ค้นหาว่าใครจะซื้อครัวซองต์บ้าง

ทีมได้ตัดสินใจแล้วว่าทุกคนควรนำครัวซองต์มาให้ทุกคน ไม่ควรเป็นคนคนเดียวกันทุกครั้งดังนั้นควรมีระบบในการพิจารณาว่าใครเป็นเทิร์นถัดไป วัตถุประสงค์ของคำถามนี้คือการกำหนดอัลกอริทึมสำหรับการตัดสินใจว่าใครจะเป็นคนเปิดครัวซองต์ในวันพรุ่งนี้

ข้อ จำกัด สมมติฐานและวัตถุประสงค์:

• ที่เปิดก็จะนำครัวซองต์จะถูกกำหนดในช่วงบ่ายก่อนหน้า
• ในบางวันบางคนไม่อยู่ อัลกอริทึมต้องเลือกใครบางคนที่จะนำเสนอในวันนั้น สมมติว่าการขาดทั้งหมดเป็นที่ทราบล่วงหน้าหนึ่งวันดังนั้นผู้ซื้อครัวซองต์สามารถตัดสินใจได้ในช่วงบ่ายก่อนหน้านี้
• โดยรวมแล้วคนส่วนใหญ่อยู่ในเกือบทุกวัน
• เพื่อผลประโยชน์ของความเป็นธรรมทุกคนควรซื้อครัวซองต์หลายครั้ง (โดยทั่วไปสมมติว่าสมาชิกทุกคนในทีมมีจำนวนเงินเท่ากันเพื่อใช้จ่ายกับครัวซองต์)
• มันจะเป็นการดีถ้ามีองค์ประกอบของการสุ่มหรือการรับรู้อย่างน้อยเพื่อที่จะบรรเทาความเบื่อของบัญชีรายชื่อ นี่ไม่ใช่ข้อ จำกัด อย่างหนัก: มันเป็นการตัดสินใจเชิงสุนทรียะมากกว่า อย่างไรก็ตามบุคคลเดียวกันไม่ควรเลือกสองครั้งติดต่อกัน
• บุคคลที่นำครัวซองต์มาด้วยควรทราบล่วงหน้า ดังนั้นหากบุคคล P ต้องนำครัวซองต์ในวันที่ D ดังนั้นความจริงข้อนี้ควรถูกกำหนดในวันก่อนหน้าซึ่งมีบุคคล P อยู่ด้วย ตัวอย่างเช่นหากพนักงานเก็บเงินตัวสำรองถูกกำหนดวันก่อนเสมอควรเป็นหนึ่งในบุคคลที่เข้าร่วมเมื่อวานนี้
• จำนวนสมาชิกในทีมมีขนาดเล็กเพียงพอที่ทรัพยากรการจัดเก็บและการคำนวณมีไม่ จำกัด อย่างมีประสิทธิภาพ ตัวอย่างเช่นอัลกอริทึมสามารถพึ่งพาประวัติที่สมบูรณ์ของผู้ที่นำครัวซองต์เมื่อในอดีต การคำนวณไม่กี่นาทีบนพีซีที่รวดเร็วทุกวันก็โอเค

นี่เป็นรูปแบบของปัญหาในโลกแห่งความเป็นจริงดังนั้นคุณมีอิสระที่จะท้าทายหรือปรับแต่งสมมติฐานหากคุณคิดว่าพวกเขาทำแบบจำลองสถานการณ์ได้ดีขึ้น

แหล่งกำเนิดสินค้า: หาผู้ที่จะซื้อครัวซองต์โดยFlorian Margaine การปฏิรูปของฉันที่นี่มีข้อกำหนดแตกต่างกันเล็กน้อย

มีสองประเภทของการแก้ปัญหาในการเรียงลำดับของปัญหานี้ที่ฉันรู้คือสลากลำเอียงและกรอง / ลำดับที่สร้างแบบสุ่ม

ก่อนอื่นมาแจกจ่ายด้วยวิธีแก้ปัญหาที่ง่าย แต่ไม่ถูกต้อง โซลูชันลอตเตอรีสไตล์ใด ๆ ที่ไม่มีรัฐจะมีจำนวนชัยชนะในการแจกแจงแบบทวินามซึ่งจะไม่ผ่านเกณฑ์ "หลายต่อหลายครั้ง" คุณสามารถเลือกลำดับแบบสุ่มที่เลือกคนทุกคนอย่างเท่าเทียมกัน (เพียงแค่ไปที่รายการทำเช่นนั้นการเรียงสับเปลี่ยนให้การสุ่ม) แต่เมื่อผู้คนเริ่มเดินทางไปพักผ่อนวันหยุดตอนนี้ลำดับของคุณจะมีรู หากคุณไม่ติดตามคุณจะพบว่าตัวเองมีการแจกแจงแบบทวินามมากกว่าการบำรุงรักษาอย่างเท่าเทียมกัน

ลองทำยังมีแบบแผนที่แท้จริง คุณอาจต้องการสิ่งนี้เพื่อให้คนไม่สามารถกำหนดวันหยุดพักผ่อนของพวกเขาบนพื้นฐานของอัลกอริทึมที่กำหนดไว้เพื่อที่พวกเขาจะไม่เคยปรากฏตัวเมื่อพวกเขาหันไปซื้อครัวซองต์ (จนกว่าพวกเขาจะหมดวันหยุดพักผ่อนทั้งหมด) .

ดังนั้นในการแก้ปัญหาทั้งสองประเภท

1. เพื่อสร้างการจับสลากลำเอียงโน้ตตัวแรกที่เราสามารถเลือกจากสวยมากๆกระจายอย่างต่อเนื่อง (มีค่าเบี่ยงเบน จำกัด ) เพื่อสร้างตัวเลขสำหรับการจับสลากของเรา ผู้แพ้สามารถเป็นคนที่มีจำนวนต่ำที่สุดได้ จากนั้นอคติที่ง่ายที่สุดคือการติดตามว่าแต่ละคนซื้อมากหรือน้อยกว่าส่วนแบ่งของพวกเขาหรือไม่ คุณสามารถวัดความลำเอียงในหน่วยของครัวซองต์ คุณสามารถปรับระดับของการสุ่มโดยการเปลี่ยนความกว้างและรูปร่างของการกระจายซึ่งจะกำหนดว่าบุคคลใดจะได้รับจาก "จำนวนครั้งที่เท่ากัน" เกาส์เชียนเป็นเรื่องง่าย พวกเขาอนุญาตให้ประหลาดใจที่สมเหตุสมผลโดยไม่มีหางที่ยาวเกินไป ("ไม่ยุติธรรม") ดังนั้นรูปร่างพื้นฐานของการแก้ปัญหาคือ (ในรหัสสกาล่า)

   case class Employee(var bias: Double) {
     def eat         { bias -= 1 }
     def buy(n: Int) { bias += n }
     def roll        = bias + stdev * Random.nextGaussian
   }
   

   คุณสามารถติดตามผู้ที่ซื้อครั้งสุดท้ายและให้โบนัสอคติอย่างมากแก่พวกเขา (เช่น10*stdev) เพื่อป้องกันไม่ให้ผู้ซื้อซื้อสองครั้งติดต่อกันในกรณีที่ขอบซึ่งโครงสร้างวันหยุดอนุญาตให้ทุกคนซื้อเวลา "ครั้งสุดท้าย" (เช่นคุณซื้อแล้วไปพักผ่อน) สิ่งเดียวกันที่ไม่ได้มีในวันที่พวกเขาถูกเลือก (หากมีคนหายไปทุกวันในที่สุดพวกเขาก็จะเกิดขึ้นเมื่อพวกเขาลุกไหม้ผ่านโบนัสอคติของพวกเขาฉันคิดว่านี่เป็นคุณสมบัติมากกว่าข้อบกพร่อง)

   ดังนั้นคุณจึงรวบรวมรายชื่อพนักงานปัจจุบันสำหรับวันนั้นให้พวกเขาทั้งหมดจับสลากเลือกต่ำสุดและอัปเดต คุณสามารถเลือกได้ว่าจะให้โบนัสการซื้อเท่ากับจำนวนพนักงานหรือไม่ (ดีเมื่อค่าใช้จ่ายน้อยมาก แต่การเดินทางไปรับครัวซองต์นั้นเป็นภาระ) จำนวนพนักงานที่เข้าร่วม (ดีถ้าการเดินทางนั้นง่าย แต่ค่าใช้จ่ายเป็นภาระ ) หรือบางสิ่งในระหว่าง (เพื่อรับทราบภาระทั้งสอง) มันอาจจะดีกว่าถ้าคุณได้รับโทษ "กิน" สำหรับคนที่มีอยู่ แต่คุณสามารถทำได้หากคุณรู้สึกว่าการไปพักผ่อนวันหยุดไม่ได้ให้คะแนนที่ถูกต้อง

2. หากต้องการสร้างลำดับสุ่มที่กรองแล้วขั้นแรกคุณต้องสร้างลำดับสุ่ม การสับเปลี่ยนรายชื่อพนักงานเป็นวิธีที่ดีในการเริ่มต้น เพียงไปที่รายการตามลำดับในแต่ละวัน หากใครบางคนไม่สามารถซื้อได้เพราะพวกเขาขาดหรือไม่สามารถบอกหรือซื้อมาก่อนได้ให้ข้ามพวกเขาไป ตอนนี้คุณมีปัญหา: คุณกำลังรวบรวมคนที่ถูกข้ามไป ไม่เป็นไรแม้ว่า เมื่อคุณไปถึงจุดสิ้นสุดของลำดับของคุณผนวกรายการของพนักงานที่ถูกข้ามไปยังรายการทั้งหมดก่อนที่จะสับ ตอนนี้ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นนั้นแปรผันตามจำนวนครั้งที่คุณข้ามไปซึ่งจะรักษาคุณสมบัติ "จำนวนครั้งที่เท่ากัน"

   หากคุณใช้การสลับแบบมาตรฐานคุณสามารถหาปริมาณการสุ่มได้อย่างง่ายดายเมื่อไม่มีวันหยุดพักผ่อน หากคุณเลือกคนโดยสมบูรณ์แบบสุ่มความรู้ของผู้ที่จะนำมาต่อไปจะมี$\log_2(N)$ บิตของข้อมูลถ้ามี $N$พนักงาน อย่างไรก็ตามแทนเท่านั้น$N!$ แทน $N^N$ อนุญาตลำดับที่เป็นไปได้ดังนั้นข้อมูลจะถูกลดลง $\log_2\left[\left( {N!} \over {N^N} \right)^{1/N}\right] \approx -{1 \over {\log(2)}} + {\log_2{\sqrt{2 \pi / N}} \over N } \approx -1.4$ บิต (สำหรับขนาดใหญ่ $N$; สำหรับ$N=10$ มันเป็น $~1.14$)

โดยส่วนตัวแล้วฉันชอบโซลูชันลอตเตอรีแบบลำเอียงเพราะการควบคุมแบบสุ่มนั้นดีกว่า ด้วยลำดับการกรองคุณสามารถหาวิธีที่ซับซ้อนมากขึ้นในการสร้างลำดับ ตัวอย่างเช่นแทนที่จะใช้การเปลี่ยนแปลงแบบสุ่มดำเนินการแลกเปลี่ยนในระยะห่างที่กำหนดหรืออนุญาตให้มีการสลับผู้คนออกจากสระอย่างสิ้นเชิง (แต่พวกเขาไปสู่รายการที่ข้าม) แต่สิ่งเหล่านี้ต้องการความพยายามแบบอัลกอริธึมมากกว่า ด้วยลอตเตอรี่คุณเพียงแค่ปรับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ปล่อย $\{P_1,...,P_n\}$เป็นชุด byers ของครัวซองต์ ปล่อย${v_i}^k-1$ เป็นจำนวนเงินที่ใช้ไป $P_i$ ในครัวซองต์ถึงวันที่ $k$(อาจเป็นจำนวนครั้งที่เขาซื้อครัวซองต์ถ้าพวกเขาใช้เงินเท่าเดิมไม่ว่าจะมีคนกี่คนในโลกนี้ซึ่งดูไม่ฉลาดพอสำหรับคนรักครัวซองต์ของเรา) $-1$ มีไว้สำหรับการเริ่มต้นและเพื่อหลีกเลี่ยงการหารด้วย $0$.

สำหรับบางพารามิเตอร์ $l$, ปล่อย $v^k=\sum_{i=1}^n ({v_i}^k)^l$.

ในเวลากลางวัน $k$พวกเขาเลือกผู้ซื้อครัวซองต์ในวันถัดไปโดยการสุ่มตัวแปรที่เป็นผลลัพธ์ $i$ ด้วยความน่าจะเป็น $1-\frac{(v_i^k)^l}{v^k}$. หากคนที่เลือกไม่ได้อยู่ที่นี่ (วันนี้หรือวันหลังจากนั้น) พวกเขาโยนเหรียญอีกครั้งจนกว่าพวกเขาจะพบคนที่เหมาะสม (เขามีอยู่เพราะพวกเขาส่วนใหญ่อยู่ที่นี่ทุกวัน ... )

และพวกเขาใช้ชีวิตอย่างมีความสุขจนกระทั่งพบว่า $P_1$คนขี้ขลาดนั้นอยู่ที่นั่นแค่วันเดียวกับสองวันและดังนั้นอย่าซื้อครัวซองต์!

หลังจากการไตร่ตรองบางอย่าง (และอาจเป็นการทรมานเล็กน้อย $P_1$ ดังนั้นเขาจึงคืนเงินให้ครัวซองต์ที่เขากินโดยไม่จ่ายเงิน) พวกเขาปรับเปลี่ยนอัลกอริทึมของพวกเขา

พวกเขาคำนวณราคาเฉลี่ยของครัวซองต์ที่พวกเขาจ่ายทุกวันและเรียกมันว่า $v$.

ในวันแรกพวกเขาคำนวณการวางแผนผู้ซื้อสำหรับวันต่อ ๆ ไป เมื่อต้องการทำเช่นนั้นพวกเขาจะทำเหมือนก่อนหน้ากับตัวแปรสุ่มและการปรับปรุง$v_i^k$ โดยราคาที่พวกเขาควรจะจ่ายในวันที่ $k$คือการเพิ่ม $v$ทุกครั้งที่พวกเขาวางแผนที่จะไปทำขนมปัง เพราะพวกเขาฉลาดและพวกเขาไม่ต้องการจ่ายมากเกินไปพวกเขายังจำได้ว่าพวกเขาจ่ายเงินจริงๆเท่าไหร่ในแต่ละวัน$k$ ดังนั้นเมื่อพวกเขาจะอัพเดทการวางแผนจะไม่มีใครถูกลงโทษ

พวกเขาวางแผนจนกระทั่งทุกคน $P_i$ มีวันที่ในอนาคตที่เขาควรซื้อครัวซองต์

ถ้า $P_i$ มีแผนจะซื้อครัวซองต์ในวันที่ $k+1$ แต่ประกาศว่าเขาไม่สามารถในวันที่ $k$ (หรือถ้าเขาไม่ได้อบอุ่น) เขาให้ที่อยู่กับใครบางคนที่ไม่มีภาระผูกพันในวันรุ่งขึ้นเช่น $P_j$ และเขาจะเลี้ยวต่อไปของ $P_j$.

วันที่เมื่อวันแรกของการ $P_i$ ไม่ได้วางแผนที่จะซื้อครัวซองต์ในอนาคตพวกเขาวางแผนการขยายของพวกเขา (ด้วยตัวแปรสุ่มที่คำนวณด้วย $v_i^k$ อัปเดตเป็นจำนวนเงินจริงที่พวกเขาจ่ายและจำนวนเงินที่วางแผนไว้) จนกว่าทุกคนจะกลับสู่บรรทัด

และเมื่อสิ่งนี้ดำเนินไปตลอดไปพวกเขามีความสุขและแบ่งปันราคาของครัวซองต์อย่างเท่าเทียมกัน

แต่ $P_1$ไม่มีความสุข แน่นอนเขาคิดว่าเลือก$l$มีขนาดเล็กเกินไปและความน่าจะเป็นที่จะต้องจ่ายสองครั้งติดต่อกันใหญ่เกินไป อะไรก็ตาม ... คนอื่น ๆ ให้เขาเลือก$l$มีขนาดใหญ่เท่าที่เขาต้องการ เพราะเขาไม่พอใจ แต่ไม่ได้โง่เขาเลือก$l=k$ เมื่อเวลาผ่านไปแม้ว่าอัตราส่วนระหว่างผู้จ่ายเงินรายใหญ่และผู้เล่นรายเล็กจะไม่ได้รับการพิจารณา $l$ มักจะเน้นมัน

ยังคง $P_1$ ไม่มีความสุขมากเขาอยู่ที่นั่นเพียงครึ่งเดียวของวัน (ดังนั้นครึ่งหนึ่งของครัวซองต์) และต้องจ่ายเท่าที่ $P_2$ที่นี่ทุกวัน ที่ไม่เป็นธรรม!

แต่เป็นเพราะพวกเขาเหนื่อยกับความไม่พอใจ $P_1$พวกมันไล่ล่า แต่ในมุมของหัวพวกเขายังคงคิดที่จะเปลี่ยน$v_i^k$ ในความแตกต่างระหว่างสิ่งที่พวกเขาจ่ายและสิ่งที่พวกเขากิน (ปกติเพื่อรับค่าบวก) แต่พวกเขาขี้เกียจเกินไปและเต็มไปด้วยครัวซองต์

Ps: ขออภัยสำหรับภาษาอังกฤษที่ไม่ดี แต่ฉันไม่ใช่เจ้าของภาษาและมันก็สาย ...โปรดอย่าลังเลที่จะแก้ไขข้อผิดพลาด (และอาจเพิ่มเครื่องเทศให้กับเรื่องราว ... )

ซ้ำทุกครั้งที่คุณมี

• รายชื่อของคนที่มีอยู่และพร้อมที่จะซื้อ
• ผู้ซื้อก่อนหน้านี้

หากคุณเลือกบุคคลโดยการสุ่มในหมู่คนในรายการและไม่รวมผู้ซื้อรายก่อนหน้านี้คุณจะบรรลุวัตถุประสงค์ของคุณ:

1. อัลกอริทึมคือการสุ่ม "สูงสุด" ในขณะที่เราใช้จำนวนข้อมูลขั้นต่ำจากการวนซ้ำก่อนหน้านี้และเลือกแบบสุ่ม
2. โดยเฉลี่ยคนจ่ายสำหรับครัวซองต์ (N / (N-1)) ทุกครั้งที่พวกเขามีส่วนร่วมในการสกัดทำให้อัลกอริทึมเป็นธรรมที่สุด
3. ฉันขอแนะนำให้กำจัดกฎที่ไม่ทำซ้ำเพื่อให้เกิดการสุ่มอย่างสูงสุด

อัลกอริทึมอื่น ๆ ที่ฉันเคยเห็นมีการสุ่มน้อยหรือยุติธรรมน้อย:

1. อัลกอริธึม "Deck shuffle" ไม่สุ่มอย่างแท้จริงในแง่ที่ความน่าจะเป็นที่จะต้องจ่ายไม่คงที่ (1 / N ในการเลือกครั้งแรก 1 / (N-1) ในครั้งที่สอง ... 1 ที่การเลือก Nth - - หากยังไม่มีใครเลือก) นอกจากนี้หากคุณเลือกก่อนคุณจะมีโอกาสเลือกเป็นศูนย์สำหรับ N ครั้งถัดไป ระบบแตกง่ายโดยการเข้ามาไม่ค่อยได้จนกว่าจะถูกเลือกและต่อเนื่องตลอดเวลา

2. อัลกอริธึม "ชดเชย" ที่พยายามทำให้ทุกคนได้รับครัวซองต์จำนวนเท่าเดิมแทนที่จะอาศัยคุณสมบัติของตัวเลขสุ่มไม่สามารถสุ่มหรือยุติธรรม (หรือทั้งสองอย่าง)