การค้นหาการแยกตัวประกอบสูงสุดของภาษาปกติ

Let ภาษา$\mathcal{L} \subseteq \Sigma^*$เป็นปกติ

การแยกตัวประกอบของ$\mathcal{L}$เป็นคู่สูงสุด$(X,Y)$ของชุดคำด้วย

• $X \cdot Y \subseteq \mathcal{L}$
• $X \neq \emptyset \neq Y$ ,

โดยที่$X \cdot Y = \{xy$ | $x \in X, y \in Y\}$ }

$(X,Y)$$(X',Y') \neq (X,Y)$$X'\cdot Y' \subseteq \mathcal{L}$ Y ⊈ Y $X \not \subseteq X'$$Y \not \subseteq Y'$

มีขั้นตอนง่าย ๆ ในการค้นหาว่าคู่ใดมีค่าสูงสุด?

ตัวอย่าง:

Let * ชุดถูกคำนวณ: F = { u , v , w $\mathcal{L} = \Sigma^∗ab \Sigma^∗$$F = \{u, v, w\}$

• $u =(\Sigma^∗, \Sigma^∗ab\Sigma^∗)$

• $v = (\Sigma^∗a\Sigma^∗, \Sigma^∗b\Sigma^∗)$

• $w = (\Sigma^∗ab\Sigma^∗, \Sigma^∗)$

ที่\}$\Sigma = \{a,b\}$

ตัวอย่างอื่น:

L = Σ ∗ a Σ F = { q , r , s , t $\Sigma = \{a, b\}$และ Factorization setด้วย$\mathcal{L} = \Sigma^*a\Sigma$$F = \{q, r, s, t\}$

• $q = (\Sigma^*, \mathcal{L})$

• $r = (\Sigma^*a, \Sigma + \mathcal{L})$

• $s = (\Sigma^*aa, \epsilon + \Sigma + \mathcal{L})$

• $t = (\mathcal{L}, \epsilon + \mathcal{L})$

ตามที่แนะนำในการแสดงความคิดเห็นต่อคำถามฉันจะพยายามให้คำตอบสำหรับคำถาม (น่าเสียดายที่บางส่วน) อย่างน้อยที่สุดเท่าที่ฉันได้เข้าใจปัญหาด้วยตัวเอง (นี่ก็หมายความว่าคุณอาจพบข้อผิดพลาด วิธีที่จะอธิบายสั้น ๆ หรือชัดเจนมากขึ้นหนึ่งในจุดด้านล่างอย่าลังเลที่จะแก้ไขคำตอบตามนั้น):

อันดับแรกเราควรทราบว่าเราไม่จำเป็นต้องคำนวณออโตเมติกสากลของภาษาหากเราต้องการคำนวณ factorizations ของภาษา

จากบทความที่กล่าวถึงในความคิดเห็นของฉัน there มีการโต้ตอบ 1-1 ระหว่างปัจจัยด้านซ้ายและด้านขวาของภาษาปกตินั่นคือเนื่องจากปัจจัยด้านซ้ายของภาษาปัจจัยด้านขวาที่สอดคล้องกันจะถูกกำหนดโดยเฉพาะและในทางกลับกัน แม่นยำยิ่งขึ้นเรามีสิ่งต่อไปนี้:

Letเป็นตัวประกอบของLจากนั้น นั่นคือปัจจัยด้านซ้ายใด ๆ คือจุดตัดของการหารที่ถูกต้องและ ปัจจัยที่ถูกต้องใด ๆ คือจุดตัดของผลคูณหารซ้าย ตรงกันข้ามสี่แยกบวกลบคูณหารซ้ายของเป็นปัจจัยทางด้านขวาของและสี่แยกบวกลบคูณหารขวาของใด ๆเป็นปัจจัยทางด้านซ้ายของLL Y = ⋂ x ∈ X x - 1 L , X = ⋂ y ∈ Y L y - 1 , L L L $(X,Y)$$L$

โปรดทราบว่าสำหรับภาษาปกติมีเพียงชุด จำกัด ของผลบวกซ้ายและขวาและดังนั้นหรือปัญหาลดการคำนวณความฉลาดทางซ้ายและขวาของภาษาและจากนั้นเพื่อคำนวณเสถียรปิดนั่นคือ superset น้อยที่สุดของการหารที่ปิดภายใต้สี่แยก เหล่านี้เป็นอย่างแม่นยำแล้วปัจจัยที่เหมาะสมและปัจจัยทางด้านซ้ายและจากนั้นก็มักจะง่ายที่จะเห็นซึ่งคู่เป็นส่วนย่อยของL$\cap$$L$

ตัวอย่าง

ในการอธิบายประเด็นข้างต้นให้พิจารณาตัวอย่างแรกในคำถาม (ซึ่งฉันคิดว่ามันไม่ถูกต้องในกระดาษด้วย):

Let\ ตอนนี้ผลหารซ้ายของคือเซตสำหรับนั่นคือคำเหล่านั้นในที่สามารถนำหน้าด้วยคือ . เมื่อใดที่สำหรับแตกต่างกัน ? ในกรณีนี้หากและสามารถเพิ่มเป็นคำใน L x - 1 L x ∈ Σ * U Σ * x x U ∈ L Y - 1 L = x - 1 L x , y ที่x Y $L = \Sigma^\ast ab \Sigma^\ast$$L$$x^{-1}L$$x\in \Sigma^\ast$$u$$\Sigma^\ast$$x$$xu \in L$$y^{-1}L=x^{-1}L$$x,y$$x$$y$$L$ด้วยคำต่อท้ายเดียวกันอย่างแม่นยำ นี่หมายถึงการทำให้มันเป็นคำศัพท์ที่คุ้นเคยมากขึ้นพวกมันคือ Nerode-สมมูลและคำต่อท้ายที่ต้องการผนวกเข้ากับคำในคลาส Nerode นั้นเป็นผลหารที่เหลืออย่างแม่นยำ

สำหรับเราเห็นว่าคลาส Nerode-สมมูลของเรานั้น$L$

• a b $N_1$ , ชุดของคำไม่ได้มีเป็นปัจจัยและลงท้ายด้วย, $ab$$a$
• b a $N_2$ชุดคำที่ลงท้ายด้วยและไม่ได้มีเป็นปัจจัยและ $b$$ab$
• a b N 3 = $N_3$ชุดคำที่มีเป็นตัวประกอบนั่นคือ$ab$$N_3 = L$

พวกเขาสามารถเพิ่มด้วยชุดต่อไปนี้ (นั่นคือเหล่านี้เป็นผลหารซ้ายของคำในชั้นเรียนที่เกี่ยวข้อง):

• $S_1 = x^{-1}L$สำหรับในประกอบด้วยคำทั้งหมดใน (คำใด ๆ ที่สามารถเติมด้วยคำที่มีเป็นปัจจัยและทำให้กลายเป็นคำใน ) และที่ คือ$x$$N_1$$L$$ab$$L$$b\Sigma^\ast$$S_1 = L \cup b\Sigma^\ast$
• $S_2 = x^{-1}L$สำหรับในเป็นภาษาตัวเองนั่นคือและ$x$$N_2$$S_2 = L$
• $S_3 = x^{-1}L$สำหรับในจะเห็นได้ชัด\นั่นก็คือเราได้พบสามปัจจัยทางขวาของLในฐานะที่เป็นการเสถียรของพวกเขานั้นมีเพียงเล็กน้อยและสิ่งเหล่านั้นเป็นปัจจัยที่ถูกต้องแม่นยำ$x$$N_3$$\Sigma^\ast$$L$$S_2\subset S_1\subset S_3$$\cap$${S_1,S_2,S_3}$

ดังนั้นชุดตัวประกอบของเราเป็นของแบบฟอร์มS_3)$\mathcal{F}_L$$(P_1,S_1),(P_2,S_2),(P_3,S_3)$

ตอนนี้สำหรับปัจจัยด้านซ้ายเราใช้สมการของการเริ่มต้นคำตอบนี้:$P_i$

สำหรับอัตราผลตอบแทนนี้สำหรับเราได้รับและเราได้รับLคุณสามารถดูสิ่งนี้ได้โดยการตรวจสอบ (ข้ออ้างที่นิยมกันมากที่สุดสำหรับการขี้เกียจเกินกว่าที่จะพิสูจน์หลักฐานอย่างเป็นทางการ) หรือโดยการคำนวณความฉลาดทางขวา (ซึ่งค่อนข้างคล้ายคลึงกันแม้ว่าจะไม่สมบูรณ์ในการคำนวณความฉลาดทางซ้าย) เราให้ความเป็นจริงโดยที่ไหน$P_1$$L \cup \Sigma^\ast a$$P_2$$\Sigma^\ast$$P_3$$L$$\mathcal{F}_L = {u,v,w}$

• $u = (P_1,S_1) = (\Sigma^\ast ab \Sigma^\ast \cup \Sigma^\ast a, \Sigma^\ast ab \Sigma^\ast \cup b\Sigma^\ast)$
• $v = (P_2, S_2) = (\Sigma^\ast, \Sigma^\ast ab \Sigma^\ast)$และ
• $w = (P_3, S_3) = (\Sigma^\ast ab \Sigma^\ast, \Sigma^\ast)$

สรุป

เพื่อสรุป (ตามที่คุณขอขั้นตอนง่าย ๆ ):

• สำหรับการคำนวณความเป็นจริงของภาษาให้คำนวณความฉลาดทางซ้ายของก่อน$L$$L$
• คุณสามารถทำได้ในภาษาของกระดาษโดยการสร้าง DFAขั้นต่ำสำหรับและจากนั้นสำหรับแต่ละสถานะใน (ที่สอดคล้องกันเป็นคลาส Nerode-สมมูลต่อกับหารซ้าย) คำนวณอนาคตของในดังนั้นการได้รับความฉลาดทางซ้ายของภาษาสำหรับแต่ละรัฐ$A$$L$$q$$A$$q$$A$
• การรวบรวมความฉลาดทางซ้ายที่ได้รับด้วยวิธีนี้ทำให้ส่วนย่อยของปัจจัยที่เหมาะสม$S_R$
• Compute แล้วปิด -stable ของซึ่งสามารถทำได้ในทางปฏิบัติโดยการสร้างจุดตัดของชุดย่อยของใด ๆและการเพิ่มส่วนย่อยที่ได้รับในลักษณะนี้จะS_R$\cap$$S_R$$S_R$$S_R$
• ชุดร่วมกันกับทุกแยกจากขั้นตอนก่อนหน้านี้แล้วชุดของปัจจัยทางขวาของL$S_R$$L$
• เพื่อให้ได้ปัจจัยทางด้านซ้ายให้เราสามารถคำนวณบวกลบคูณหารขวาของL$L$
• เหล่านี้เป็นชุดของแบบฟอร์มสำหรับ\ ตอนนี้สิ่งเหล่านี้มีเพียงจำนวน จำกัด อีกครั้งและสำหรับเรามีถ้าหากว่าสำหรับ , , นั่นคือพวกเขาสามารถนำหน้าคำในภาษาด้วยชุดสตริงเดียวกันได้อย่างแม่นยำปี∈ Σ * x ≠ Y L Y - 1 = L x - 1ยู∈ Σ * U x ∈ L ⇔ U Y ∈ $Ly^{-1}$$y\in \Sigma^\ast$$x\neq y$$Ly^{-1} = Lx^{-1}$$u\in \Sigma^\ast$$ux \in L \Leftrightarrow uy \in L$
• การคำนวณพิจารณาบรรดารัฐในเช่นว่ามีอยู่ในอนาคตของคิวการรวมกันของอดีตของรัฐเหล่านั้นประกอบด้วยความฉลาดทางขวาหนึ่งครั้ง ค้นหาจำนวนทั้งหมดเหล่านี้ q A x $Lx^{-1}$$q$$A$$x$$q$
• คุณรู้ว่าคุณทำเสร็จแล้วเมื่อคุณพบปัจจัยที่เหลือมากเท่าที่คุณมีปัจจัยที่ถูกต้อง
• หาคู่พวกซ้ายและขวาปัจจัยดังกล่าวว่าL นี่คือ\X ⋅ Y ⊆ L F$X,Y$$X\cdot Y \subseteq L$$\mathcal{F}_L$

1. Universal Automatonโดย Lombardy และ Sakarovitch (ในตำราในตรรกะและเกมเล่ม 2: Logic และ Automata: ประวัติศาสตร์และมุมมอง , 2007)