ฟังก์ชั่น Scott ต่อเนื่อง: นิยามทางเลือก

ฉันกำลังดิ้นรนกับอสังหาริมทรัพย์นี้จริงๆ:

ให้$X,Y$เป็นช่องว่างที่เชื่อมโยงกันและ$f: Cl(X) \rightarrow Cl(Y)$เป็นฟังก์ชั่นโมโนโทน ต่อเนื่องหากสำหรับเช่นนั้นเป็นชุดกำกับ$f$$f(\bigcup_{x\in D} x)=\bigcup_{x \in D}f(x)$$D \subseteq Cl(X)$$D$

ชุดกำกับการถูกกำหนดไว้ดังนี้: poset คือชุดกำกับ IFFเช่นและZ ย่อมาจาก cliques X:เชื่อมโยงกัน\}$D \subseteq$$\forall x, x' \in D$ $\exists z \in D$$x \subseteq z$$x' \subseteq z$
$Cl(X)$$\{x \subseteq |X| \mid a,b \in x \Rightarrow a$$b \}$

หนังสือหลายเล่มให้คำจำกัดความของฟังก์ชั่นสก็อตต์อย่างต่อเนื่องแต่ไม่ใช่ครูของฉัน เขาให้คำจำกัดความต่อเนื่องกับเรานี้:

$f : Cl(X) \rightarrow Cl(Y)$ต่อเนื่อง iff มันเป็นเสียงเดียวและโดย ที่monotoneถูกกำหนดเป็น: คือ monotone iff$\forall x \in Cl(X), \forall b \in f(x), \exists x_0 \subseteq_{fin} x, b \in f(x_0)$
$f$$a \subseteq b \Rightarrow f(a) \subseteq f(b)$

นี่คือหลักฐานที่เสนอฉันมี แต่ฉันไม่สามารถเข้าใจสมการสุดท้าย

หลักฐานการอย่างต่อเนื่องแสดงถึง$f$$f(\bigcup D)=\bigcup f(D)$ :
LetD) ตามคำนิยามของความต่อเนื่องที่(x_0) โปรดทราบว่าเป็นสหภาพของ \} หากโดยตรงแล้ว:แล้วZ ตามคำนิยามของความน่าเบื่อ,ดังนั้น (???)(D) และแม้จะเป็นจริงเราควรแสดงให้เห็นว่าไม่ใช่แค่$b \in f(\bigcup D)$$\exists x_0 \subset_{fin} x \mid b \in f(x_0)$$x_0$$\{ x_i \mid x_i \in D\}$
$D$$\exists z \in D \mid x_i \subseteq z$$x_0 \subseteq z$$f(x_0)\subseteq f(z)$$b \in f(z)$ $\subseteq \bigcup f(D)$$\bigcup f(D) = f(\bigcup D)$$\subseteq$\

การพิสูจน์นัยอื่น ๆ นั้นแย่ยิ่งกว่าเดิมดังนั้นฉันจึงไม่สามารถเขียนได้ที่นี่ ... คุณช่วยอธิบายให้ฉันดูได้ว่าหลักฐานสามารถทำงานได้อย่างไร

คำจำกัดความของความต่อเนื่องที่ครูของคุณใช้นั้นดีกว่า มันบอกคุณค่อนข้างชัดเจนว่าความต่อเนื่องหมายถึงอะไร

สมมติว่า ) นั่นหมายความว่าได้รับข้อมูลทั้งหมดของxอาจจะเป็นชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดของสัญญาณ (อะตอม), ฟังก์ชั่นผลิตองค์ประกอบบางอย่างที่มีชิ้นอะตอมของข้อมูลที่ข (มันอาจมีข้อมูลอื่น ๆ ด้วย แต่เราไม่ได้เกี่ยวข้องกับการที่ในขณะนี้.) ความหมายของครูบอกว่ามันไม่จำเป็นต้องดูข้อมูลทั้งหมดที่ไม่มีที่สิ้นสุดของxเพื่อผลิตข้อมูลการส่งออกข เซตย่อยที่แน่นอนของ$b \in f(x)$$x$$b$$x$$b$$x$นั้นเพียงพอที่จะสร้างมันได้

(หนังสือของเมลวินฟิตติ้ง "ทฤษฎีการคำนวณความหมายและการเขียนโปรแกรมเชิงตรรกะ", Oxford, 1987 เรียกคุณสมบัตินี้ว่าเป็นความกะทัดรัดและนิยามฟังก์ชันต่อเนื่องว่าเป็นเสียงเดียวและกะทัดรัด)

นี่คือสาระสำคัญของความต่อเนื่อง ในการรับข้อมูลจำนวน จำกัด เกี่ยวกับผลลัพธ์ของฟังก์ชันคุณต้องการเพียงข้อมูลจำนวน จำกัด เกี่ยวกับอินพุต เอาท์พุทที่ผลิตโดยฟังก์ชั่นสำหรับอินพุตอนันต์นั้นได้มาจากการรวมข้อมูลที่สร้างขึ้นสำหรับการประมาณค่าจำกัดทั้งหมดของอินพุตอนันต์ กล่าวอีกนัยหนึ่งคุณจะไม่ได้รับการกระโดดขลังใด ๆ จากการประมาณอัน จำกัด ไปจนถึงการรวมตัวไม่สิ้นสุด ไม่ว่าคุณจะได้รับสิ่งใดจากอินฟินิตี้คุณก็ควรเข้าสู่ระยะ จำกัด

สมการมาตรฐานดูสวย แต่มันไม่ได้บอกสัญชาตญาณทั้งหมดที่ฉันได้อธิบายไว้ข้างต้น อย่างไรก็ตามในทางคณิตศาสตร์มันเทียบเท่ากับคำจำกัดความของครู$f(\bigcup_{x \in D} x) = \bigcup_{x \in D} f(x)$

แสดงให้เห็นว่ามันก็เพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่าF ( x )จะรวมอยู่ในF ( ⋃ x ∈ D x )สำหรับแต่ละx ∈ D แต่ที่ดังต่อไปนี้โดยตรงจาก monotonicity ของฉเพราะx ⊆ ⋃ x ∈ D x ดังนั้นนี่คือทิศทาง "ง่าย"$\bigcup_{x \in D} f(x) \subseteq f(\bigcup_{x \in D} x)$$f(x)$$f(\bigcup_{x \in D} x)$$x \in D$$f$$x \subseteq \bigcup_{x \in D} x$

The other direction, proved by your teacher, is the interesting one: $f(\bigcup_{x \in D} x) \subseteq \bigcup_{x \in D} f(x)$. To see this, use the intuition I have mentioned above. Any atomic piece of information $b$ in the left hand side comes from some finite approximation of the input: $x_0 \subseteq_{fin} \bigcup_{x \in D} x$. That is, $b \in f(x_0)$. Since $x_0$ is finite and it is included in the union of the directed set, there must be something in the directed set that is larger than $x_0$, perhaps $x_0$ itself. Call that element $z$. By monotonicity, $f(x_0) \subseteq f(z)$. So, $b \in f(z)$. Since $z \in D$, $f(z) \subseteq \bigcup_{x \in D} f(x)$. So, now $b$ is seen to be in the right hand side too. QED.

As you have noted, showing that your teacher's continuity implies the pretty equation is the easy bit. The harder bit is to show that the pretty equation, despite looking like it is not saying very much, really does say everything in your teacher's definition.

It occurred to me belatedly, after I wrote the last response, that the teacher's definition of continuity that I was explaining in my response is the topological notion of continuity. The algebraic formulation of continuity that is usually mentioned in Computer Science text books hides all the topological intuitions. (In fact, Dana Scott has often written that he has deliberately avoided topological formulations because Computer Scientists are not familiar with it.)

The linkage between the algebraic and topological formulations is called Stone duality, and it is now becoming increasingly clear that this linkage itself is extremely important for Computer Science.

For a conceptual exposition of these connections (and a lot more), See Abramsky's Information, processes and games.