ความเข้มข้นที่คมชัดสำหรับการเลือกผ่านการแบ่งแบบสุ่ม?

อัลกอริธึมธรรมดาทั่วไปสำหรับการค้นหาองค์ประกอบค่ามัธยฐานในอาร์เรย์ของจำนวนคือ:$A$$n$

• ตัวอย่างองค์ประกอบจากพร้อมการเปลี่ยนเป็น$n^{3/4}$$A$$B$
• จัดเรียงและค้นหาอันดับองค์ประกอบและของ$B$$|B|\pm \sqrt{n}$$l$$r$$B$
• ตรวจสอบว่าและอยู่บนด้านตรงข้ามของค่ามัธยฐานของและว่ามีมากที่สุดองค์ประกอบในระหว่างและสำหรับบางคนคงเหมาะสม0 ล้มเหลวหากสิ่งนี้ไม่เกิดขึ้น$l$$r$$A$$C\sqrt{n}$$A$$l$$r$$C > 0$
• มิฉะนั้นหาค่ามัธยฐานโดยการจัดเรียงองค์ประกอบของระหว่างและ$A$$l$$r$

ไม่ยากที่จะเห็นว่าสิ่งนี้ทำงานในเวลาเชิงเส้นและประสบความสำเร็จกับความน่าจะเป็นสูง (เหตุการณ์ที่ไม่ดีทั้งหมดเป็นความเบี่ยงเบนขนาดใหญ่ห่างจากความคาดหวังของทวินาม)

อัลกอริธึมสำรองสำหรับปัญหาเดียวกันซึ่งเป็นธรรมชาติมากกว่าที่จะสอนให้นักเรียนที่เห็นการเรียงลำดับอย่างรวดเร็วเป็นสิ่งที่อธิบายไว้ที่นี่: การเลือกแบบสุ่ม

นอกจากนี้ยังเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าสิ่งนี้มีระยะเวลาที่คาดว่าจะเป็นเส้นตรง: พูดว่า "รอบ" เป็นลำดับของการเรียกซ้ำที่สิ้นสุดเมื่อมีการแบ่ง 1 / 4-3 / 4 จากนั้นสังเกตว่าความยาวที่คาดหวังของ รอบที่มากที่สุด 2. (ในการดึงครั้งแรกของรอบความน่าจะเป็นของการแยกที่ดีคือ 1/2 และหลังจากนั้นเพิ่มขึ้นตามจริงแล้วอัลกอริทึมถูกอธิบายเพื่อให้ความยาวรอบถูกครอบงำโดยตัวแปรสุ่มทางเรขาคณิต)

ดังนั้นตอนนี้คำถาม:

เป็นไปได้หรือไม่ที่จะแสดงว่าการเลือกแบบสุ่มทำงานในเวลาเชิงเส้นที่มีความน่าจะเป็นสูงหรือไม่?

เรามีรอบและแต่ละรอบมีความยาวอย่างน้อยด้วยความน่าจะเป็นที่มากที่สุดดังนั้นการรวมกันทำให้เวลาในการทำงานคือกับความน่าn)$O(\log n)$2 - k + 1 O ( n บันทึกบันทึกn ) 1 - 1 / O ( บันทึกn $k$$2^{-k+1}$$O(n\log\log n)$$1-1/O(\log n)$

นี่เป็นเรื่องที่ไม่น่าพอใจ แต่จริง ๆ แล้วมันเป็นความจริงหรือไม่?

มันไม่เป็นความจริงที่อัลกอริทึมทำงานในเวลาเชิงเส้นที่มีความน่าจะเป็นสูง พิจารณาเพียงรอบแรกเวลาทำงานอย่างน้อยครั้งตัวแปรสุ่ม ให้เป็นความน่าจะเป็นที่ล้มเหลวที่ได้รับอนุญาต เนื่องจากเวลาทำงานจึงเป็นอย่างน้อย(n)$\Theta(n)$$G(1/2)$$p(n) \longrightarrow 0$$\Pr[G(1/2) \geq \log_2 p(n)^{-1}] = p(n)$$\Omega(n \log_2 p(n)^{-1}) = \omega(n)$

(มีบางส่วนที่เกี่ยวข้องกับการโกงเนื่องจากความยาวของรอบแรกไม่ใช่จริง ๆ การวิเคราะห์อย่างระมัดระวังอาจเพิ่มเติมหรืออาจไม่ตรวจสอบคำตอบนี้)$G(1/2)$

แก้ไข: Grübelและ Rosler พิสูจน์ว่าจำนวนการเปรียบเทียบที่คาดหวังหารด้วยมีแนวโน้ม (ในบางแง่มุม) ถึงการกระจายแบบ จำกัด ซึ่งไม่มีขอบเขต ดูตัวอย่างกระดาษของGrübel "อัลกอริธึมการเลือกของ Hoare: แนวทางลูกโซ่มาร์คอฟ" ซึ่งอ้างอิงเอกสารต้นฉบับของพวกเขา$n$