กำหนดหมายเลข

ได้ตัวเลขซึ่งมีการกำหนดหมายเลขซึ่งเป็นการเรียงสับเปลี่ยนของเช่นนั้น $k$ $A_1 \leq A_2 \leq ... \leq A_k$ $\sum\limits_{i=1}^k A_i = k(2k + 1)$ $i_1, i_2, ... , i_{2k}$ $1, 2, ... , 2k$

$i_1 + i_2 \leq A_1\\ i_3 + i_4 \leq A_2\\ .\\.\\.\\ i_{2k-1} + i_{2k} \leq A_k$

ฉันไม่พบอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพและสามารถแก้ไขปัญหานี้ได้ ดูเหมือนว่าจะเป็นปัญหาเกี่ยวกับ combinatorial ฉันไม่พบปัญหา NP-Complete ที่คล้ายกัน ปัญหานี้ดูเหมือนว่าปัญหา NP-Complete ที่รู้จักหรือสามารถแก้ไขได้ด้วยอัลกอริทึมพหุนาม

np-complete decision-problem

— Gprime
แหล่งที่มา

คุณมีความคืบหน้าเกี่ยวกับปัญหาหรือไม่?

— Yuval Filmus

ฉันลืมพูดถึงว่า

A_{1} \leq A_{2} \leq . . . \leq A_{k}

$A_1 \leq A_2 \leq ... \leq A_k$

— gprime

ปัญหาที่เกี่ยวข้องยังไม่มีคำตอบที่น่าพอใจ (มันอาจจะไม่ชัดเจนได้อย่างรวดเร็วก่อนว่าพวกเขากำลังที่เกี่ยวข้อง แต่ถ้าปัญหาคือเทียบเท่ากับการหาการเปลี่ยนแปลงของเพื่อให้Ä_i

K = 2 N

$K=2N$

1 \dots 2 N

$1 \ldots 2N$

i_{2 a - 1} - i_{2 a} = A_{i}

$i_{2a-1} - i_{2a} = A_i$

— Peter Shor

คำตอบ:

ปัญหานี้เป็นปัญหาที่สมบูรณ์มาก

สมมติว่าทั้งหมดเป็นเลขคี่ จากนั้นเราก็รู้ว่าเนื่องจากนั้นแปลกหนึ่งในและเป็นเลขคู่และอีกคู่นั้นแปลก เราสามารถสันนิษฐานได้ว่านั้นแปลกและเป็นเลขคู่ โดยให้ $A_j$ $i_{2j-1} + i_{2j} = A_j$ $i_{2j-1}$ $i_{2j}$ $i_{2j-1}$ $i_{2j}$ และ $\pi_j = \frac{1}{2}(i_{2j-1}+1)$ , เราสามารถแสดงให้เห็นว่านี่เทียบเท่ากับการขอเปลี่ยนลำดับสองครั้ง,และ, จากตัวเลขเช่นนั้น $\sigma_j = \frac{1}{2}(i_{2j})$ $\pi$ $\sigma$ $1 \ldots n$ ) $\pi_j + \sigma_j = \frac{1}{2}(A_j+1)$

ปัญหานี้เป็นที่รู้จักกันว่าเป็นปัญหาสมบูรณ์ เห็นปัญหา cstheory.se นี้และเอกสารของ W. Yu, H. Hoogeveen และ JK Lenstra นี้อ้างอิงในคำตอบ

— Peter Shor
แหล่งที่มา

นี่คือคำแนะนำให้คุณเริ่มต้น: ตั้งแต่ผลรวมของตัวเลขทั้งหมดจากไปเป็นสิ่ง , การแก้ปัญหาเป็นไปได้เฉพาะในกรณีที่ในความเป็นจริง , และอื่น ๆ ให้ดังนั้นเรารู้ว่าและอื่น ๆ นอกจากนี้ 1 $1$ $2k$ $k(2k+1)$ $i_1 + i_2 = A_1$ $i_3 + i_4 = A_2$ $i_1$ $i_2$ $3 \leq A_j \leq 4k-1$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

ดังนั้นฉันควรเลือก

เพื่อเริ่มต้นอย่างไร ฉันไม่เห็นทางออก แต่ขอบคุณสำหรับคุณสมบัติ

i_{1}

$i_1$

3 \leq A_{j} \leq 4 k - 1

$3 \leq A_j \leq 4k -1$

— gprime

ถ้า

ถูกเรียงเรารู้

และอื่น ๆ เกณฑ์เหล่านี้พร้อมกับ

เพียงพอหรือไม่ หากเป็นเช่นนั้นอาจมีอัลกอริทึมแบบง่ายสำหรับปัญหานี้

A_{i}

$A_i$

3 \leq A_{1}

$3 \leq A_1$

10 \leq A_{1} + A_{2}

$10 \leq A_1 + A_2$

21 \leq A_{1} + A_{2} + A_{3}

$21 \leq A_1 + A_2 + A_3$

\sum_{i} A_{i} = k (2 k + 1)

$\sum_i A_i = k(2k+1)$

— Peter Shor

ใช่พวกเขาถูกจัดเรียง ฉันจะพยายามใช้สิ่งนี้ ...

— gprime

@PeterShor คุณต้องพิจารณาข้อ จำกัด จากทิศทางตรงกันข้ามเช่น

และอื่น ๆ เมื่อมองไปที่ปัญหาก่อนหน้านี้ปรากฏว่าอัลกอริทึมโลภที่เรียบง่ายควรค้นหาวิธีแก้ปัญหาเมื่อมีอยู่และล้มเหลวอย่างแม่นยำเมื่อไม่มี - แต่ฉันมีปัญหาในการพิสูจน์

4 n - 1 \geq A_{n}, 8 n - 6 \geq A_{n - 1} + A_{n}

$4n-1 \geq A_n, 8n-6 \geq A_{n-1}+A_{n}$

— torquestomp

@torquestomp: คุณกำลังสร้างจุดที่ดี ในความเป็นจริงข้อ จำกัด จากทิศทางหนึ่งบ่งบอกถึงข้อ จำกัด จากอีกทิศทางหนึ่ง แต่นั่นไม่ชัดเจนเลยตั้งแต่แรกเห็น ฉันดูปัญหาที่คล้ายกันและไม่สามารถหาอัลกอริทึมแบบง่าย ๆ ได้ (แต่มันก็ดูเหมือนว่าฉันว่าเกณฑ์อะนาล็อกของเกณฑ์เหล่านี้เพียงพอแล้ว)

— Peter Shor

มันเป็นปัญหาการจับคู่และสามารถแก้ไขได้โดยใช้อัลกอริทึมของ Edmond ดูวิกิพีเดีย

— จะ
แหล่งที่มา

แนวคิด Stackexchange คือการมีคำถามและคำตอบที่สมบูรณ์ที่สุดเท่าที่จะทำได้ คุณจะสามารถขยายคำตอบของคุณให้เป็นมากกว่าลิงค์ไปสู่วิกิพีเดียได้หรือไม่?

— Luke Mathieson

คุณสามารถทำอย่างละเอียด? ฉันไม่สามารถดูว่าฉันสามารถใช้อัลกอริทึมนั้นเพื่อแก้ไขคำถามของฉันได้อย่างไร

— gprime

ที่จริงแล้วสำหรับฉันมันดูเหมือนเป็นกรณีพิเศษของการจับคู่ 3 ครั้งซึ่งเป็น NP-complete นี่ไม่ได้หมายความว่าปัญหา OPs นั้นเป็นปัญหาที่สมบูรณ์

— Peter Shor

มันอาจจะเป็นการจับคู่สองฝ่าย? ฉันจะดูการจับคู่ 3 แบบเพื่อดูว่าฉันสามารถหาคำตอบได้หรือไม่ ขอบคุณ!

— gprime