เป็นพื้นฐานสำหรับการลดเวลาแบบพหุนาม

สิ่งที่ต้องการปกจุดสุดยอดทำงานหรือไม่ หรือจุดสุดยอดปกขนาดแตกต่างกันอย่างไร

ถ้าเป็นเช่นนั้นจะจัดการก้อนกรวดที่หลากหลายในแต่ละการเคลื่อนไหวได้อย่างไร?

ขอบคุณ.

จาก: http://courses.engr.illinois.edu/cs473/sp2011/hw/disc/disc_14.pdf

algorithms graph-theory np-complete

— TT
แหล่งที่มา

มันง่ายที่จะแสดงว่าปัญหาอยู่ใน NP หรือไม่? จำนวนของการเคลื่อนไหวไม่สามารถอธิบายได้กับขนาดอินพุตหรือไม่?

— Vinicius dos Santos

@ViniciusSantos จำนวนการเคลื่อนไหวต้องไม่ใหญ่กว่าจำนวนของก้อนกรวด (ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของอินพุตด้วย)

แต่เราสามารถสรุปได้ว่าจำนวนของก้อนกรวดเป็นเลขฐานสองใช่ไหม? ในกรณีนี้ขนาดของอินพุตเป็นลอการิทึมกับจำนวนของก้อนกรวด ฉันยังคิดว่ามีใบรับรองสั้น ๆ สำหรับปัญหา แต่เท่าที่ฉันเข้าใจรายการของการเคลื่อนไหวไม่ได้เป็นหนึ่งเดียว

— Vinicius dos Santos

@ViniciusdosSantos อาจเป็นเพราะคุณไม่ได้สังเกตว่ากราฟทั้งหมดเป็นอินพุตในจำนวน pebble สำหรับแต่ละจุดยอด (p (v)) ควรถูก จำกัด ด้วยขนาดของกราฟหรือไม่ตรวจสอบว่าลำดับการเคลื่อนที่เป็นอย่างไร ถูกต้องหรือไม่ต้องการชี้แจง และฉันคิดว่าถูกต้องหากคิดว่าจำนวนก้อนกรวดในแต่ละจุดสุดยอดคือสูงสุด

ฉันยอมรับว่าถ้าจำนวนของก้อนกรวดในแต่ละจุดสุดยอดนั้นถูก จำกัด ขนาดโดยพหุนามด้วยขนาดของกราฟมากกว่าที่เป็นเพียงเล็กน้อยใน NP แต่ฉันคิดว่าข้อสันนิษฐานนี้ไม่จำเป็นแม้ว่าจะไม่มีหลักฐานที่พิสูจน์ได้ยากขึ้น

— Vinicius dos Santos

สมมติว่าในกราฟมีกรวดหนึ่งอันในแต่ละจุดยอดยกเว้นหนึ่งจุดยอดด้วยจากนั้นปัญหาก้อนกรวดข้างบนมีวิธีแก้ปัญหาบนมีวงจร Hamiltonian มันง่ายที่จะตรวจสอบว่ามีวงจรมิลแล้วมีวิธีแก้ปัญหาสำหรับ pebbling บนGบนมืออื่น ๆ ในการแก้ปัญหาใด ๆ ในการ pebbling ที่เราควรจะเริ่มต้นจากจุดสุดยอดวีสมมติว่าเราไปที่จุดยอดบางสองครั้งเช่นนี้เป็นจุดสุดยอดแรกที่เข้าเยี่ยมชมสองครั้งในโดยอัลกอริทึม pebbling แล้วเรามีวงที่เริ่มจากและสิ้นสุดใน $G$ $v$ $p(v) = 2$ $G \space iff \space G$ $G$ $v$ $u$ $u$ $G$ $u$ $u$ และในที่สุดเพราะเป็นคนแรกในการสร้างลูปดังนั้นเราจึงมีดังนั้นเราจึงไม่สามารถดำเนินการอัลกอริทึมแบบกรวดต่อ อันที่จริงถ้าอัลกอริทึมมีทางออกแล้วเรามีซึ่งหมายความว่าเราพบวงจรมิลซึ่งจะเริ่มในโวลต์ $u$ $p(u) = 1$ $u=v$ $v$