ฉันเพิ่งรู้ว่ามีความสัมพันธ์บางอย่างระหว่างทฤษฎีประเภทรัสเซลล์และระบบประเภทที่พบเช่นใน Haskell อันที่จริงสัญกรณ์บางประเภทใน Haskell ดูเหมือนว่ามีสารตั้งต้นในทฤษฎีประเภท แต่ IMHO แรงบันดาลใจของรัสเซลในปี 1908 คือการหลีกเลี่ยงความขัดแย้งของรัสเซลและฉันไม่แน่ใจว่ามันเกี่ยวข้องกับระบบการพิมพ์ในวิทยาการคอมพิวเตอร์อย่างไร
ความขัดแย้งของรัสเซลอยู่ในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งหรือบางสิ่งที่เราจะต้องกังวลเช่นถ้าเราไม่มีระบบที่ดีในภาษาที่กำหนด
คำตอบ:
`` ทฤษฎีชนิด 'ในแง่ของภาษาโปรแกรมและในแง่ของรัสเซลนั้นมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิดในความเป็นจริงสนามสมัยใหม่ของทฤษฎีแบบพึ่งพาอาศัยนั้นมีจุดมุ่งหมายเพื่อให้พื้นฐานที่สร้างสรรค์สำหรับคณิตศาสตร์ต่างจากทฤษฎีเซต คณิตศาสตร์ทำในผู้ช่วยพิสูจน์เช่น Coq, NuPRL หรือ Agda ดังนั้นการพิสูจน์ที่ทำในระบบเหล่านี้ไม่เพียง "เป็นทางการ" แต่จริง ๆ แล้วเป็นทางการและตรวจสอบเครื่องจักรการใช้กลยุทธ์และเทคนิคการพิสูจน์อัตโนมัติอื่น ๆ ที่เราพยายามพิสูจน์ด้วยสิ่งเหล่านี้ ระบบ "ระดับสูง" และคล้ายกับคณิตศาสตร์นอกระบบ แต่เนื่องจากทุกอย่างถูกตรวจสอบเราจึงรับประกันความถูกต้องได้ดีกว่ามาก
ดูที่นี่
ประเภทในภาษาโปรแกรมทั่วไปมีแนวโน้มที่จะ จำกัด มากขึ้น แต่ทฤษฎีเมตาเหมือนกัน
สิ่งที่คล้ายกับความขัดแย้งของรัสเซลเป็นประเด็นสำคัญในทฤษฎีประเภทพึ่งพา โดยเฉพาะการมี
Type : Type
มักจะนำไปสู่ความขัดแย้ง Coq และงานที่คล้ายกันโดยทำรังจักรวาล
Type_0 : Type_1
แต่ใน Coq โดยค่าเริ่มต้นตัวเลขเหล่านี้มีความหมายตามปกติซึ่งไม่สำคัญสำหรับโปรแกรมเมอร์
ในบางระบบ (Agda, Idris) กฎประเภทในการเปิดใช้งานผ่านทางธงรวบรวม มันทำให้ logics ไม่สอดคล้องกัน แต่มักจะทำให้การเขียนโปรแกรมเชิงสำรวจ / พิสูจน์ง่ายขึ้น
แม้ในภาษากระแสหลักมากขึ้นความขัดแย้งของรัสเซลล์ก็ปรากฏขึ้นเป็นครั้งคราว ตัวอย่างเช่นใน Haskell การเข้ารหัสของเส้นขนานของรัสเซลเป็นการรวมความไม่ลงรอยกันและกรณีแบบเปิดเป็นไปได้ทำให้ผู้ใช้สามารถสร้างเงื่อนไขที่แตกต่างโดยไม่ต้องเรียกซ้ำแม้แต่ในระดับประเภท Haskell คือ `` ไม่สอดคล้องกัน '(เมื่อตีความว่าเป็นตรรกะในแบบปกติ) เนื่องจากมันรองรับการเรียกซ้ำทั้งในระดับประเภทและมูลค่าไม่ต้องพูดถึงข้อยกเว้นไม่มีน้อยผลลัพธ์นี้ค่อนข้างน่าสนใจ
คุณพูดถูกเกี่ยวกับแรงจูงใจของรัสเซล ความขัดแย้งเกิดขึ้นในทุกทฤษฎีของเซตที่ยอมรับสัจพจน์ของความเข้าใจที่ไม่ จำกัด กับเอฟเฟกต์ที่: ฟังก์ชันเชิงประพจน์ใด ๆ กำหนดเซตซึ่งก็คือของเอนทิตี้เหล่านั้นทั้งหมดที่สนองต่อการทำงาน ในบรรดาทฤษฎีของหรือตามชุดที่มีข้อบกพร่องที่เป็นทฤษฎีเซตไร้เดียงสาของคันทอร์และระบบของ Frege ของGrundgesetze (เฉพาะ: ความจริง 5)
เนื่องจากประเภทถือว่าเป็นชุดพิเศษหากไม่ได้รับการดูแลความขัดแย้งที่คล้ายกันสามารถคลานเข้าสู่ระบบประเภทได้กล่าวว่าฉันไม่ทราบว่าระบบประเภทใดที่ประสบชะตากรรมเช่นนี้ ฉันจำได้เพียงความพยายามครั้งแรกของคริสตจักรในการกำหนดแลมบ์ดาแคลคูลัสในยุค 30 ซึ่งกลายเป็นว่าไม่สอดคล้องกัน (Kleene-Rosser Paradox) แต่สิ่งนั้นไม่ได้เกิดจากประเภทและไม่เกี่ยวข้องกับความขัดแย้งของรัสเซล
อัปเดต : ดูคำตอบของฟิลิปสำหรับคำตอบที่แท้จริงสำหรับคำถามของคุณ
เมื่อคุณพูดถึง Python คำถามนั้นไม่ใช่ทฤษฎีเชิงทฤษฎี ดังนั้นฉันจึงพยายามให้มุมมองที่กว้างขึ้นเกี่ยวกับประเภท ประเภทเป็นสิ่งที่แตกต่างกันสำหรับคนอื่น ฉันได้รวบรวมแนวคิดอย่างน้อย 5 ประเภท (แต่เกี่ยวข้องกัน):
ระบบประเภทเป็นระบบโลจิคัลและตั้งทฤษฎี
ระบบประเภทเชื่อมโยงประเภทกับค่าที่คำนวณได้แต่ละรายการ โดยการตรวจสอบการไหลของค่าเหล่านี้ระบบพิมพ์จะพยายามพิสูจน์หรือตรวจสอบให้แน่ใจว่าไม่มีข้อผิดพลาดประเภทเกิดขึ้น
Type คือการจำแนกประเภทที่ระบุข้อมูลประเภทใดประเภทหนึ่งเช่นมูลค่าจริงจำนวนเต็มหรือบูลีนที่กำหนดค่าที่เป็นไปได้สำหรับประเภทนั้น การดำเนินการที่สามารถทำได้กับค่าของประเภทนั้น ความหมายของข้อมูล และวิธีการเก็บค่าประเภทนั้น
ชนิดข้อมูลนามธรรมอนุญาตให้มีการลบข้อมูลในภาษาระดับสูง ADT นั้นมักจะถูกนำไปใช้เป็นโมดูล: อินเทอร์เฟซของโมดูลประกาศขั้นตอนที่สอดคล้องกับการดำเนินการ ADT กลยุทธ์การซ่อนข้อมูลนี้ช่วยให้การใช้งานโมดูลมีการเปลี่ยนแปลงโดยไม่รบกวนโปรแกรมไคลเอนต์
การประยุกต์ใช้ภาษาการเขียนโปรแกรมใช้ชนิดของค่าเพื่อเลือกหน่วยเก็บข้อมูลที่ต้องการค่าและอัลกอริทึมสำหรับการดำเนินการกับค่า
คำพูดมาจาก Wikipedia แต่ฉันสามารถให้การอ้างอิงที่ดีกว่าหากมีความต้องการเกิดขึ้น
ประเภทที่ 1 เกิดขึ้นจากงานของ Russel แต่วันนี้พวกเขาไม่เพียง แต่ปกป้องจากความขัดแย้ง: ภาษาที่พิมพ์ของทฤษฎีแบบ homotopy เป็นวิธีการใหม่ในการเข้ารหัสคณิตศาสตร์ในภาษาที่เป็นทางการภาษาที่เข้าใจได้และเป็นวิธีใหม่สำหรับมนุษย์ในการทำความเข้าใจรากฐาน ของคณิตศาสตร์ (วิธี "เก่า" กำลังเข้ารหัสโดยใช้ทฤษฎีเซตซึ่งเป็นจริง)
ประเภทที่ 2-5 เกิดขึ้นในการเขียนโปรแกรมจากความต้องการที่แตกต่างกัน: เพื่อหลีกเลี่ยงข้อบกพร่องเพื่อจัดประเภทซอฟต์แวร์ข้อมูลนักออกแบบและโปรแกรมเมอร์ทำงานร่วมกับการออกแบบระบบขนาดใหญ่และการใช้ภาษาโปรแกรมได้อย่างมีประสิทธิภาพตามลำดับ
ระบบประเภทใน C / C ++, Ada, Java, Python ไม่ได้เกิดจากการทำงานของ Russel หรือต้องการหลีกเลี่ยงข้อบกพร่อง พวกเขาเกิดขึ้นจากความต้องการที่จะอธิบายข้อมูลประเภทต่าง ๆ ที่นั่น (เช่น "นามสกุลคือสตริงอักขระและไม่ใช่ตัวเลข"), ออกแบบซอฟต์แวร์แบบแยกส่วนและเลือกการแสดงระดับต่ำสำหรับข้อมูลอย่างเหมาะสม ภาษาเหล่านี้ไม่มีประเภท -1 หรือประเภท 2 Java ช่วยให้มั่นใจในความปลอดภัยจากข้อผิดพลาดไม่ใช่โดยการพิสูจน์ความถูกต้องของโปรแกรมโดยใช้ระบบพิมพ์ แต่ด้วยการออกแบบอย่างระมัดระวังของภาษา (ไม่มีตัวชี้คณิตศาสตร์) และระบบรันไทม์ (เครื่องเสมือนการตรวจสอบไบต์) ระบบพิมพ์ใน Java ไม่ใช่ทั้งระบบตรรกะและทฤษฎีเซต
อย่างไรก็ตามระบบการพิมพ์ในภาษาการเขียนโปรแกรม Agda เป็นตัวแปรที่ทันสมัยของระบบการพิมพ์ของ Russel (ขึ้นอยู่กับการทำงานในภายหลังหรือ Per Martin-Lof และนักคณิตศาสตร์อื่น ๆ ) ประเภทของระบบใน Agda ถูกออกแบบมาเพื่อแสดงคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของโปรแกรมและการพิสูจน์คุณสมบัติเหล่านั้นมันเป็นระบบตรรกะและทฤษฎีเซต
ที่นี่ไม่มีความแตกต่างสีดำ - ขาว: มีหลายภาษาที่เหมาะสม ตัวอย่างเช่นระบบพิมพ์ของภาษา Haskell มีรากฐานในงานของ Russel สามารถมองได้ว่าเป็นระบบของ Agda ที่เรียบง่าย แต่จากจุดยืนทางคณิตศาสตร์มันไม่สอดคล้องกัน (ขัดแย้งกันเอง) หากมองว่าเป็นระบบตรรกะหรือทฤษฎีเซต
อย่างไรก็ตามในฐานะที่เป็นยานพาหนะเชิงทฤษฎีเพื่อปกป้องโปรแกรม Haskell จากข้อบกพร่องมันทำงานได้ค่อนข้างดี คุณยังสามารถใช้ชนิดเพื่อเข้ารหัสคุณสมบัติบางอย่างและพิสูจน์ได้ แต่ไม่ใช่คุณสมบัติทั้งหมดที่สามารถเข้ารหัสได้และโปรแกรมเมอร์ยังสามารถละเมิดคุณสมบัติที่พิสูจน์แล้วได้หากเขาใช้แฮ็กสกปรกที่ท้อใจ
ประเภทของระบบ Scala ยิ่งกว่าเดิมจากงานของ Russel และภาษาพิสูจน์สมบูรณ์แบบของ Agda แต่ยังคงมีรากฐานในงานของ Russel
สำหรับการพิสูจน์คุณสมบัติของภาษาอุตสาหกรรมที่ระบบประเภทนั้นไม่ได้ออกแบบมานั้นมีหลายวิธีและหลายระบบ
สำหรับแนวทางที่น่าสนใจ แต่แตกต่างกันดูโครงการวิจัย Coq และ Microsoft Boogie Coq อาศัยทฤษฎีประเภทเพื่อสร้างโปรแกรมที่จำเป็นจากโปรแกรม Coq Boogie อาศัยคำอธิบายประกอบของโปรแกรมที่จำเป็นพร้อมคุณสมบัติและการพิสูจน์คุณสมบัติเหล่านั้นด้วยโปรแกรมพิสูจน์ทฤษฎีบท Z3 โดยใช้วิธีการที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิงกว่า Coq