วิธีการวัด“ การเรียงลำดับ”

ฉันสงสัยว่ามีวิธีมาตรฐานในการวัด "sortness" ของอาร์เรย์หรือไม่? อาเรย์ที่มีจำนวนค่ามัธยฐานของค่าการรุกรานที่เป็นไปได้จะถือว่าไม่ได้เรียงลำดับสูงสุดหรือไม่ โดยที่ฉันหมายความว่ามันเป็นพื้นเท่าที่จะทำได้จากการเรียงลำดับหรือเรียงกลับกัน

ไม่ขึ้นอยู่กับใบสมัครของคุณ มาตรการของการเรียงลำดับมักถูกอ้างถึงว่าเป็นมาตรการของความยุ่งเหยิงซึ่งทำหน้าที่ตั้งแต่ถึงRโดยที่N < Nคือชุดของลำดับที่แน่นอนทั้งหมดของจำนวนเต็ม nonnegative ที่แตกต่างกันอย่างชัดเจน การสำรวจโดย Estivill-Castro and Wood [1] รายการและอภิปราย 11 มาตรการที่แตกต่างของความผิดปกติในบริบทของอัลกอริทึมการเรียงลำดับแบบปรับตัว$N^{<N}$$\mathbb{R}$$N^{<N}$

จำนวนผู้รุกรานอาจใช้งานได้ในบางกรณี แต่บางครั้งก็ไม่เพียงพอ ตัวอย่างที่ให้ไว้ใน [1] คือลำดับ

ที่มีจำนวน inversions เป็นกำลังสอง แต่ประกอบด้วยการวิ่งขึ้นไปสองครั้งเท่านั้น มันเกือบจะถูกจัดเรียงแล้ว แต่สิ่งนี้ไม่ถูกดักจับโดยผู้รุกราน

[1] Estivill-Castro, Vladmir และ Derick Wood "การสำรวจขั้นตอนวิธีการเรียงลำดับแบบปรับตัว" ACM Computing Surveys (CSUR) 24.4 (1992): 441-476

Mannila [1] axiomatizes presortedness (โดยมุ่งเน้นไปที่อัลกอริธึมที่ใช้การเปรียบเทียบ) ดังนี้ (การถอดความ)

ให้ชุดที่สั่งซื้อทั้งหมด จากนั้นทำแผนที่เมตรจากΣ ⋆ (ลำดับขององค์ประกอบที่แตกต่างจากΣ ) เพื่อธรรมชาติเป็นตัวชี้วัดของ presortednessถ้ามันตอบสนองด้านล่างเงื่อนไข$\Sigma$$m$$\Sigma^{\star}$$\Sigma$

1. ถ้าจะเรียงลำดับจากนั้นม. ( X ) = 0$X \in \Sigma^{\star}$$m(X) = 0$

2. ถ้ากับX = x 1 ... x n , Y = Y 1 ... Y n และx $X,Y \in \Sigma^{\star}$$X = x_1 \dots x_n$$Y = y_1 \dots y_n$สำหรับทั้งหมด i , j ∈ [ 1 .. n ] , จากนั้น m ( X ) = m ( Y $x_i < x_i \iff y_i < y_j$$i,j \in [1..n]$$m(X) = m(Y)$ )

3. ถ้าเป็น subsequence ของY ∈ Σ ⋆แล้วm ( X ) ≤ เมตร( Y )$X$$Y \in \Sigma^{\star}$$m(X) \leq m(Y)$

4. ถ้าสำหรับทุกคนที่ฉัน∈ [ 1 .. | | X | ]และj ∈ [ 1 .. | Y | ]สำหรับบาง X , Y ∈ Σ ⋆แล้วม. ( X ⋅ Y ) ≤ เมตร( X ) + M ( Y )$x_i < y_j$$i \in [1..|X|]$$j \in [1..|Y|]$$X,Y \in \Sigma^{\star}$$m(X \cdot Y) \leq m(X) + m(Y)$

5. สำหรับทุก X ∈ Σ ⋆และ ∈ E ∖ X$m(a \cdot X) \leq |X| + m(X)$$X \in \Sigma^{\star}$$a \in E \setminus X$

ตัวอย่างของมาตรการดังกล่าว ได้แก่

• จำนวนผู้รุกราน
• จำนวนการแลกเปลี่ยน
• จำนวนองค์ประกอบที่ไม่ใช่ค่าสูงสุดจากซ้ายไปขวา
• ความยาวของลำดับที่เพิ่มขึ้นที่ยาวที่สุด (ลบออกจากความยาวอินพุต)

โปรดทราบว่ามีการกำหนดการแจกแจงแบบสุ่มโดยใช้มาตรการเหล่านี้เช่นทำให้ลำดับที่เรียงมากขึ้นหรือน้อยลงมีโอกาสมากขึ้น สิ่งเหล่านี้เรียกว่าการแจกแจงแบบ Ewens [2, Ch. 4-5; 3 ตัวอย่าง 12; 4], กรณีพิเศษที่เรียกว่าการกระจายมัลโล น้ำหนักเป็นพารามิเตอร์ในค่าคงที่และปฏิบัติตาม$\theta > 0$

)$\qquad\displaystyle \operatorname{Pr}(X) = \frac{\theta^{\,m(X)}}{\sum_{Y \in \Sigma^{\star} \cap \Sigma^{|X|}} \theta^{\,m(Y)}}$

สังเกตวิธีที่กำหนดการแจกแจงแบบเดียวกัน (สำหรับmทั้งหมด)$\theta = 1$$m$

เนื่องจากมีความเป็นไปได้ที่จะสุ่มตัวอย่างวิธีการวัดค่าเหล่านี้ได้อย่างมีประสิทธิภาพร่างของงานนี้จึงมีประโยชน์ในทางปฏิบัติเมื่อขั้นตอนวิธีการเรียงลำดับการเปรียบเทียบ

1. การวัดความเป็นระเบียบและอัลกอริธึมการเรียงลำดับที่เหมาะสมโดย H. Mannila (1985)
2. โครงสร้าง combinatorial ลอการิทึม: แนวทางที่น่าจะเป็นโดย R. Arratia, AD Barbour และ S. Tavaré (2003)
3. ในการเพิ่มรายการของตัวเลข (และกระบวนการขึ้นอยู่กับปัจจัยอื่น)โดย A. Borodin, P. Diaconis และ J. Fulman (2010)
4. การกระจายแบบคล้าย Ewens และการวิเคราะห์อัลกอริทึมโดย N. Auger และคณะ (2016)

ฉันมีคำจำกัดความของตัวเองของ "เรียงลำดับ" ของลำดับ

กำหนดลำดับใด ๆ [a, b, c, …] เราเปรียบเทียบกับลำดับที่เรียงลำดับที่มีองค์ประกอบเดียวกันนับจำนวนการแข่งขันและหารด้วยจำนวนองค์ประกอบในลำดับ

ตัวอย่างเช่นลำดับที่กำหนด[5,1,2,3,4]เราดำเนินการดังนี้:

1) เรียงลำดับ: [1,2,3,4,5]

2) เปรียบเทียบลำดับที่เรียงลำดับกับต้นฉบับโดยการย้ายทีละตำแหน่งและนับจำนวนการแข่งขันสูงสุด:

        [5,1,2,3,4]
[1,2,3,4,5]                            one match

        [5,1,2,3,4]
  [1,2,3,4,5]                          no matches

        [5,1,2,3,4]
    [1,2,3,4,5]                        no matches

        [5,1,2,3,4]
      [1,2,3,4,5]                      no matches

        [5,1,2,3,4]
        [1,2,3,4,5]                    no matches

        [5,1,2,3,4]
          [1,2,3,4,5]                  4 matches

        [5,1,2,3,4]
            [1,2,3,4,5]                no matches

                ...

         [5,1,2,3,4]
                 [1,2,3,4,5]            no matches

3) จำนวนการจับคู่สูงสุดคือ 4 เราสามารถคำนวณ "sortness" เป็น 4/5 = 0.8

ความเรียงของลำดับที่เรียงจะเป็น 1 และความเรียงของลำดับที่มีองค์ประกอบที่อยู่ในลำดับที่กลับกันจะเป็น 1 / n

แนวคิดเบื้องหลังคำจำกัดความนี้คือการประมาณจำนวนงานที่น้อยที่สุดที่เราต้องทำเพื่อแปลงลำดับใด ๆ ให้เป็นลำดับที่เรียงลำดับ ในตัวอย่างด้านบนเราต้องการย้ายเพียงองค์ประกอบเดียว 5 รายการ (มีหลายวิธี แต่การย้าย 5 มีประสิทธิภาพมากที่สุด) เมื่อองค์ประกอบจะถูกวางในลำดับกลับกันเราจะต้องย้ายองค์ประกอบ 4 และเมื่อเรียงลำดับแล้วไม่จำเป็นต้องทำงาน

ฉันหวังว่าคำจำกัดความของฉันเหมาะสม

หากคุณต้องการบางสิ่งที่รวดเร็วและสกปรก (สัญญาณสรุปทำให้ตกใจฉัน) ฉันเขียนฟังก์ชันความผิดปกติแบบง่ายสุดใน C ++ สำหรับ Class ชื่อ Array ซึ่งสร้างอาร์เรย์ int ที่เต็มไปด้วยตัวเลขที่สร้างแบบสุ่ม:

void Array::disorder() {
    double disorderValue = 0;
    int counter = this->arraySize;
    for (int n = 0; n < this->arraySize; n++) {
        disorderValue += abs(((n + 1) - array[n]));
//      cout << "disorderValue variable test value = " << disorderValue << endl;
        counter++;
    }
    cout << "Disorder Value = " << (disorderValue / this->arraySize) / (this->arraySize / 2) << "\n" << endl;
}

ฟังก์ชันจะเปรียบเทียบค่าในแต่ละองค์ประกอบกับดัชนีขององค์ประกอบ + 1 เพื่อให้อาร์เรย์ในลำดับย้อนกลับมีค่าความยุ่งเหยิงเป็น 1 และอาร์เรย์ที่เรียงลำดับมีค่าความยุ่งเหยิงเป็น 0 ไม่ซับซ้อน แต่ทำงานอยู่

ไมเคิล