การแยกเอกซ์โพเนนเชียลระหว่าง NFA และ DFAs ต่อหน้าสหภาพ

เมื่อเร็ว ๆ นี้มีการถามคำถามที่น่าสนใจและถูกลบในภายหลัง

สำหรับภาษาปกติความซับซ้อนของDFAคือขนาดของ DFA ขั้นต่ำที่ยอมรับและความซับซ้อนของNFAคือขนาดของ NFA ขั้นต่ำที่ยอมรับได้ เป็นที่ทราบกันดีว่ามีการแยกเอกซ์โพเนนเชียลระหว่างความซับซ้อนสองอย่างน้อยเมื่อขนาดของตัวอักษรไม่ได้ จำกัด จริง ๆ ลองพิจารณาภาษาแทนอักษรประกอบด้วยคำทั้งหมดที่ไม่มีสัญลักษณ์ทั้งหมด ใช้ Myhill-Nerode ทฤษฎีบทมันเป็นเรื่องง่ายในการคำนวณ DFA ซับซ้อน n ในทางกลับกันความซับซ้อนของ NFA เป็นเพียง (ถ้าอนุญาตเริ่มต้นหลายสถานะมิฉะนั้นจะเป็น ) $L$ $L_n$ $\{1,\ldots,n\}$ $2^n$ $n$ $n+1$

คำถามที่เกี่ยวข้องลบDFA ครอบคลุมความซับซ้อนของภาษาซึ่งเป็นน้อยที่สุดเช่นว่าสามารถเขียนเป็นสหภาพ (ไม่จำเป็นต้องเคลื่อน) ภาษาของความซับซ้อน DFA ที่มากที่สุดCความซับซ้อนครอบคลุม DFA ของเป็นเพียง2 $C$ $L$ $C$ $L_n$ $2$

มีการแยกชี้แจงระหว่างความซับซ้อนของ NFA และ DFA ที่ครอบคลุมความซับซ้อนหรือไม่

regular-languages finite-automata

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

พิจารณาภาษาโดยที่คือสัญลักษณ์ใหม่ ความซับซ้อนของ NFA เป็นnเราจะแสดงให้เห็นว่าความซับซ้อนของมันครอบคลุม DFA เป็น n $M_n = \epsilon +(L_n \#)^*L_n$ $\#$ $M_n$ $n$ $2^n$

ให้เป็น DFA ยอมรับบางภาษาด้วยฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแปลงโทรรัฐทำงานได้ถ้ามีบางคำดังกล่าวว่าเป็นรัฐยอมรับ สำหรับสถานะที่ไม่ใช่ความล้มเหลวใด ๆ , ให้ $A$ $L(A) \subseteq M_n$ $q_A$ $s$ $w$ $q_A(s,w)$ $s,t$ มันไม่ได้เป็นเรื่องยากที่จะตรวจสอบว่าทุกคำพูดสามารถเขียนเป็นที่สำหรับบางคนที่ทำงานฉัน

A_{s, t} = {w \in (1 + \dots + n)^{*} : q_{A} (s, w) = t} .

$A_{s,t} = \{ w \in (1+\cdots+n)^* : q_A(s,w) = t \}.$

w \in L (A)

$w \in L(A)$

w = w_{1} # \dots # w_{l}

$w = w_1\# \cdots \#w_l$

w_{i} \in A_{s_{i}, t_{i}}

$w_i \in A_{s_i,t_i}$

s_{i}, t_{i}

$s_i,t_i$

สมมติว่าโดยที่แต่ละคือ DFA ให้เป็นตาข่ายที่สร้างขึ้นโดยทุกภาษาเสื้อเราสามารถดูเป็นภาษากว่าช่องว่างระหว่างสองสัญลักษณ์ที่สอดคล้องกับ#ภายใต้มุมมองนี้ $M_n = \bigcup_{i=1}^N L(A^i)$ $A^i$ $P$ $A^i_{s,t}$ $L(A^i)$ $L_P(A^i)$ $P^*$ $\#$ $M_n$ สอดคล้องกับ * $P^*$

โทรสากลถ้าบางมันเป็นกรณีที่สำหรับทุกมีเช่นว่า )เราอ้างว่าบางสากล มิฉะนั้นมีมากที่สุด $L_P(A^i)$ $x \in P^*$ $y \in P$ $z \in P^*$ $xyz \in L_P(A^i)$ $L_P(A^i)$ $L_P(A^i)$ คำของความยาวLโดยรวมจะต้องมีทั้งหมดคำของความยาวจึงซึ่งเป็นละเมิดสำหรับขนาดใหญ่พอที่ลิตร $(|P|-1)^l$ $l$ $L_P(A^i)$ $|P|^l$ $l$ $|P|^l \leq N (|P|-1)^l$ $l$

สมมติว่าเป็นสากลและเขียนสำหรับความกะทัดรัด ให้เป็นคำนำหน้าที่สอดคล้องกันและให้เป็นคำที่เกี่ยวข้อง ดังนั้นในแต่ละมีบางเช่นว่า ) $L_P(A^i)$ $A = A^i$ $x' \in P^*$ $x \in M_n$ $y \in L_n$ $z_y \in M_n$ $x\#y\#z_y \in L(A_i)$

สำหรับเซตย่อยให้ประกอบด้วยตัวอักษรตามลำดับเขียน เราอ้างว่าคำมี inequivalent สำหรับความสัมพันธ์ Myhill-Nerode ของ อันที่จริงสมมติว่าและพบบาง (โดยไม่สูญเสียของทั่วไป) จากนั้น $S \subseteq \{1,\ldots,n\}$ $y_S$ $S$ $x\#y_S$ $A$ $S \neq T$ $a \in S \setminus T$ ในขณะที่ . ดังนั้นจะต้องมีอย่างน้อยรัฐ $x\#y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a} \# z_{y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a}} \in L(A)$ $x\#y_S y_{\{1,\ldots,n\} - a} \# z_{y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a}} \notin M_n$ $A$ $2^n$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา