ความถูกต้อง - พิสูจน์ความโลภ - อัลกอริธึมสำหรับจุดสุดยอดขั้นต่ำของต้นไม้

มีอัลกอริทึมโลภสำหรับการค้นหาจุดสุดยอดขั้นต่ำของต้นไม้ซึ่งใช้ DFS traversal

1. สำหรับแต่ละใบไม้ของต้นไม้ให้เลือกพาเรนต์ของมัน (เช่นพาเรนต์อยู่ในฝาครอบจุดต่ำสุด)
2. สำหรับแต่ละโหนดภายใน:
   หากไม่มีโหนดย่อยใด ๆ ให้เลือกโหนดนี้

ฉันจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่ากลยุทธ์โลภนี้ให้คำตอบที่ดีที่สุด? มีจุดยอดที่เล็กกว่าขนาดที่อัลกอริธึมข้างต้นสร้างขึ้นหรือไม่?

ครั้งแรกที่เราสังเกตดังต่อไปนี้: มีฝาครอบที่ดีที่สุดคือและไม่มีใบอยู่ในCนี่คือความจริงตั้งแต่ในฝาครอบที่ดีที่สุดคุณสามารถแทนที่ทุกใบในกับพ่อแม่ของพวกเขาและคุณจะได้รับฝาครอบจุดสุดยอดซึ่งไม่ได้มีขนาดใหญ่กว่าXC X X $C$$C$$X$$X$$X$

ตอนนี้ใช้ Cover ที่ดีที่สุดที่ไม่มีใบไม้ เนื่องจากไม่มีการลาเลือกผู้ปกครองทั้งหมดของใบจะต้องอยู่ในCในคำอื่น ๆเกิดขึ้นพร้อมกับใบปะหน้าโลภบนใบและพ่อแม่ของพวกเขา ต่อไปเรานำขอบทั้งหมดที่ได้รับการครอบคลุมแล้ว ตอนนี้เราสามารถใช้อาร์กิวเมนต์เดียวกันอีกครั้ง: ในต้นไม้ที่เหลือไม่จำเป็นต้องเลือกใบไม้ แต่ต้องเลือกผู้ปกครอง และนี่คือสิ่งที่อัลกอริทึมโลภต้องการ (จุดสุดยอดจะกลายเป็นใบไม้ถ้าเด็กทุกคนได้รับการคัดเลือกในขั้นตอนก่อนหน้า) เราทำซ้ำอาร์กิวเมนต์นี้เรากำหนดจุดยอดที่สมบูรณ์C $C$$C$$C$

คำแนะนำ: สร้างการจับคู่ที่มีขนาดเดียวกันกับปกจุดสุดยอดของคุณโดยจับคู่แต่ละจุดยอดในฝาครอบกับเด็กที่ไม่ได้เลือก พิสูจน์ว่าสำหรับการจับคู่ใดและจุดสุดยอดใด ๆ ปกCเอาเป็นว่าฝาครอบจุดยอดต่ำสุดและการจับคู่สูงสุดเอ็ม$|M| \leq |C|$$M$$C$