การคำนวณแคลคูลัสแลมบ์ดาที่เกี่ยวข้องกับเลขคริสตจักร

ฉันเข้าใจว่าเลขคริสตจักร ดูเหมือน ( ... n ครั้ง ... ) Z นี่หมายความว่าไม่มีอะไรมากไปกว่า "ฟังก์ชั่นใช้คูณกับฟังก์ชัน " $c_n$ $\lambda s. \lambda z. s$ $s\;z$ $s$ $n$ $z$

นิยามที่เป็นไปได้ของมีดังต่อไปนี้:s) เมื่อมองไปที่ร่างกายฉันเข้าใจถึงตรรกะเบื้องหลังฟังก์ชั่น อย่างไรก็ตามเมื่อฉันเริ่มประเมินฉันติด ฉันจะอธิบายด้วยตัวอย่าง: $\mathtt{times}$ $\mathtt{times} = \lambda m. \lambda n. \lambda s. m \; (n\; s)$

\begin{aligned} (λ m . λ n . λ s . m (n s)) (λ s . λ z . s s z) (λ s . λ z . s s s z) \\ \to^{*} & λ s . (λ s . λ z . s s z) ((λ s . λ z . s s s z) s)) \\ \to^{*} & λ s . (λ s . λ z . s s z) (λ z . s s s z) \\ \to^{*} & λ s . λ z . (λ z . s s s z) (λ z . s s s z) z \end{aligned}

$\begin{align*} (\lambda m. \lambda n. \lambda s. m \; (n\; s))(\lambda s.\lambda z.s\;s\;z)(\lambda s.\lambda z.s\;s\;s\;z) \mspace{-4em} \\ \to^*& \lambda s. (\lambda s.\lambda z.s\;s\;z) \; ((\lambda s.\lambda z.s\;s\;s\;z)\; s)) \\ \to^*& \lambda s. (\lambda s.\lambda z.s\;s\;z) \; (\lambda z.s\;s\;s\;z) \\ \to^*& \lambda s. \lambda z.(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;z \end{align*}$

ตอนนี้ในสถานการณ์นี้ถ้าฉันใช้ครั้งแรกฉันจะได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ อย่างไรก็ตามถ้าฉันใช้ก่อนเป็นอย่างที่ฉันควรเพราะใบสมัครมีความสัมพันธ์จากด้านซ้ายฉันได้รับ ผลที่ผิด: $(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;z$ $(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;(\lambda z.s\;s\;s\;z)$

$\lambda s. \lambda z.(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;z \to \lambda s. \lambda z.(s\;s\;s\;(\lambda z.s\;s\;s\;z))\;\;z$

ฉันไม่สามารถลดสิ่งนี้ได้อีกต่อไป ผมทำอะไรผิดหรือเปล่า? ผลลัพธ์ควรเป็น $\lambda s. \lambda z.s\;s\;s\;s\;s\;s\;z$

lambda-calculus church-numerals

— Codd
แหล่งที่มา

ตัวเลขของศาสนจักรในคำเริ่มต้นของคุณไม่ถูกต้อง 2 แสดงโดยไม่ใช่ส

λ s . λ z . s (s z)

$\lambda s. \lambda z. s (s z)$

λ s . λ z . s s z

$\lambda s. \lambda z. s s z$

— Uday Reddy

ฉันคิดว่าการลดลงของคุณนั้นถูกต้องแล้ว ในตอนท้ายคุณไม่สามารถใช้ไปนี้ไม่เคยปรากฏในคำว่า เป็นไม่ )ฟังก์ชั่นในแลมบ์ดาแคลคูลัสใช้อาร์กิวเมนต์เดียว พวกเขาจะมีประสิทธิภาพแกงกะหรี่ $(\lambda z. s s s z)$ $z$ $\lambda z. f f z$ $\lambda z. (f f) z$ $\lambda z. f (f z)$ : ฟังก์ชั่นสองข้อโต้แย้งถูกนำมาใช้เป็นฟังก์ชั่นหนึ่งอาร์กิวเมนต์ที่ใช้เวลาอาร์กิวเมนต์แรกและส่งกลับฟังก์ชั่นหนึ่งอาร์กิวเมนต์ใหม่ที่ใช้เวลาอาร์กิวเมนต์ที่สองและส่งกลับผล

คุณทำผิดพลาดเหมือนกันเมื่อกำหนดตัวเลขในศาสนจักร เลขคริสตจักรสำหรับขึ้นอยู่กับการเขียนฟังก์ชันครั้ง “ฟังก์ชั่นการประยุกต์ใช้ครั้งเพื่อฟังก์ชั่น ” $n$ $n$ $s$ $n$ $z$ )สิ่งที่คุณเขียนคือฟังก์ชั่นใช้ครั้งกับฟังก์ชั่นและสุดท้ายกับซึ่งไม่ทำให้ฉันเป็นคำที่มีประโยชน์ $\lambda s. \lambda z. s (s ( … s \: z) … ))$ $s$ $n-1$ $s$ $z$

จึงเป็น $2 \times 3$ )ฉันจะให้คุณตรวจสอบว่ามันไม่ลด $(\lambda m n s. m (n s)) (\lambda s z. s (s \: z)) (\lambda s z. s (s (s \: z)))$ ) $\lambda s z. s (s (s (s (s (s \: z)))))$

— Gilles 'หยุดความชั่วร้าย'
แหล่งที่มา

เท่าที่ย่อหน้าของคุณไปคุณพูดถูกและฉันก็รู้เรื่องนี้ มันทำให้ฉันประหลาดใจที่การใช้การเชื่อมโยงอย่างถูกต้องทำให้ได้ผลลัพธ์ที่ถูกต้อง เท่าที่วรรคสองคุณพูดถูก การใช้วงเล็บปีกกาไม่มีความผิดพลาดของฉันอีกครั้งเนื่องจากการเชื่อมโยงด้านซ้ายของแอปพลิเคชัน ฉันจะลดสิ่งทั้งหมดอีกครั้งในตอนนี้และดูว่าการขาดเครื่องมือจัดฟันทำให้เกิดข้อผิดพลาดหรือไม่!

— codd

มันทำ. คุณสังเกตว่าสัญกรณ์ของฉันบอกเป็นนัยถึงลำดับที่ไม่ถูกต้องของแอปพลิเคชันแก้ไขปัญหา! ยอมรับคำตอบของคุณ

— codd