ภาษาที่ไม่สามารถตัดสินใจได้มีอยู่ในตรรกะเชิงคอนสตรัคติวิสต์หรือไม่?

24

คอนสตรัคติวิสต์ลอจิกเป็นระบบที่เอากฎของคนที่ได้รับการยกเว้นกลางเช่นเดียวกับการปฏิเสธคู่เช่นสัจพจน์ มีคำอธิบายเกี่ยวกับวิกิพีเดียที่นี่และที่นี่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งระบบไม่อนุญาตให้มีการพิสูจน์ด้วยความขัดแย้ง

ฉันสงสัยว่ามีใครบ้างที่คุ้นเคยกับสิ่งนี้ที่มีผลต่อผลลัพธ์เกี่ยวกับทัวริง Machines และภาษาทางการ ฉันสังเกตเห็นว่าเกือบทุกข้อพิสูจน์ว่าภาษานั้นไม่สามารถตัดสินใจได้โดยอาศัยการพิสูจน์จากความขัดแย้ง ทั้งอาร์กิวเมนต์ Diagonalization และแนวคิดของการลดทำงานด้วยวิธีนี้ จะมีหลักฐานที่ "สร้างสรรค์" ของการมีอยู่ของภาษาที่ไม่สามารถตัดสินใจได้หรือไม่และถ้าเป็นเช่นนั้นจะมีลักษณะอย่างไร

แก้ไข: เพื่อความชัดเจนความเข้าใจของฉันพิสูจน์โดยความขัดแย้งในตรรกะ constructivist ผิดและคำตอบได้ชี้แจงนี้

— jmite
แหล่งที่มา

5

ตรรกะ Intuitionistic ไม่อนุญาตให้พิสูจน์ได้ว่า "สมมติ

ได้รับความขัดแย้งดังนั้น

" คุณสามารถทำตามคำนิยามของ

เป็น

⊥

สิ่งที่คุณไม่สามารถทำคือ "สมมติ

สืบทอดมาความขัดแย้งจึง

."

ϕ

$\phi$

\neg ϕ

$\lnot\phi$

\neg ϕ

$\lnot\phi$

ϕ \to ⊥

$\phi\to\bot$

\neg ϕ

$\lnot\phi$

ϕ

$\phi$

— Miles Rout

2

การแก้ไขคำถามของคุณเกี่ยวกับ "แต่ยังอนุญาตให้มีการพิสูจน์ข้อความเชิงลบด้วยความขัดแย้ง" ทำให้คำตอบของฉันดูเหมือนว่าฉันแค่ทำซ้ำสิ่งที่ผู้ถามรู้อยู่แล้ว :(

— gelisam

3

แทนที่จะปรับเปลี่ยนคำถามที่ตอบแล้วเพื่อให้ถามคำถามที่ยากขึ้นเล็กน้อยวิธีการสร้าง (และตอบ) คำถามแยกต่างหาก

— gelisam

1

@gelisam ใช่ในฐานะผู้ถามฉันไม่สนับสนุนการแก้ไขแน่นอน ฉันจะแปลงกลับ

— jmite

18

ใช่. คุณไม่จำเป็นต้องใช้คนกลางที่ได้รับการยกเว้นเพื่อให้ได้มาซึ่งความขัดแย้ง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเส้นทแยงมุมยังคงใช้งานได้

นี่คือข้อโต้แย้งทั่วไปตามแนวทแยงมุมโดย Conor McBride เส้นทแยงมุมนี้เป็นเรื่องเกี่ยวกับความไม่สมบูรณ์ไม่ใช่ความเด็ดเดี่ยว แต่ความคิดก็เหมือนกัน จุดสำคัญที่ควรสังเกตคือความขัดแย้งที่เกิดขึ้นไม่ใช่รูปแบบ "P และไม่ใช่ P" แต่เป็นรูปแบบ "x = x + 1"

แน่นอนตอนนี้คุณอาจสงสัยว่าตรรกะเชิงสร้างสรรค์ยอมรับว่า "x = x + 1" เป็นความขัดแย้งหรือไม่ มันทำ คุณสมบัติหลักของความขัดแย้งคืออะไรก็ตามที่ตามมาจากความขัดแย้งและการใช้ "x = x + 1" ฉันสามารถพิสูจน์ได้อย่างสร้างสรรค์ "x = y" สำหรับตัวเลขธรรมชาติสองตัว

สิ่งหนึ่งที่อาจแตกต่างกันเกี่ยวกับการพิสูจน์เชิงสร้างสรรค์คือวิธีการที่นิยาม "undecidable" ในตรรกะคลาสสิกทุกภาษาจะต้องตัดสินใจได้หรือ undecidable; ดังนั้น "undecidable" ก็หมายถึง "ไม่สามารถตัดสินใจได้" อย่างไรก็ตามในตรรกะเชิงสร้างสรรค์นั้น "ไม่ใช่" ไม่ใช่การดำเนินการทางตรรกะแบบดั้งเดิมดังนั้นเราจึงไม่สามารถแสดงความลังเลได้ด้วยวิธีนี้ แต่เราพูดว่าภาษานั้นไม่สามารถตัดสินใจได้หากสมมติว่ามันเป็นสิ่งที่สามารถนำไปสู่ความขัดแย้งได้

ในความเป็นจริงแม้ว่า "ไม่" ไม่ใช่ดั้งเดิมในเชิงตรรกะเรามักจะนิยาม "ไม่ P" เป็นน้ำตาลเชิงซ้อนสำหรับ "P สามารถใช้เพื่อสร้างความขัดแย้ง" ดังนั้นการพิสูจน์ด้วยความขัดแย้งจึงเป็นวิธีเดียวที่จะ พิสูจน์คำแถลงของแบบฟอร์ม "ไม่ใช่ P" อย่างสร้างสรรค์เช่น "language L is undecidable"

— gelisam
แหล่งที่มา

ในความคิดของคำตอบของคุณจะไม่เห็นความแตกต่างอย่างชัดเจนระหว่างกฎหมายของการยกเว้นกลาง (

) และหลักการของ noncontradiction นี้ (

) หลังจะถือในตรรกะเชิงสร้างสรรค์ / intuitionistic

P \lor \neg P

$P \lor \lnot P$

\neg (P \land \neg P)

$\lnot(P \land \lnot P)$

— เส้นทาง Miles Rout

9

เมื่อพูดถึงความสามารถในการพิสูจน์ถ้อยคำคลาสสิคอย่างสร้างสรรค์บ่อยครั้งมันก็สำคัญที่เราจะกำหนดมัน สูตรที่เทียบเท่าแบบคลาสสิกไม่จำเป็นต้องมีความเท่าเทียมกันในเชิงสร้างสรรค์ นอกจากนี้ยังมีความสำคัญกับสิ่งที่คุณหมายถึงโดยการพิสูจน์เชิงสร้างสรรค์มีโรงเรียนคอนสตรัคติวิสต์หลายแห่ง

ตัวอย่างเช่นคำสั่งที่ระบุว่ามีฟังก์ชั่นรวมที่ไม่สามารถคำนวณได้จะไม่เป็นจริงในรสชาติเหล่านั้นของคณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์ที่สันนิษฐานวิทยานิพนธ์คริสตจักรทัวริง (เช่นทุกฟังก์ชั่นคือคำนวณ) เป็นความจริง

ในทางกลับกันถ้าคุณระวังคุณสามารถกำหนดให้มันสามารถพิสูจน์ได้: สำหรับการคำนวณที่คำนวณได้ของฟังก์ชันที่คำนวณได้ทั้งหมดนั้นจะมีฟังก์ชันคำนวณทั้งหมดซึ่งไม่ได้อยู่ในการแจงนับ

คุณอาจพบโพสต์นี้โดย Andrej Bauer ที่น่าสนใจ

ป.ล. : เราสามารถดูเส้นทแยงมุมจากมุมมองเชิงทฤษฎีหมวดหมู่ ดู

ฟรานซิสวิลเลียมลอว์เวอร์ " แนวโต้แย้งและคาร์ทีเซียนปิดหมวดหมู่ ", 2512

— Kaveh
แหล่งที่มา

4

ฉันคิดว่าหลักฐานการพิสูจน์ความผิดพลาดยังคงมีอยู่แสดงให้เห็นถึงการมีอยู่ของภาษาที่ไม่ได้เป็นภาษาที่คำนวณได้

ข้อพิสูจน์ในทันทีนั้นค่อนข้างตรงไปตรงมาเพียงแค่สังเกตว่าทัวริงแมชชีนนั้นถูกเข้ารหัสด้วยตัวอักษร จำกัด บางตัว (อาจเป็นเลขฐานสอง) ดังนั้นจึงมีจำนวนมากและชุดของภาษาทั้งหมดในตัวอักษรคงที่ (อาจเป็นเลขฐานสองอีกครั้ง ) เป็นชุดย่อยทั้งหมดของชุดสตริงเหนือตัวอักษรนั้น - เช่นชุดพลังของชุดนับได้และต้องนับไม่ได้ ดังนั้นจึงมีทัวริงเครื่องจักรน้อยกว่าภาษาจึงมีบางสิ่งที่ไม่สามารถคำนวณได้

ดูเหมือนว่าฉันจะมีความคิดสร้างสรรค์มากพอ (แม้ว่ามันจะเป็นไปไม่ได้ที่จะตามร่างกายมันก็มีวิธีที่จะชี้ไปที่ชุดภาษาบางภาษา

จากนั้นเราอาจถามว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะแสดงให้เห็นว่าฉากที่นับได้และนับไม่ได้นั้นมีความสำคัญเชิงหัวใจที่แตกต่างกัน ฉันคิดว่ามันยังเป็นไปได้ ข้อโต้แย้งดั้งเดิมของคันทอร์ก็ดูเหมือนจะสร้างสรรค์อย่างเหมาะสม

แน่นอนว่าต้องมีการตรวจสอบโดยผู้ที่รู้มากขึ้นเกี่ยวกับตรรกะเชิงคอนสตรัคติวิสต์

— ลุคมาติสัน
แหล่งที่มา

3

ฉันคิดว่าฉันเห็นด้วยกับคนอื่น ๆ ว่าการโต้เถียงในแนวทแยงนั้นเป็นสิ่งที่สร้างสรรค์แม้ว่าจากสิ่งที่ฉันสามารถบอกได้ว่ามีบางคนไม่เห็นด้วยกับเรื่องนี้ในบางวงการ

ฉันหมายความว่าสมมติว่าเรากำลังดูชุดของภาษาที่สามารถตัดสินใจได้ทั้งหมด ฉันสามารถสร้างภาษา undecidable โดยใช้เส้นทแยงมุม มันน่าสังเกตว่าฉันไม่คิดว่า "constructivism" และ "finitism" เป็นสิ่งเดียวกันเลยแม้ว่าในอดีตฉันคิดว่าสิ่งเหล่านี้เกี่ยวข้องกับส่วนโค้ง

ครั้งแรกฉันคิดว่าทุกคน - แม้กระทั่งคอนสตรัคติ - ยอมรับว่าชุดของภาษา decidable นับได้ เนื่องจากชุดของเครื่องจักรทัวริงนับได้ (เราสามารถเข้ารหัส TM ที่ถูกต้องทั้งหมดโดยใช้สตริง จำกัด ) ข้อตกลงนี้จึงตามมาค่อนข้างง่าย

$L_1, L_2, ..., L_k, ...$

$0^i$
$0^i \in L_i$ $0^i$
$0^i \notin L_i$ $0^i$

$n$ $L_1, L_2, ..., L_n$

ดังนั้นในทางเทคนิคเราได้สร้างภาษาที่ "ไม่สามารถตัดสินใจได้"; ไม่ว่านักคอนตรัคติวิสต์จะอ้างว่า "ไม่สามารถตัดสินใจได้" ไม่ควรสับสนกับ "การตัดสินใจไม่ได้" เป็นคำถามที่น่าสนใจ แต่เป็นคำถามที่ฉันไม่พร้อมที่จะตอบ

เพื่อชี้แจงสิ่งที่ฉันคิดว่าสิ่งนี้แสดงให้เห็นถึงสิ่งต่อไปนี้: เราสามารถพิสูจน์ได้อย่างสร้างสรรค์ว่ามีภาษาที่ไม่ได้ถูกตัดสินใจโดยเครื่องทัวริง วิธีที่คุณเลือกที่จะตีความว่าภายในกรอบเฉพาะคำถามที่ยากขึ้น

— Patrick87
แหล่งที่มา