จำนวนของเซ็ตย่อยที่แต่ละหมายเลขตั้งแต่ 1 ถึง

ปัญหาของฉัน ได้รับผมต้องการที่จะนับจำนวนของมัลติถูกต้องSMultisetนั้นถูกต้องถ้าn S $n$$S$$S$

• ผลรวมขององค์ประกอบของคือและS $S$$n$
• ตัวเลขจากทุกเพื่อสามารถแสดงไม่ซ้ำกันเป็นผลรวมของบางส่วนขององค์ประกอบของที่S1 $1$$n$$S$

ตัวอย่าง. ตัวอย่างเช่นถ้า$n=5$แล้ว$\{1,1,1,1,1\}, \{1,2,2\}, \{1,1,3\}$ที่ถูกต้อง

อย่างไรก็ตาม$S=\{1,1,1,2\}$ไม่ถูกต้องเพราะ 2 สามารถสร้างได้ทั้ง$\{1,1\}$และ$\{2\}$ (เช่น 2 สามารถแสดงได้ทั้ง$2=1+1$และ$2=2$ ) ดังนั้นเงื่อนไขที่สองไม่ถือ ในทำนองเดียวกัน 3 สามารถเกิดขึ้นโดย$\{2,1\}$และ$\{1,1,1\}$ }

$S=\{1,2,4$ } ยังไม่ถูกต้องเพราะจำนวนทั้งหมดจาก$1$ที่จะ$5$สามารถทำซ้ำกัน แต่ผลรวมขององค์ประกอบของ$S$ไม่ได้เป็น5$5$

ฉันพยายามหาอัลกอริทึมที่ดีสำหรับปัญหานี้มาระยะหนึ่งแล้ว แต่ไม่สามารถแก้ไขได้ มันมาจากcodechef ฉันเห็นวิธีแก้ไขปัญหาที่ส่งมาแล้วบางส่วน แต่ฉันก็ยังหาเหตุผลไม่ได้ในการแก้ปัญหา หมายเหตุ:การ จำกัด เวลาสำหรับคำถามคือ 10 วินาทีและ$n<10^9$

สำหรับ MultiSet ผมจะใช้สัญกรณ์S = { ( 1 , ค1 ) , ( 2 , ค2 ) . . } ฉัน < Jถ้าฉัน< Jซึ่งหมายความฉันเกิดขึ้นคฉันครั้งใน MultiSet เอส$S = \{(a_1, c_1), (a_2, c_2) ... \}$ $a_i<a_j$$i<j$$a_i$$c_i$

จนถึงตอนนี้ฉันได้ข้อสรุป

• องค์ประกอบแรกของชุดมัลติเซตที่เรียงควรเป็น$1$
• ให้S = { 1 , 2 ⋯ k } | 1 ≤ 2 ⋯ ≤ kเป็นชุดต่อไปนี้สองคุณสมบัติแล้ว∀ R < k R + 1 = R  หรือ  ( Σ R ฉัน= 0ฉัน ) + $S=\{1,a_2 \cdots a_k\} | a_1 \leq a_2\cdots \leq a_k$$\forall r<k \ \ a_{r+1} = a_r \text{ or } (\sum_{i=0}^ra_i) + 1$
• ให้S = { ( 1 , c 1 ) , ( a 2 , c 2 ) ⋯ ( a k , c k ) } | 1 ≤ 2 ⋯ ≤ kที่ฉันเกิดขึ้นคผมครั้งต่อไปนี้คุณสมบัติที่ต้องการแล้วจากข้อสรุปดังกล่าวข้างต้นที่เราสามารถพูดได้ว่า∀ ฉันฉัน| n + 1และ$S=\{(1,c_1),(a_2,c_2) \cdots (a_k,c_k)\} | a_1 \leq a_2\cdots \leq a_k$$a_i$$c_i$$\forall i \ a_i|n+1$a i | Jถ้า J >ฉัน พิสูจน์: a i + 1 = ( a i c i + a i - 1 ) + 1 ⇒ a i | ฉัน+ $a_i | a_j$$j > i$
  $a_{i+1} = (a_ic_i + a_i -1 ) + 1 \Rightarrow a_i | a_{i+1}$
• ตอนนี้พิจารณาS = { 1 , 1 ⋯ 1 ⏟ d - 1 , d , d ⋯ d , d ม. 1 , d ม. 1 ⋯ งม. 1 , d ม. 2 , d ม. 2 ⋯ งม. 2 , ⋯ }คือทั้งหมด ตัวเลขที่ตามมาหลังวันที่ 1 จะเป็นหลายd ดังนั้นขอf ( n $S=\{ \underbrace{1,1 \cdots 1}_{d-1},d,d \cdots d,dm_1, dm_1 \cdots dm_1,dm_2, dm_2 \cdots dm_2, \cdots \}$$d$$f(n)$เป็นจำนวนของ Multiset ที่เป็นไปได้แล้วf ( n ) = ∑ d | n + 1 , d ≠ 1 f ( n - ( d - 1 )d )ที่ฉันรวมจำนวนทั้งหมดที่เป็นไปได้ของ1′s(=d-1) ในแง่อื่น ๆf(n-1)=g(n)=∑d| n,d≠ng(d$f(n) = \sum_{d|n+1, d\neq 1} f(\frac{n-(d-1)}{d})$$1's$$=d-1$$f(n-1)=g(n)=\sum_{d|n,d \neq n}g(d)$

ในที่สุดปัญหาของฉันลดลงถึงสิ่งนี้ - หาg ( n )อย่างมีประสิทธิภาพเพื่อที่จะได้ไม่เกินเวลาที่กำหนด$g(n)$

นี่คือสิ่งที่ทางออกที่เร็วที่สุดกำลังทำอยู่ เป็นการคำนวณฟังก์ชันของคุณอย่างแน่นอน g ( n ) = ∑ d ∣ n d < n g ( d ) ,g ( 1 ) = 1 เมื่อได้รับ nเราคำนึงถึงมัน (ดูด้านล่าง) และคำนวณปัจจัยทั้งหมด (ดูด้านล่าง) f 1 , … , f mตามลำดับบางอย่างเช่น f i | f jหมายถึง i ≤ j (คุณสมบัติ P) ตอนนี้เราคำนวณ gตามสูตรโดยดูจากปัจจัยต่างๆตามลำดับที่กำหนด คุณสมบัติ P ทำให้มั่นใจได้ว่าเมื่อเราคำนวณ g ( d )เราได้คำนวณ g ( e )สำหรับปัจจัยที่ไม่สำคัญทั้งหมดแล้ว

ในรายละเอียดมากขึ้นเราไปกว่าปัจจัยในการสั่งซื้อและสำหรับแต่ละปัจจัยฉฉันเราจะพบทุกปัจจัยที่ไม่น่ารำคาญโดยการตรวจสอบซึ่งฉ1 , ... , ฉฉัน- 1แบ่งฉฉัน$f_i$$f_1,\ldots,f_{i-1}$$f_i$

การดำเนินการ:การประมวลผลล่วงหน้า: เราทำรายการช่วงเวลาทั้งหมดที่ต่ำกว่า10 9โดยใช้ตะแกรง Eratosthenes ให้nเราแค่ใช้ส่วนทดลอง$10^9$$n$

การสร้างปัจจัยทั้งหมด:สิ่งนี้เกิดขึ้นซ้ำแล้วซ้ำอีก สมมติว่าn = P k 1 1 ⋯ พีเคทีที เราทำงานเสื้อซ้อนกันลูปลิตร1 ∈ { 0 , ... , k 1 } , ... , L เสื้อ ∈ { 0 , ... , k T }และเอาท์พุทพีลิตร1 1 ⋯ พีลิตรทีที คุณสามารถพิสูจน์คุณสมบัติ P โดยการเหนี่ยวนำ$n = p_1^{k_1} \cdots p_t^{k_t}$$t$$l_1 \in \{0,\ldots,k_1\},\ldots,l_t \in \{0,\ldots,k_t\}$$p_1^{l_1}\cdots p_t^{l_t}$

การเพิ่มประสิทธิภาพ:เนื่องจากโปรแกรมทำงานบนอินพุตหลายตัวเราจึงสามารถใช้บันทึกช่วยจำเพื่อประหยัดเวลาในอินพุตที่แตกต่างกัน เราบันทึกค่าเล็ก ๆ เท่านั้น (สูงสุด10 5 ) และสิ่งนี้ช่วยให้เราสามารถเก็บค่าที่ถูกบันทึกไว้ทั้งหมดในอาร์เรย์ อาร์เรย์ได้รับการเริ่มต้นด้วยศูนย์และเราสามารถบอกได้ว่าค่าใดเป็นที่รู้จักอยู่แล้ว (เนื่องจากค่าที่คำนวณทั้งหมดเป็นค่าบวก)$10^5$

ถ้าการแยกตัวประกอบเฉพาะของn + 1คือp k 1 1 , … , p k t t , ดังนั้นf ( n ) จะขึ้นอยู่กับ( k 1 , … , k t )เท่านั้นและในความเป็นจริงกับรุ่นที่เรียงลำดับของเวกเตอร์นี้ . ทุกหมายเลขที่ต่ำกว่า10 9มีปัจจัยสำคัญสูงสุด29 รายการ (ด้วยการซ้ำซ้อน) และเนื่องจากp ( 29 ) = 4565ดูเหมือนว่าเป็นไปได้ที่จะคำนวณ$n+1$$p_1^{k_1},\ldots,p_t^{k_t}$$f(n)$$(k_1,\ldots,k_t)$$10^9$$29$$p(29)=4565$$f$(หรือมากกว่าg ) สำหรับพวกเขาทั้งหมดซ้ำ ๆ วิธีนี้อาจเร็วกว่านี้ถ้ามีอินพุตที่แตกต่างกันมากมาย มันเป็นมีที่มากที่สุด10$g$$10$

เป็นไปได้ว่าฟังก์ชันนี้การแม็พพาร์ติชันกับg ที่สอดคล้องกันมีรูปแบบการวิเคราะห์ที่ชัดเจน ยกตัวอย่างเช่นกรัม( P k ) = 2 k - 1 , กรัม( หน้า1 ... พีที )จะได้รับโดยA000670และกรัม( P 2 1 P 2 ... พีที )จะได้รับโดยA005649หรือA172109$g$$g(p^k) = 2^{k-1}$$g(p_1\ldots p_t)$$g(p_1^2 p_2\ldots p_t)$

ตกลงดังนั้นคุณมีความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำสำหรับg ( ⋅ ) (ดูตอนท้ายของคำถามของคุณ)$g(\cdot)$

ณ จุดนี้ดูเหมือนว่าวิธีธรรมชาติจะเขียนอัลกอริทึมแบบเรียกซ้ำเพื่อคำนวณg ( n )และใช้การบันทึกเพื่อให้คุณไม่ต้องคำนวณg ( i )มากกว่าหนึ่งครั้ง ในคำอื่น ๆ เมื่อคุณคำนวณกรัม( ฉัน) , คุณเก็บไว้ในตารางแฮชที่แมฉัน↦ กรัม( ฉัน) ; หากคุณต้องการทราบg ( i )อีกครั้งในอนาคตคุณสามารถค้นหาได้ในตารางแฮช$g(n)$$g(i)$$g(i)$$i \mapsto g(i)$$g(i)$

นี้ไม่จำเป็นต้องแฟnแต่มีขั้นตอนวิธีการที่มีประสิทธิภาพสำหรับแฟnเมื่อn ≤ 10 9$n$$n$$n\le 10^9$

นอกจากนี้คุณยังอาจมีลักษณะเป็นลำดับกรัม( 1 ) , กรัม( 2 ) , กรัม( 3 ) , กรัม( 4 ) , กรัม( 5 ) , ...ใน On-Line สารานุกรมของจำนวนเต็มลำดับ หากคุณพบลำดับในสารานุกรมบางครั้งพวกเขาจะให้ข้อมูลที่เป็นประโยชน์เพิ่มเติม (เช่นอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการคำนวณลำดับ) ที่ยอมรับว่าอาจนำความสนุกสนานจากสิ่งต่าง ๆ แม้ว่า$g(1),g(2),g(3),g(4),g(5),\ldots$

นี่คือคำแนะนำเพื่อให้คุณเริ่มต้น ใช้อัลกอริธึมการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกมาตรฐานสำหรับการแจกแจงชุดพาร์ติชันของจำนวนเต็มและเพิ่มตรรกะบางอย่างเพื่อตรวจสอบว่าสิ่งใดที่อนุญาตให้ทำการเปลี่ยนแปลงที่ไม่ซ้ำกันโดยการตรวจสอบผลรวมซ้ำการเปลี่ยนแปลงและยืนยันเอกลักษณ์

ในรายละเอียดอีกเล็กน้อย: สมมติว่าคุณมี MultiSet S ได้รับหมายเลขฉันกับ1 ≤ ฉัน≤ nวิธีการที่คุณสามารถระบุ submultiset ของSที่จำนวนเงินที่จะฉัน ? คุณจะตรวจสอบได้อย่างไรว่าชุดข้อมูลย่อยนั้นไม่ซ้ำกัน พยายามที่จะปรับตัวเข้ากับเทคนิคการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกมาตรฐานสำหรับการเปลี่ยนแปลง (ดูคำถามนี้ด้วย)$S$$i$$1 \le i \le n$$S$$i$

รับ multiset Sคุณจะตรวจสอบได้อย่างไรว่ามันเป็นไปตามเงื่อนไขที่สองหรือไม่เช่นว่าทุกหมายเลขจาก 1 ถึงnสามารถแสดงได้โดยไม่ซ้ำกันเป็นผลรวมของซับเซ็ตย่อยของS (เงื่อนไขการเปลี่ยนแปลงที่ไม่ซ้ำกัน) นี่น่าจะง่ายถ้าคุณแก้ไขก่อนหน้านี้$S$$n$$S$

ให้P ( n )แสดงรายการของชุดมัลติที่ตรงตามเงื่อนไขของคุณ หากคุณรู้จักP ( 1 ) , P ( 2 ) , … , P ( n )คุณจะใช้ข้อมูลนั้นเพื่อสร้างP ( n + 1 ) ได้อย่างไร? ที่นี่คุณอาจต้องการปรับใช้เทคนิคการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกมาตรฐานสำหรับการระบุพาร์ติชันของจำนวนเต็ม$P(n)$$P(1), P(2), \dots, P(n)$$P(n+1)$

นี่คือวิธีการที่อาจจะดีกว่า

สมมติว่าSเป็นมัลติเซ็ตที่ตอบสนองเงื่อนไขทั้งสองของคุณ (สำหรับn ) เราจะขยายมันเพื่อรับมัลติเซ็ตTที่มีองค์ประกอบหนึ่งมากกว่าได้อย่างไร ในคำอื่น ๆ วิธีการที่เราสามารถระบุวิธีการทั้งหมดเพื่อเพิ่มองค์ประกอบหนึ่งที่มากขึ้นในการSเพื่อให้ได้ MultiSet ใหม่Tที่ทั้งสองฝ่ายของเงื่อนไขของคุณ (บางn ' )?$S$$n$$T$$S$$T$$n'$

คำตอบ: ถ้าxสามารถแสดงเป็นผลรวมขององค์ประกอบบางอย่างของSดังนั้นจะไม่มีจุดเพิ่มลงในS : ซึ่งจะทำให้Tละเมิดเงื่อนไขที่ไม่ซ้ำกัน ดังนั้นเราสามารถแจกแจงจำนวนเต็มxทั้งหมดที่ไม่สามารถแสดงเป็นผลรวมขององค์ประกอบบางส่วนของS ; แต่ละอันเป็นสิ่งที่สามารถเพิ่มลงในSเพื่อรับมัลติเซตTใหม่ที่จะตอบสนองเงื่อนไขทั้งสอง (สำหรับnอื่น ๆ)$x$$S$$S$$T$$x$$S$$S$$T$$n$

ยิ่งไปกว่านั้นมันเป็นไปได้ที่จะระบุจำนวนเต็มที่สามารถแสดงเป็นผลรวมขององค์ประกอบบางอย่างของSและไม่สามารถใช้การเขียนโปรแกรมแบบไดนามิก คุณสร้างอาร์เรย์Aสองมิติ[ 1 … | S | , 1 ... n ]ของ booleans ที่[ ฉัน, J ]เป็นจริงถ้ามีวิธีที่จะแสดงความจำนวนเต็มเจเป็นผลรวมของบางส่วนของแรกฉันองค์ประกอบของS (เฉพาะครั้งแรกที่ฉันองค์ประกอบของSมีสิทธิ์ที่จะ ถูกนำมาใช้; ที่$S$$A[1\ldots |S|,1 \ldots n]$$A[i,j]$$j$$i$$S$$i$$S$$S$เรียงลำดับแล้วดังนั้นS = { s 1 , s 2 , … , s k }และs 1 ≤ s 2 ≤ ⋯ ≤ s k ) โปรดทราบว่าA [ i , j ]สามารถคำนวณได้โดยใช้ค่าของA [ 1 … i - 1 , 1 … j - 1 ] : โดยเฉพาะA [ i , j $S=\{s_1,s_2,\dots,s_k\}$$s_1\le s_2 \le \cdots \le s_k$$A[i,j]$$A[1\ldots i-1, 1\ldots j-1]$= [ ฉัน- 1 , J ] ∨ [ ฉัน- 1 , J - s ฉัน ]ถ้า J > s ฉันหรือ [ ฉัน, J ] = [ ฉัน- 1 , J ]มิฉะนั้น ซึ่งจะช่วยให้เราสามารถระบุตัวเลขทั้งหมดที่มีผู้สมัครที่จะเพิ่มS$A[i,j] = A[i-1,j] \lor A[i-1,j-s_i]$$j>s_i$$A[i,j]=A[i-1,j]$$S$

ถัดไปสำหรับแต่ละส่วนขยายของผู้สมัครTของS (ได้รับจากการเพิ่มองค์ประกอบหนึ่งไปยังS ) เราต้องการตรวจสอบว่าT เป็นไปตามเงื่อนไขทั้งสองหรือไม่ ให้nแสดงผลรวมขององค์ประกอบของSและn 'ผลรวมขององค์ประกอบของT เราจำเป็นต้องตรวจสอบว่าทุกจำนวนเต็มในช่วงn + 1 , n + 2 , … , n ′สามารถแสดงเป็นผลรวมขององค์ประกอบบางส่วนของ$T$$S$$S$$T$$n$$S$$n'$$T$$n+1,n+2,\ldots,n'$$T$. สิ่งนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้การเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกโดยใช้อัลกอริธึมมาตรฐานสำหรับการเปลี่ยนแปลง (ในความเป็นจริงถ้าคุณยังมีอาร์เรย์ดังกล่าวข้างต้นคุณสามารถขยายได้นิด ๆ หน่อย ๆ เพื่อแก้ปัญหานี้: เราทำให้มันอาร์เรย์[ 1 ... | T | , 1 ... n ' ]ให้ดำเนินการต่อเพื่อเติมเต็มในทุก ของรายการเพิ่มเติมและตรวจสอบให้แน่ใจว่าA [ | T | , n + 1 ] , A [ | T | , n + 2 ] ,$A$$A[1\ldots |T|, 1 \ldots n']$… , A [ | T | , n ′ ]เป็นจริงทั้งหมด) ดังนั้นตอนนี้เราสามารถแจกแจงมัลติเซต Tทั้งหมดที่ขยาย Sด้วยองค์ประกอบเดียวและเป็นไปตามเงื่อนไขทั้งสอง$A[|T|,n+1], A[|T|,n+2], \ldots, A[|T|,n']$$T$$S$

นี้แสดงให้เห็นทันทีขั้นตอนวิธีการแจกแจงทุกมัลติSที่ตอบสนองเงื่อนไขของคุณสำหรับทุกnถึงบางผูกพันพูดn ≤ 20 เราจะมีอาร์เรย์P [ 1 ... 20 ]ที่P [ 5 ]ร้านค้าทั้งหมดมัลติSรวมที่ 5 และโดยทั่วไป, P [ n ]ร้านค้าชุดของมัลติทั้งหมดSรวมที่n$S$$n$$n\le 20$$P[1\ldots 20]$$P[5]$$S$$P[n]$$S$$n$

ต่อไปเราสามารถเติมP [ n ]ซ้ำได้ เริ่มต้นด้วยการตั้งค่าP [ 1 ]จะมีเพียงหนึ่ง MultiSet { 1 } ถัดไปสำหรับแต่ละn (นับจาก 1 ถึง 20) สำหรับแต่ละS ∈ P [ n ]แจกแจงส่วนขยายที่เป็นไปได้ทั้งหมดTของS (โดยใช้เทคนิคด้านบน) ให้n ′แสดงถึงผลรวมขององค์ประกอบของTและ แทรกTเป็นP [ n ′$P[n]$$P[1]$$\{1\}$$n$$S \in P[n]$$T$$S$$n'$$T$$T$$P[n']$ถ้ามันไม่ได้แล้วในปัจจุบันและถ้าn ' ≤ 20$n' \le 20$

นี่น่าจะทำได้ โชคดี! มีความสุข! การทำงานผ่านรายละเอียดจะเป็นการฝึกการเรียนรู้ที่ดีในการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิก