การสั่งซื้อองค์ประกอบเพื่อให้องค์ประกอบบางอย่างไม่ได้อยู่ระหว่างคนอื่น

ได้รับจำนวนเต็ม $n$ และเซตของจำนวนเต็มสามเท่าของจำนวนเต็ม ค้นหาอัลกอริธึมที่พบการเปลี่ยนแปลงของเซตเช่นนั้น หรือกำหนดอย่างถูกต้องว่าไม่มีการเปลี่ยนแปลงดังกล่าว อย่างเป็นทางการน้อยเราต้องการเรียงลำดับหมายเลข 1 ถึงอีกครั้ง แต่ละสามในระบุว่าต้องปรากฏก่อนในลำดับใหม่ แต่ต้องไม่ปรากฏระหว่าง

S \subseteq {(i, j, k) ∣ 1 \leq i, j, k \leq n, i \neq j, j \neq k, i \neq k},

$S \subseteq \{(i, j, k) \mid 1\le i,j,k \le n, i \neq j, j \neq k, i \neq k\},$

π

$\pi$

{1, 2, \dots, n}

$\{1, 2, \dots, n\}$

(i, j, k) \in S ⟹ (π (j) < π (i) < π (k)) \lor (π (i) < π (k) < π (j))

$(i,j,k) \in S \implies (\pi(j)<\pi(i)<\pi(k)) ~\lor~ (\pi(i)<\pi(k)<\pi(j))$

n

$n$

(i, j, k)

$(i,j,k)$

S

$S$

i

$i$

k

$k$

j

$j$

i

$i$ และ

k

$k$ .

ตัวอย่างที่ 1

สมมติว่า $n=5$ และ $S = \{(1,2,3), (2,3,4)\}$ \} แล้วก็

$\pi = (5, 4, 3, 2, 1)$ คือไม่การเปลี่ยนแปลงที่ถูกต้องเพราะ $(1, 2, 3)\in S$ แต่ $\pi(1) > \pi(3)$ (3)
$\pi = (1, 2, 4, 5, 3)$ คือไม่การเปลี่ยนแปลงที่ถูกต้องเพราะ $(1, 2, 3) \in S$ แต่ $\pi(1) < \pi(3) < \pi(5)$ (5)
$(2, 4, 1, 3, 5)$ เป็นการเปลี่ยนแปลงที่ถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 2

หากและจะไม่มีการเปลี่ยนแปลงที่ถูกต้อง ในทำนองเดียวกันไม่มีการเปลี่ยนแปลงที่ถูกต้องหากและ ( ฉันคิดว่าอาจจะทำผิดพลาดที่นี่) $n=5$ $S = \{(1, 2, 3), (2, 1, 3)\}$ $n=5$ $S = \{(1,2,3), (3,4,5), (2,5,3), (2,1,4)\}$

โบนัส: คุณสมบัติอะไรของพิจารณาว่าเป็นไปได้หรือไม่ $S$

algorithms optimization scheduling

— Patrick87
แหล่งที่มา

ทำไมไม่ใช้ถ้อยคำสภาพที่สองเป็น ? จากนั้นคุณมีปัญหาความพึงพอใจข้อ จำกัด ตรงไปตรงมามากหรือน้อย (โปรดทราบว่าฉันได้ทำให้เงื่อนไขง่ายขึ้นตามสมมติฐานอื่น ๆ )

(σ_{m_{i}}, σ_{m_{j}}, σ_{m_{k}}) \in S ⟹ (i > j \lor j > k)

$(\sigma_{m_i},\sigma_{m_j},\sigma_{m_k})\in S\Longrightarrow (i>j \vee j>k)$

— Dave Clarke

BTW: แรงจูงใจสำหรับปัญหานี้คืออะไร?

— Dave Clarke

@DaveClarke ดูการแก้ไขของฉัน ปัญหานี้เกิดจากการอภิปรายโดยรอบปัญหาการจัดตารางเวลาฉันกำลังพูดคุยกับนักเรียนคนอื่น ๆ ในห้องแล็บ โดยพื้นฐานแล้วแนวคิดคือคุณมีงานจำนวนมากบางงานต้องดำเนินการตามลำดับที่แน่นอน อย่างไรก็ตามคุณไม่ต้องการให้บางงานถูกกำหนดเวลาระหว่างงานในลำดับอาจเป็นเพราะเหตุผลที่ลึกซึ้งมาก

— Patrick87

ทำไมต้อง sigmas เพียงแค่กำหนด

}

ตัวห้อยที่ซ้อนกันทำให้ลูกน้อยของพระเยซูร้องไห้

Σ = {1, 2, \dots, n}

$\Sigma = \{1,2,\dots,n\}$

— JeffE

@JeffE สุจริตฉันชอบข้อแก้ตัวที่จะเล่นกับสิ่งที่สมการ มีบางสิ่งบางอย่างเป็นเพียงไส้ความพึงพอใจเกี่ยวกับการเขียนโค้ดที่รวบรวมไปเล็ก ๆ เหล่านั้น

's อย่าเอามันไปจากฉัน

σ

$\sigma$

— Patrick87

คำตอบ:

นี่คืออัลกอริทึมไร้เดียงสา ในที่สุดมันก็ขึ้นอยู่กับแรงเดรัจฉาน แต่อาจทำงานได้ดีในบางครั้ง

แต่ละข้อ จำกัด ประกอบด้วยสอง conjuncts; ขอเรียกว่า TYPE-,และ TYPE- , )แต่ละ TYPE-จำกัด สามารถเขียนได้เท่าเป็นร้าวฉานอาศัยความจริงที่ว่า k $(\sigma_{m_i}, \sigma_{m_j}, \sigma_{m_k}) \in S \implies i < k \wedge \neg(i < j < k)$ $A$ $i < k$ $B$ $\neg(i < j < k)$ $B$ $i>j \vee j>k$ $i\neq j,j\neq k$

เก็บ TYPE- ทั้งหมดจำกัด เรียกสิ่งนี้Θตรวจสอบว่าสอดคล้องกันหรือไม่นั่นคือการทำให้เป็นเส้นตรงของการสั่งซื้อ สิ่งนี้ใช้เวลา - เวลาในจำนวนข้อ จำกัด โดยใช้การเรียงโทโพโลยี $A$ $\Theta$ $O(|S|)$
สำหรับแต่ละ disjuncts ใน TYPE- ข้อ จำกัด ตรวจสอบว่ามีความสอดคล้องกับการสั่งซื้อบางส่วนΘหากไม่สอดคล้องกันให้นำส่วนแยกออก หากการแยกทั้งสองไม่สอดคล้องกับแล้วล้มเหลว เมื่อใดก็ตามที่เพียงหนึ่ง TYPE- จำกัด จะถูกลบออกเพิ่มหนึ่งเหลือΘขั้นตอนนี้เป็น ) $B$ $\Theta$ $\Theta$ $B$ $\Theta$ $O(|S|^2)$
ตอนนี้มีอัลกอริทึมที่ชัดเจนสำหรับการค้นหาโซลูชันคือการพิจารณาชุดค่าผสมทั้งหมดของคู่ตัวแยกประเภทและทดสอบความสอดคล้องกับแต่สิ่งนี้อธิบายได้อย่างชัดเจนใน. หนึ่งฮิวริสติกในการปรับปรุงประสิทธิภาพคือการรักษาความแตกต่างระหว่างคู่ประเภทในขณะที่กิ่งก้านของต้นไม้ --- คู่หนึ่งสร้างรากมันคือลูกที่ได้รับจากคู่ที่สองลูกที่สามเป็นต้น เมื่อใช้โครงสร้างข้อมูลนี้จะพบวิธีแก้ปัญหาโดยการสำรวจต้นไม้ในลักษณะที่ลึกเป็นอันดับแรก ทุกครั้งที่มีการเพิ่มข้อ จำกัด ใหม่ (โดยใช้ป้ายกำกับบนสาขา) คุณสามารถตรวจสอบความสอดคล้องได้ สามารถตัดทรีย่อยที่ไม่สอดคล้องกันได้ $B$ $\Theta$ $|S|$
$B$
หากใบของต้นไม้ที่จะมาถึงแล้วเรามีชุดสอดคล้องของข้อ จำกัด ประกอบด้วยทั้งหมดของ TYPE- จำกัด และเป็นหนึ่งเนื่องของ TYPE- จำกัด ให้ผลลัพธ์เป็นเส้นตรงเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ตามที่ต้องการ $A$ $B$

วิธีการที่ฉันชอบจริง ๆ แล้วจะเข้ารหัสมันเป็นชุดของข้อ จำกัด และใช้ตัวแก้ข้อ จำกัด เช่น Choco ฉันจะแนะนำตัวแปรจำนวนเต็มตัวในช่วงและต้องการให้มันแตกต่างกันทั้งหมด จากนั้นฉันจะเข้ารหัสข้อ จำกัด แต่ละข้อด้านบนเป็นข้อ จำกัด โดยตรงแล้วให้ Choco ทำธุรกิจ $n$ $x_i$ $[0,n-1]$

— เดฟคลาร์ก
แหล่งที่มา

นี่คือคำตอบบางส่วน:

หากคุณลบข้อ จำกัดในแต่ละสามแล้วปัญหาของคุณจะกลายเป็นปัญหาที่เกิดขึ้นไม่ Betweeness ซึ่งเป็นที่สมบูรณ์และมีเป็นที่รู้จักกันกลไกที่มีประสิทธิภาพไม่มีปัญหาดังกล่าว แต่ด้วยข้อ จำกัด ของมันอาจบังคับให้โครงสร้างที่ดีบางอย่างซึ่งสามารถถูกใช้เพื่อค้นหาอัลกอริทึมเวลาพหุนามสำหรับปัญหาของคุณ $i \lt k$ $NP$ $i \lt k$

— Mohammad Al-Turkistany
แหล่งที่มา