วงจรที่ยาวที่สุดมีสองรอบ

ปัญหาต่อไปนี้เป็น NP-complete หรือไม่ (ฉันคิดว่าใช่)

อินพุต: กราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางซึ่งชุดของขอบสามารถแบ่งออกเป็นสองวงจรแบบง่าย ๆ ซึ่งแบ่งเป็นสองส่วน (นี่ไม่ใช่ส่วนหนึ่งของอินพุต)$k \in \mathbb{N},G=(V,E)$

คำถาม:แบบง่าย ๆ ที่มีความยาวมากกว่าหรือไม่?$G$$k$

เห็นได้ชัดว่าปัญหาอยู่ใน NP และระดับสูงสุดในคือแต่ดูเหมือนจะไม่ช่วย$G$$\leq 4$

ความพยายามลดลง ....

ลดจากเส้นทาง Hamiltonian บน digraph มีองศาสูงสุด 3 ซึ่งคือ NPC [G&J]$G = (V,E)$

• ละเว้นทิศทางของขอบและใช้การสแกนความลึกครั้งแรก (ไม่ระบุทิศทาง) จากโหนดโดยพลการแบ่งขอบของในสองชุดของเส้นทางที่แตกต่างกัน (undirected) (แดงและเขียวในรูป);$G$
• เข้าร่วมเส้นทางสีแดงเพิ่มพิเศษ "เชื่อมโยงโหนด" (โหนดสีม่วงในรูป B) และทำให้วงจรสีแดงไม่ได้กำหนดทิศทาง; เข้าร่วมเส้นทางสีเขียวเพิ่ม "เชื่อมโยงโหนด" พิเศษ (โหนดสีม่วงในรูป) และสร้างวงจรสีเขียวที่ไม่ได้กำหนดทิศทาง
• แปลงแต่ละโหนดดั้งเดิมของ indegree 1 และ outdegree 2 (รูป C), เพิ่มโหนดสีเหลืองkบนขอบสีแดงขาเข้าa → b , และเพิ่มโหนดเหลืองkบนขอบสีแดงขาออกแรกb → c ; ในที่สุดก็เพิ่มโหนดสีเหลืองk "สู่" ขอบสีเขียวที่สองb → dโดยใช้เส้นทาง "พัน" รอบbที่สัมผัสกับโหนดสีเหลืองด้านนอกสุดของขอบสีแดง (รูป D)$b \in V$$k$$a\to b$$k$$b \to c$$k$$b \to d$$b$

ในกราฟที่เกิดขึ้นโหนดสีเหลืองทั้งหมดสามารถถูก traversed โดยเส้นทางแบบง่ายเฉพาะในสองวิธีที่แสดงในรูป E และรูป F ซึ่งสอดคล้องกับการสำรวจเส้นทางที่ถูกต้องสองจุดของโหนดดั้งเดิมb ∈ V ; อย่างไม่เป็นทางการถ้าขอบต่อพิเศษ "การเชื่อมโยง" โหนดสีม่วงจะใช้kต่อมน้ำเหลืองไม่สามารถเดินทางข้าม$3k$$b \in V$$k$

• แปลงแต่ละโหนดดั้งเดิมของ V ของ indegree 2 และ outdegree 1 ในวิธีที่คล้ายกัน

$k \gg |V|$$G'$$3k(|V|-1)$$G$$|V|-1$

สามารถดาวน์โหลดภาพขนาดใหญ่ได้ที่นี่

แรงบันดาลใจจากคำตอบของ Vor ฉันต้องการให้คำตอบที่เรียบง่ายกว่า

เริ่มต้นด้วยปัญหาวัฏจักรแฮมิลตันสำหรับปัญหากราฟกริดซึ่งได้รับการพิสูจน์อย่างหนักจาก Itai

จะเห็นได้อย่างง่ายดายว่าชุดขอบของกราฟกริดสามารถแบ่งพาร์ติชันออกเป็น 2 ชุดย่อยซึ่งแยกจากกัน: แนวนอนและแนวตั้ง

ดังนั้นตอนนี้เราจำเป็นต้องสานวงจรแนวนอนทั้งหมดเป็นวงจรเดียวอย่างง่ายและสานวงจรแนวตั้งทั้งหมดเป็นวงจรง่ายๆ

นี่เป็นงานที่ง่ายมาก: สำหรับคนในแนวตั้งกวาดจากซ้ายไปขวาสุดเพียงแค่เชื่อมต่อช่องว่างแนวตั้งใด ๆ จากนั้นเชื่อมต่อเส้นแนวตั้ง x ที่มีการประสานกันติดต่อกันจากนั้นเชื่อมต่อจุดสุดยอดซ้ายสุดต่ำสุด ทำเช่นเดียวกันสำหรับขอบแนวนอน

โปรดทราบว่ากราฟที่ได้รับนั้นยังคงเป็นข้อกำหนดที่ไม่ซับซ้อนไม่ตรงและตรงตามข้อกำหนด มันง่ายเพราะในขั้นตอนสุดท้ายของเฟสแนวตั้งและเฟสแนวนอนเราจัดการกับคู่ยอดที่แตกต่างกันสองคู่

$k$$k$$2k|V|$