ตัวอย่างของข้อเสนอที่ผิดพลาดเมื่อสมมติว่า Type: Type

ในทฤษฎีประเภทถ้าอนุญาตให้ประเภทเป็นสมาชิกของตัวเองมันทำให้ทฤษฎีไม่สอดคล้องกัน ฉันเข้าใจโดยการเปรียบเทียบความขัดแย้งของ Russel ใน Set Theory แต่อยากเห็นมันทำใน Type Theory มีตัวอย่างสั้น ๆ ของการเทียบเท่าในทฤษฎีประเภทหรือไม่

วรรณกรรมที่เกี่ยวข้องมีดังต่อไปนี้:

เธียร์รี่โคควนด์ความขัดแย้งใหม่ในประเภททฤษฎี (ลิงค์) เขาอธิบายถึงความขัดแย้งในระบบที่ค่อนข้างอ่อนแอกว่า

Type : Type

แต่นั่นสามารถขนส่งได้ง่ายไปด้านบน แนวคิดหลักคือการพิสูจน์ Reynolds ว่าไม่มีโมเดลของระบบ F ในทฤษฎีเซต รายได้นั้นโดยการสร้างพีชคณิตเริ่มต้นของแบบฟอร์ม:

$$A\simeq (A \rightarrow \mathrm{2}) \rightarrow \mathrm{2}$$

โดยที่คือชุดที่มี 2 อิลิเมนต์และได้รับความขัดแย้งโดยอาร์กิวเมนต์ cardinality แสดงให้เห็นว่า Coquand$\mathrm{2}$

1. คุณสามารถใช้เหตุผลนี้ในทฤษฎีประเภทข้างต้น
2. มีเป็นรูปแบบของระบบ F ในทางทฤษฎีว่า สิ่งนี้ทำให้เกิดความขัดแย้ง

บทความที่สองจาก Antonius Hurkens และมีบรรดาศักดิ์เป็นความเรียบง่ายของความขัดแย้งราร์ด (ลิงค์) หลักฐานที่เกี่ยวข้องกับการก่อสร้างของ "ประเภทของทุกประเภทดี - ก่อตั้ง" ฉันต้องยอมรับว่าความคิดทั่วไปดูเหมือนชัดเจน แต่รายละเอียดค่อนข้างร้ายกาจ

ฉันกลัวไม่มีที่เรียบง่ายและง่ายต่อการทำความเข้าใจความขัดแย้งใน{} อย่างไรก็ตามข้อพิสูจน์ที่ได้จากความขัดแย้งนั้นค่อนข้างง่ายมาก: เพียงไม่กี่บรรทัดก็เพียงพอที่จะนิยามได้$\mathrm{Type} : \mathrm{Type}$

Alexandre Miquel ในวิทยานิพนธ์ของเขาแสดงให้เห็นว่าเราสามารถสร้างแบบจำลองของทฤษฎีเซตไร้เดียงสาในระบบประเภทที่ไม่สอดคล้องกันเหล่านี้ได้โดยใช้การตีความกราฟแบบปลายแหลมของเซต จากนั้นเขาสามารถนำความขัดแย้งของรัสเซลล์ไปใช้โดยตรง น่าเสียดายที่การสร้างแบบจำลองใช้เวลาทำงานเล็กน้อยและวิทยานิพนธ์เป็นภาษาฝรั่งเศส