การเข้ารหัสข้อ จำกัด 1-out-of-n สำหรับนักแก้ปัญหา SAT

ฉันใช้ตัวแก้ SAT เพื่อเข้ารหัสปัญหาและเป็นส่วนหนึ่งของอินสแตนซ์ SAT ฉันมีตัวแปรบูลีนซึ่งมีจุดประสงค์ว่าหนึ่งในนั้นควรเป็นจริงและส่วนที่เหลือควรเป็นเท็จ . (บางครั้งฉันเคยเห็นสิ่งนี้อธิบายว่าเป็นการเข้ารหัส "one-hot")$x_1,x_2,\dots,x_n$

ฉันต้องการเข้ารหัสข้อ จำกัด "ตรงหนึ่งจากต้องเป็นจริง" ใน SAT วิธีที่ดีที่สุดในการเข้ารหัสข้อ จำกัด นี้เพื่อให้นักแก้ปัญหา SAT ทำงานได้อย่างมีประสิทธิภาพมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้$x_1,\dots,x_n$

ฉันเห็นการเข้ารหัสข้อ จำกัด นี้ได้หลายวิธี:

• ข้อ จำกัด แบบคู่ ฉันสามารถเพิ่มข้อ จำกัด แบบ pairwiseสำหรับทั้งหมดเพื่อให้แน่ใจว่าอย่างน้อยที่สุดหนึ่งนั้นเป็นจริงแล้วเพิ่มเพื่อให้แน่ใจว่าอย่างน้อยก็เป็นจริง .$\neg x_i \lor \neg x_j$$i,j$x 1 ∨ x 2 ∨ ⋯ ∨ x $x_i$$x_1 \lor x_2 \lor \cdots \lor x_n$

  สิ่งนี้เพิ่มส่วนคำสั่งและไม่มีตัวแปรบูลีนพิเศษ$\Theta(n^2)$

• การเข้ารหัสแบบไบนารี ฉันสามารถแนะนำตัวแปรบูลีนใหม่เพื่อเป็นตัวแทน (ในระบบเลขฐานสอง) จำนวนเต็มเช่นที่ (เพิ่มข้อ จำกัด บูลีนบางอย่างเพื่อให้แน่ใจว่าอยู่ในช่วงที่ต้องการ) จากนั้นฉันสามารถเพิ่มข้อ จำกัด บังคับให้เป็นต้นไม้และอื่น ๆ ทั้งหมดเป็นเท็จ ในคำอื่น ๆ สำหรับแต่ละเราเพิ่มคำสั่งการบังคับใช้ที่x_jฉัน1 , ฉัน2 , … , ฉันlg nฉัน1 ≤ ฉัน≤ n ฉันx ฉันx j j ฉัน= j ⇔ x $\lg n$$i_1,i_2,\dots,i_{\lg n}$$i$$1 \le i \le n$$i$$x_i$$x_j$$j$$i=j \Leftrightarrow x_j$

  นี่เป็นการเพิ่มส่วนคำสั่งและฉันไม่รู้ว่าตัวแปรบูลีนพิเศษมีเท่าใด$\Theta(n \lg n)$

• นับจำนวนค่าที่แท้จริง ฉันสามารถใช้วงจรของวงจรบวกบูลีนและต้องการให้ , ปฏิบัติต่อแต่ละตัวเป็น 0 หรือ 1 แทนที่จะเป็นเท็จหรือจริงและใช้การแปลง Tseitin เพื่อแปลงวงจรให้เป็นส่วนคำสั่ง SAT ต้นไม้ครึ่งตัวเสริม: จำกัด เอาท์พุทของแต่ละตัวบวกครึ่งให้เป็น 0 และ จำกัด ผลลัพธ์สุดท้ายของตัวบวกครึ่งสุดท้ายในต้นไม้ให้เป็น 1 ต้นไม้สามารถเลือกให้มีรูปร่างใดก็ได้ ( ต้นไม้ไบนารีที่สมดุลหรือไม่สมดุลหรืออะไรก็ตาม)x $x_1+x_2+\dots+x_n=1$$x_i$

  สิ่งนี้สามารถทำได้ในประตูจึงเพิ่มคำสั่งและตัวแปรบูลีนใหม่Θ ( n ) Θ ( n $\Theta(n)$$\Theta(n)$$\Theta(n)$

  เป็นกรณีพิเศษของวิธีนี้คือการแนะนำตัวแปรบูลกับความคิดที่ว่าควรมีค่าของx_i ความตั้งใจนี้สามารถบังคับใช้โดยการเพิ่มคำสั่ง , , และ\ neg y_i \ lor x_i \ lor y_ {i-1} (ที่เราปฏิบัติต่อy_0เป็น ไวพจน์เท็จ) สำหรับi = 1, \ dots, n ต่อไปเราจะสามารถเพิ่มข้อ จำกัด\ Neg y_i \ Lor \ Neg x_ {i + 1}สำหรับi = 1,2, \ dots, n-1 โดยทั่วไปจะเทียบเท่ากับการแปลง Tseitin ของต้นไม้ครึ่ง adder ที่ต้นไม้มีรูปร่างที่ไม่สมดุลมากที่สุดY ฉันx 1 ∨ x 2 ∨ ⋯ ∨ x ฉันY ฉัน ∨ ¬ x ฉันY ฉัน ∨ ¬ Y ฉัน- 1 ¬ Y ฉัน ∨ x ฉัน ∨ Y ฉัน- 1ปี0ฉัน= 1 , ... , n ¬ Y ฉัน ∨ ¬ x ฉัน$y_1,\dots,y_n$$y_i$$x_1 \lor x_2 \lor \cdots \lor x_i$$y_i \lor \neg x_i$$y_i \lor \neg y_{i-1}$$\neg y_i \lor x_i \lor y_{i-1}$$y_0$$i=1,\dots,n$$\neg y_i \lor \neg x_{i+1}$$i=1,2,\dots,n-1$

• เครือข่ายผีเสื้อ ฉันสามารถสร้างเครือข่ายบัตเตอร์ฟลายบนบิต , จำกัดอินพุต bit ให้เป็น , จำกัดเอาท์พุท bit ให้เป็น , และปฏิบัติต่อประตูผีเสื้อ 2 บิตแต่ละตัวเป็นประตูอิสระที่ สลับหรือไม่สลับอินพุตกับการตัดสินใจที่จะทำตามตัวแปรบูลีนใหม่ที่ไม่มีข้อ จำกัด จากนั้นฉันสามารถใช้การแปลง Tseitin เพื่อแปลงวงจรเป็นคำสั่ง SAT$n$$n$$000\cdots 01$$n$$x_1 x_2 \cdots x_n$

  สิ่งนี้ต้องการประตูและเพิ่มส่วนคำสั่งและตัวแปรบูลีนใหม่$\Theta(n \lg n)$$\Theta(n \lg n)$$\Theta(n \lg n)$

มีวิธีอื่นที่ฉันมองข้ามไปหรือไม่? ฉันควรใช้อันไหนดี มีใครทดสอบหรือทดลองใช้หรือเคยมีประสบการณ์กับสิ่งเหล่านี้บ้างไหม? จำนวนคำสั่งและ / หรือจำนวนตัวแปรบูลีนใหม่เป็นตัวชี้วัดที่ดีสำหรับการประเมินผลกระทบของสิ่งนี้ต่อประสิทธิภาพการแก้ปัญหา SAT หรือไม่ถ้าไม่คุณจะใช้เมตริกใด

ฉันเพิ่งสังเกตเห็นว่าคำตอบนี้มีการอ้างอิงบางอย่างเกี่ยวกับการบังคับใช้ข้อ จำกัด ของ cardinality สำหรับ SAT นั่นคือการบังคับใช้ข้อ จำกัด ที่จากตัวแปรทั้งหมดนั้นเป็นจริง ดังนั้นคำถามของฉันลงมาให้เป็นกรณีพิเศษที่ 1 บางทีวรรณกรรมเกี่ยวกับข้อ จำกัด ด้าน cardinality อาจช่วยอธิบายคำถามของฉัน$k$$n$$k=1$

สำหรับกรณีพิเศษของ k จากตัวแปร n จริงโดยที่ k = 1 มีการเข้ารหัสตัวแปรผู้บัญชาการตามที่อธิบายไว้ในการเข้ารหัส CNF ที่มีประสิทธิภาพสำหรับการเลือก 1 ถึง N วัตถุโดย Klieber และ Kwon แบบง่าย: แบ่งตัวแปรออกเป็นกลุ่มย่อยและเพิ่มส่วนคำสั่งที่ทำให้สถานะของตัวแปรผู้บังคับบัญชาบ่งบอกว่ากลุ่มของตัวแปรเป็นเท็จหรือเท็จทั้งหมด แต่ทั้งหมด จากนั้นใช้อัลกอริทึมเดียวกันซ้ำกับตัวแปรผู้บัญชาการ ในตอนท้ายของกระบวนการต้องการให้ตัวแปรหนึ่งในไม่กี่คนของผู้บัญชาการขั้นสุดท้ายเป็นจริง ผลลัพธ์คือ O (n) clauses ใหม่และ O (n) ตัวแปรใหม่

เมื่อพิจารณาความแพร่หลายของตัวอักษรสองตัวที่จับตาดูในตัวแก้ปัญหา DPLL ฉันคิดว่าการเติบโตของประโยค O (n) เป็นข้อได้เปรียบที่สำคัญยิ่งกว่าแผนการเข้ารหัสที่จะเพิ่มส่วนคำสั่งเพิ่มเติม

บทความโดย Magnus Björkอธิบายถึงเทคนิคสองอย่างที่ควรค่าแก่การลอง

สำหรับ 1-out-of- เราสามารถใช้การเข้ารหัสทั้งแบบร้อนและแบบไบนารีพร้อมกัน ดังนั้นเราจึงมีx 1 , ... , x nเป็นหนึ่งในการเข้ารหัสร้อนและy ที่1 , ... , Y ขเป็นเข้ารหัสไบนารีที่ข= LG n เราสามารถเข้ารหัส "ที่หนึ่งอย่างน้อย" จำกัด ได้อย่างง่ายดายในประโยคเดียว: ( x 1 ∨ ⋯ ∨ x n ) เรายังสามารถบังคับให้การเข้ารหัสทั้งสองให้สอดคล้องกับ2 lg $n$$x_1,\dots,x_n$$y_1,\dots,y_b$$b = \lg n$$(x_1 \lor \dots \lor x_n)$$2 \lg n$clauses: เราเพิ่มหรือ x $x_i \implies \neg y_j$ตามที่ว่าบิตที่ jของการเข้ารหัสไบนารี่ของฉันคือ 0 หรือ 1 ในที่สุดข้อ จำกัด "ที่มากที่สุด" จะตามมาโดยอัตโนมัติ นอกจากนี้ยังอนุญาตให้ส่วนที่เหลือของอินสแตนซ์ SAT ใช้วิธีการเข้ารหัสใดก็ได้ที่สะดวกกว่า$x_i \implies y_j$$j$$i$

สำหรับ -out-of- nเราสามารถใช้เครือข่ายการเรียงลำดับกับอินพุตx 1 , … , x nเพื่อรับเอาต์พุตที่เรียงลำดับy 1 , … , y nและจากนั้นเพิ่มประโยคที่ต้องการให้y kเป็นจริงและy k + 1เป็นเท็จ มีเครือข่ายการเรียงลำดับจำนวนมากที่ต้องการหน่วยเปรียบเทียบO ( n lg 2 n )เท่านั้น ดังนั้นเราจึงได้รับการเข้ารหัสที่ใช้O ( n lg $k$$n$$x_1,\dots,x_n$$y_1,\dots,y_n$$y_k$$y_{k+1}$$O(n \lg^2 n)$คำสั่งและตัวแปรชั่วคราว$O(n \lg^2 n)$

กระดาษเป็น

Magnus Björk ที่ประสบความสำเร็จเทคนิค SAT การเข้ารหัส 25 กรกฎาคม 2552

เอกสารต่อไปนี้มีรายการการเข้ารหัสโดยละเอียดสำหรับ 1-out-of- และk -out-of - nโดยมีการประเมินการทดลองบางอย่างของแต่ละรายการ ข้อสรุปไม่ชัดเจนทั้งหมด (การเข้ารหัสคำสั่งดูค่อนข้างดีในการทดลอง)$n$$k$$n$

Alan M. Frisch, Paul A. Giannaros SAT การเข้ารหัสของที่มากที่สุด-K จำกัด : บางเก่าบางใหม่บางด่วน, บางช้า ModRef 2010