การเลือกแบบสุ่ม

อัลกอริทึมการเลือกแบบสุ่มมีดังต่อไปนี้:

อินพุต: อาร์เรย์ของn (แตกต่างกันเพื่อความง่าย) ตัวเลขและตัวเลขk ∈ [ n $A$$n$$k\in [n]$

เอาท์พุท: "อันดับองค์ประกอบ" ของA (กล่าวคือหนึ่งในตำแหน่งkถ้าAถูกจัดเรียง)$k$$A$$k$$A$

วิธี:

• หากมีองค์ประกอบหนึ่งในให้ส่งคืน$A$
• เลือกองค์ประกอบ ("pivot") อย่างสม่ำเสมอโดยการสุ่ม$p$
• คำนวณชุดและR = { a ∈ A : a > p $L = \{a\in A : a < p\}$$R = \{a\in A : a > p\}$
• ถ้ากลับยศkองค์ประกอบของL$|L| \ge k$$k$$L$
• มิฉะนั้นส่งคืนอันดับองค์ประกอบของ$k - |L|$$R$

ฉันถูกถามคำถามต่อไปนี้:

สมมติว่าดังนั้นคุณกำลังมองหาค่ามัธยฐานและปล่อยให้อัลฟ่า∈ ( 1 / 2 , 1 ) จะคงที่ ความน่าจะเป็นที่การเรียกซ้ำครั้งแรกคือชุดที่มีค่ามัธยฐานมีขนาดมากที่สุดα n ?$k=n/2$$\alpha\in (1/2,1)$$\alpha n$

ฉันถูกบอกว่าคำตอบคือโดยมีเหตุผล "เดือยที่เลือกควรอยู่ระหว่าง1 - αและαคูณอาร์เรย์เดิม"$2\alpha - 1$$1−\alpha$$\alpha$

ทำไม? ในฐานะที่เป็น , สิ่งที่องค์ประกอบได้รับการแต่งตั้งเป็นเดือยเป็นทั้งขนาดใหญ่หรือขนาดเล็กกว่ามากกว่าครึ่งหนึ่งองค์ประกอบเดิม ค่ามัธยฐานจะอยู่ใน subarray ที่ใหญ่กว่าเสมอเนื่องจากองค์ประกอบใน subarray ที่แบ่งพาร์ติชันนั้นน้อยกว่าเดือย$\alpha \in (0.5, 1)$

หากเดือยอยู่ในช่วงครึ่งแรกของอาเรย์ดั้งเดิม (น้อยกว่าครึ่งหนึ่งของจำนวนนั้น) ค่ามัธยฐานจะอยู่ในช่วงครึ่งหลังที่ใหญ่กว่าอย่างแน่นอนเพราะเมื่อพบค่ามัธยฐานแล้วจะต้องอยู่ในตำแหน่งกึ่งกลางของอาเรย์และ ทุกอย่างก่อนเดือยมีขนาดเล็กลงตามที่ระบุไว้ข้างต้น

ถ้าเดือยอยู่ในช่วงครึ่งหลังของอาเรย์ดั้งเดิม (มากกว่าครึ่งขององค์ประกอบ) ค่ามัธยฐานจะครึ่งแรกที่ใหญ่กว่าแน่นอนด้วยเหตุผลเดียวกันทุกอย่างก่อนที่เดือยจะถือว่าเล็กกว่า

ตัวอย่าง:

3 4 5 8 7 9 2 1 6 10

ค่ามัธยฐานคือ 5

สมมติว่าเดือยที่เลือกคือ 2 ดังนั้นหลังจากการวนซ้ำครั้งแรกมันจะกลายเป็น:

1 2 .... ส่วนที่ใหญ่กว่า ....

เฉพาะ1และ2ถูกสลับหลังจากการวนซ้ำครั้งแรก หมายเลข 5 (ค่ามัธยฐาน) ยังคงอยู่ในครึ่งแรกที่มากขึ้น (ที่สอดคล้องกับเดือย 2) ประเด็นคือค่ามัธยฐานมักจะอยู่ที่ครึ่งที่มากกว่าจะมีโอกาสได้อยู่ใน subarray ขนาดเล็กได้อย่างไร

สมมติว่าอาเรย์ของคุณมีองค์ประกอบตัว ดังที่คุณได้บันทึกไว้ค่ามัธยฐานจะอยู่ในส่วนที่ใหญ่กว่าเสมอหลังจากพาร์ติชันแรก ส่วนที่มีขนาดใหญ่มีขนาดที่มากที่สุดα nถ้าส่วนหนึ่งมีขนาดเล็กมีขนาดอย่างน้อย( 1 - α ) n นี้เกิดขึ้นเมื่อคุณเลือกเดือยที่ไม่ได้เป็นหนึ่งในที่เล็กหรือใหญ่ที่สุด( 1 - α ) nองค์ประกอบ เพราะα > 1 / 2คุณรู้ว่าสิ่งเหล่านี้เป็นชุดเคลื่อนดังนั้นความน่าจะเป็นของการกดปุ่มหนึ่งใน pivots ที่ไม่ดีเป็นเพียง2 - 2 αและ1 $n$$\alpha n$$(1-\alpha) n$$(1-\alpha) n$$\alpha > 1/2$$2 - 2\alpha$ 1$1- 2 + 2\alpha=2\alpha - 1$