ไวยากรณ์ที่ไวต่อบริบทสำหรับภาษาของคำที่ต่อกับตัวเอง

ฉันกำลังมองหาไวยากรณ์ไวตามบริบทที่อธิบายภาษาต่อไปนี้: $L = \{ ww \mid w ∈ \{a,b\}^{\ast}, |w| ≥ 1\}$ .

ฉันมีปัญหากับความจริงที่ว่าไม่มีกฎเช่น $X \to \varepsilon$ได้รับอนุญาตและดังนั้นฉันไม่สามารถวาง nonterminal ใด ๆ ที่ระบุ "กลาง" ของคำ มีเคล็ดลับสำหรับปัญหาหรือไม่?

อันที่จริงมีเคล็ดลับง่ายๆที่ช่วยให้คุณเพิ่มข้อมูลพิเศษในตำแหน่งที่แน่นอน: เพียงแทนที่ตัวอักษรที่อยู่ติดกับตำแหน่งและทำเครื่องหมายด้วยข้อมูลและตัวอักษรเดิม

ในตัวอย่างของคุณมี nonterminal $M$สำหรับตรงกลาง แต่เนื่องจากไม่สามารถลบได้มันจึงนับเป็นตัวอักษรปกติ ดังนั้นเราจึงมีสองชุด$M_a$ และ $M_b$เพื่อระบุตัวอักษรที่ถูกแทนที่ ในตอนท้ายของการสืบทอดเครื่องหมายควรถูกแทนที่ด้วยเนื้อหาจดหมายของพวกเขาโดยการผลิตง่าย ๆ เช่น$M_a\to a$.

ในกรณีส่วนใหญ่การใช้งานของ $M_a\to a$จะต้องดำเนินการในตอนท้ายของกระบวนการที่ได้รับมา ในการก่อสร้างบางอย่างนี้ไม่จำเป็นต้อง "หมดเวลา": เมื่อ$M$หายไปเร็วเกินไปที่มาไม่สามารถหาตำแหน่งที่เหมาะสมและกระบวนการจะไม่ประสบความสำเร็จ ในอีกกรณีหนึ่งจำเป็นต้องมีการควบคุม บางครั้งจะทำเช่นนี้โดยแนะนำ nonterminal เป็นสัญญาณที่เคลื่อนที่ไปตามตัวอักษร อีกครั้งสัญญาณนี้ควรพกพาเทอร์มินัลมิฉะนั้นคุณจะพบปัญหาเดียวกัน

การย้ายข้อมูลไปรอบ ๆ นั้นง่ายในไวยากรณ์ที่เรียกว่าmonotonic ($\alpha\to \beta$ กับ $|\alpha|\le\beta|$) ใช้กฎเช่น $XA \to AX$ซึ่งสามารถมองเห็นเป็น $X$ กระโดดข้าม $A$. สำหรับไวยากรณ์ไวตามบริบทที่เหมาะสมเราต้องแยกสิ่งนี้ออกเป็นสามขั้นตอน:$XA \to XA^X, XA^X\to AA^X, AA^X\to AX$. ในแต่ละการผลิตจะมีการเปลี่ยนตัวอักษรหนึ่งตัวในบริบทที่เหมาะสม ต้องใช้จินตนาการพอสมควรที่จะเห็นว่ากระบวนการนี้ไม่ได้มีปฏิสัมพันธ์กับส่วนอื่น ๆ ของแหล่งที่มา เช่นเกิดอะไรขึ้นเมื่อ$A$ ในขั้นตอนสุดท้ายมีส่วนร่วมในขั้นตอนที่มาอื่นหรือไม่

สิ่งนี้อาจใช้ไม่ได้กับคำศัพท์สั้น ๆ เมื่อมีข้อมูลมากกว่าตำแหน่งว่าง ทางออกที่ง่ายที่สุดคือการไม่สนใจสตริงสั้น ๆ ในการสร้างของคุณและสร้างมันแยกกัน

คำตอบเริ่มต้นสั้น ๆ : เกิดขึ้นกับ LBA ซึ่งยอมรับภาษาและใช้การจำลองที่ใช้เพื่อพิสูจน์ว่าไวยากรณ์ไวตามบริบทและ LBA กำหนดชุดภาษาเดียวกัน แต่แน่นอนว่าไม่ใช่สิ่งที่คุณเป็นหลังจากนั้น

ในกรณีที่เฉพาะเจาะจงนี้ให้ลองนึกถึงการใช้ไวยากรณ์เชิงเส้นตรงสำหรับ $\Sigma^*$สองครั้งหนึ่งอันสำหรับซ้ายและอีกอันหนึ่งสำหรับครึ่งขวา สิ่งที่คุณต้องทำเพื่อให้แน่ใจว่าไวยากรณ์ทั้งสองได้รับ "ซิงค์"

สิ่งนี้สามารถทำได้โดยการสลับโทเค็นการควบคุม กล่าวคือไวยากรณ์ซ้ายเลือกกฎสร้างโทเค็นการควบคุมที่เหมาะสมและส่งผ่านไปยังไวยากรณ์ที่ถูกต้อง ไวยากรณ์ที่เหมาะสมเห็นโทเค็นการควบคุมและดำเนินการกฎการปรับพอดี โปรดทราบว่าคุณสามารถใช้การสื่อสารสองทางด้วยวิธีนี้ แต่ไม่จำเป็นที่นี่

มีปัญหาอย่างหนึ่งสำหรับไวยากรณ์ไวตามบริบท: พวกเขาไม่สามารถลบขั้วที่ไม่ใช่ (ยกเว้น $S \to \varepsilon$ถ้าคำที่ว่างอยู่ในภาษา) ดังนั้นเราต้องสร้างเทอร์มินัลที่ไม่ใช่จำนวนมากเท่าที่เราต้องการ ไม่มีใครสามารถซ้ำซ้อนได้

วิธีหนึ่งในการบรรลุเป้าหมายนี้คือการใช้เล่ห์เหลี่ยมเช่นเดียวกับข้อพิสูจน์บางประการเกี่ยวกับ LBA: สร้างเทอร์มินัลที่ไม่ใช่ทั้งหมดที่คุณต้องการก่อนเช่นเตรียม "เทป" ต่อมา "ย้ายไปรอบ ๆ " บนเทปนั้น เฉพาะ "ที่ส่วนท้าย" แทนที่เทอร์มินัลที่ไม่ใช่ทั้งหมดด้วยเทอร์มินัล

ดังนั้นขอ$G=(N, \Sigma, \delta, S)$ กับ $\Sigma = \{a,b\}$ การก่อสร้างขยายไปสู่ตัวอักษรที่ใหญ่ขึ้นและ $N$, $\delta$ กำหนดโดยกฎต่อไปนี้

$\qquad \begin{align} S &\to \hat{X}_l S' X_r \mid aaaa \mid abab \mid baba \mid bbbb \mid aa \mid bb \mid \varepsilon \\ S' &\to X_l S' X_r \mid X_l \hat{X}_r \end{align}$

เป็นกฎสำหรับการสร้าง "เทป" โปรดทราบว่าหมวกหมายถึง "ตำแหน่งหัว" และดัชนี$l,r$แสดงว่าครึ่งหนึ่งของคำที่ไม่ใช่เทอร์มินัลเป็นของ คำศัพท์สั้น ๆ จะถูกสร้างขึ้นเพื่อที่จะปลอดภัยกฎบางอย่างด้านล่าง ตอนนี้เราจำเป็นต้องมีกฎเพื่อรับหนึ่งสัญลักษณ์ในส่วนด้านซ้าย:

$\qquad \begin{align} \hat{X}_l X_l &\to X_\gamma \hat{X}^\gamma_l \\ \hat{X}_l X_\alpha &\to X_\gamma X^\gamma_\alpha \end{align}$

เพื่อทุกสิ่ง $(\alpha, \gamma) \in \Sigma^2$. สังเกตวิธีที่เราใช้ดัชนีระดับสูงเพื่อนำสัญลักษณ์ที่สร้างขึ้นไปทางขวา$X_a$ และ $X_b$เป็นเทอร์มินัลที่ไม่ใช่ "ขั้นสุดท้าย" ซึ่งจะใช้สำหรับการย้ายโทเค็นการควบคุมไปรอบ ๆ และเพื่อรับเทอร์มินัลในภายหลัง โปรดทราบว่ากฎข้อที่สองคือ (เท่านั้น) ใช้สำหรับสัญลักษณ์สุดท้ายของครึ่งขวา

สำหรับการเคลื่อนย้ายกระเป๋าไปทางขวาเราต้องเลื่อนผ่านทั้งคู่ที่เหลือ$X_l$ และสร้างขึ้นแล้ว $X_\alpha$:

$\qquad \begin{align} \hat{X}^\gamma_l X_l &\to \hat{X}_l X^\gamma_l \\ \hat{X}^\gamma_l X_\alpha &\to \hat{X}_l X^\gamma_\alpha \\ X^\gamma_l X_l &\to X_l X^\gamma_l \\ X^\gamma_l X_\alpha &\to X_l X^\gamma_\alpha \\ X^\gamma_\alpha X_\beta &\to X_\alpha X^\gamma_\beta \end{align}$

เพื่อทุกสิ่ง $(\alpha, \beta, \gamma) \in \Sigma^3$. ทีนี้เมื่อการพกพามาถึงโทเค็นการควบคุมที่ถูกต้องเราต้องเลียนแบบกฎที่ใช้ทางด้านซ้าย:

$\qquad\begin{align} X^\gamma_l \hat{X}_r &\to X_l \hat{X}^\gamma_r \\ X^\gamma_\alpha \hat{X}_r &\to X_\alpha \hat{X}^\gamma_r \\ \hat{X}^\gamma_r X_r &\to X_\gamma \hat{X}_r \\ \hat{X}^\gamma_r &\to X_\gamma \end{align}$

เพื่อทุกสิ่ง $(\alpha, \gamma) \in \Sigma^2$. โปรดทราบว่ากฎข้อแรกนั้นใช้สำหรับสัญลักษณ์แรกของครึ่งขวาและกฎสุดท้ายสามารถใช้ได้กับสัญลักษณ์สุดท้ายเท่านั้นมิฉะนั้นการสืบทอดจะไม่สิ้นสุด ตอนนี้เราต้องการเพียงกฎการยกเลิก

$\qquad X_\alpha \to \alpha$

เพื่อทุกสิ่ง $\alpha \in \Sigma$และเราทำเสร็จแล้ว กฎเหล่านี้ก็สามารถใช้ได้หลังจากทำทุกอย่าง (ทางซ้าย) มิฉะนั้นการสืบทอดจะไม่สิ้นสุด

โปรดทราบว่าไวยากรณ์นี้ไม่ชัดเจน ไม่เพียง แต่สามารถ$X_\alpha \to \alpha$(ปลอดภัย) ถูกนำไปใช้ที่ใดก็ได้ที่ด้านซ้ายของ "หัว" ด้านซ้ายในเวลาใดก็ได้ แต่ยังสามารถดำเนินการหลายอย่างพร้อมกันในเวลาเดียวกัน เนื่องจากพวกเขาไม่สามารถแซงกันได้ดังนั้นคำสั่งที่ถูกต้องจะถูกเก็บไว้

จะต้องมีการกล่าวถึงหนึ่งข้อ: ไวยากรณ์ข้างต้นไม่คำนึงถึงบริบทเนื่องจากกฎหลายข้อได้เปลี่ยนสัญลักษณ์ทั้งสองทางด้านซ้ายมือ ไม่อนุญาตสำหรับไวยากรณ์ไวตามบริบท โชคดีที่เราสามารถจำลองกฎใด ๆ$R$ ของแบบฟอร์ม

$\qquad A B \to C D$

โดย

$\qquad \begin{align} A B &\to A Y_R \\ A Y_R &\to X_R Y_R \\ X_R Y_R &\to X_R D \\ X_R D &\to C D \end{align}$

ดังนั้นเราจึงดีและสามารถทำงานกับไวยากรณ์ที่เล็กลงได้ แสดงให้เห็นว่าการแทรกสอดระหว่างการจำลองดังกล่าวไม่ทำให้เกิดความเสียหายนั้นถือเป็นแบบฝึกหัด

คุณเห็นวิธีการขยายนี้ $L_k = \{ w^k \mid w \in \Sigma^*\}$? มันใช้งานได้กับ$L = \bigcup_{i\geq 1} L_k$? คุณสามารถใช้สิ่งก่อสร้างเดียวกันได้หรือไม่$L^k$ สำหรับปกติ $L$?

แม้ว่าฉันจะไม่ทราบว่าไวยากรณ์ไวตามบริบทจะเป็นอย่างไรคุณสามารถหลีกเลี่ยงปัญหาของคุณด้วยสัญลักษณ์ $X$ ดังนี้

คุณรู้ว่าคำตัดแบ่งของคุณ $w$ ต้องมีความยาวอย่างน้อย $|w| \ge 1$. ดังนั้นคุณสามารถ "เข้ารหัส" สิ่งเหล่านั้นได้$\varepsilon$- กฎไวยากรณ์ของคุณโดยกฎบางอย่างเช่น:

แม้ว่าฉันจะยังไม่เห็นโซลูชันโดยรวมเพราะในใจของฉันดูเหมือนว่ามือซ้ายของกฎไวยากรณ์ของคุณอาจมีความยาวตามอำเภอใจเพราะฉันคิดว่าคุณจะลองพิจารณาคำนำหน้าของ $w$ อย่างใดในกฎของคุณ