ภาษาปกติระนาบ

32

ในชั้นเรียนของฉันนักเรียนคนหนึ่งถามว่าออโตมาต้าที่ จำกัด ทั้งหมดสามารถวาดได้โดยไม่ต้องข้ามขอบ (ดูตัวอย่างทั้งหมดของฉัน) แน่นอนคำตอบนั้นเป็นค่าลบหุ่นยนต์ที่ชัดเจนสำหรับภาษามีโครงสร้างของกราฟที่สมบูรณ์ในห้าโหนด . Yuval ได้แสดงโครงสร้างที่คล้ายกันสำหรับภาษาที่เกี่ยวข้อง $\{\; x\in\{a,b\}^* \mid \#_a(x)+2\#_b(x) \equiv 0 \mod 5 \;\}$ $K_5$

คำถามของฉันคือต่อไปนี้: ทำอย่างไรเราจะแสดงให้เห็นว่าทุกหุ่นยนต์สถานะ จำกัด สำหรับภาษานี้ไม่เป็นระนาบ? ด้วย Myhill-Nerode เช่นการจำแนกลักษณะมันอาจจะพิสูจน์ได้ว่าโครงสร้างของภาษานั้นปรากฏอยู่ในแผนภาพ แต่เราจะทำให้สิ่งนี้แม่นยำได้อย่างไร

และถ้าสามารถทำได้มีลักษณะของ "ภาษาปกติระนาบ" หรือไม่?

regular-languages finite-automata planar-graphs

— เฮนดริค ม.ค.
แหล่งที่มา

นอกจากนี้ปัญหาในการตัดสินใจว่าภาษา DFA นั้นสามารถรับรู้ได้โดยทั่วไปหรือไม่ Decidability ของมันเปิดอยู่และมีการเชื่อมโยงกับปัญหาเปิดในทฤษฎีกราฟ

— เดนิส

29

ไม่เป็นความจริงเลยที่ DFA ทุกภาษานี้ไม่ใช่แบบภาพถ่าย:

นี่เป็นภาษาที่ไม่ใช่ภาพถ่าย:

{x \in {σ_{1}, ..., σ_{6}}^{* * * *} | Σ_{ผม = 1}^{6} ผม #_{σ_{ผม}} (x) \equiv 0 (พอควร 7)} .

$\left\{ x \in \{\sigma_1,\ldots,\sigma_6\}^* \middle| \sum_{i=1}^6 i\#_{\sigma_i}(x) \equiv 0 \pmod 7 \right\}.$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

21

แนวคิดนี้ได้รับการวิจัยมาก่อน (เมื่อคุณรู้คำตอบแล้วละก็ google จะ ... )

สิ่งแรกคือมีงานเก่าโดย Book และ Chandra โดยมีบทคัดย่อดังต่อไปนี้

สรุป. มันแสดงให้เห็นว่าสำหรับทุกสถานะ จำกัด มีหุ่นยนต์ nondeterministic เทียบเท่ากับกราฟสถานะระนาบ อย่างไรก็ตามมีสถานะออโตมาต้าที่ จำกัด โดยไม่มีออโตเมติก จำกัด เทียบเท่ากับกราฟระนาบระนาบ

ตัวอย่างและการโต้แย้งที่ได้รับนั้นตรงตามคำตอบของเขาใน Yuval!

ยิ่งไปกว่านั้นพวกเขายังพิจารณาตัวอักษรไบนารี

มี 35- รัฐโดยธรรมชาติ nonplanar กำหนดขึ้นโดยอัตโนมัติมากกว่าตัวอักษร 2 ตัวคือ

งานนี้ยังคงดำเนินต่อไปค่อนข้างเร็ว ๆ นี้โดย Bonfante และ Deloup พวกเขาพิจารณางานแต่งงานทอพอโลยี ประเภทของกราฟอย่างไม่เป็นทางการคือจำนวนหลุมที่ต้องเพิ่มเพื่อฝังกราฟพื้นผิวโดยไม่ต้องข้ามขอบ กราฟที่มีสกุลศูนย์เป็นระนาบ จากนั้นประเภทของภาษาเป็นประเภทที่น้อยที่สุดของออโตมาตาสำหรับภาษา

ทฤษฎีบท 9 (ลำดับชั้นของสกุล) มีภาษาปกติของสกุลที่มีขนาดใหญ่โดยพลการ

ในส่วน "สถานะขั้นต่ำอัตโนมัติกับประเภทต่ำสุดอัตโนมัติ" พบผลลัพธ์การพิสูจน์ซึ่งเป็นตัวอย่างแรกที่ได้รับจาก Yuval (สิบรัฐเพื่อให้ห้าระนาบภาษา K5 ห้ารัฐ)

ข้อเสนอที่ 7 มีออโตมาตาแบบกำหนดแน่นอนที่มีสกุลต่ำกว่าประเภทของออโตเมติกน้อยที่สุดที่เกี่ยวข้อง

G.Bonfante, F.Deloup: ประเภทของภาษาปกติโครงสร้างคณิตศาสตร์วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์, 2018 ดอย10.1017 / S0960129516000037 นอกจากนี้ArXiv 1301.4981 (2013)

RV Book, AK Chandra, Nonplanar Automata, Acta informatica 6 (1976) ดอย10.1007 / BF00263745

— เฮนดริค ม.ค.
แหล่งที่มา