ขอบเขตล่างสำหรับการค้นหาองค์ประกอบที่เล็กที่สุด kth โดยใช้อาร์กิวเมนต์ที่เป็นปฏิปักษ์

ในหลายตำราที่ถูกผูกไว้ที่ต่ำกว่าสำหรับการหา TH องค์ประกอบที่เล็กที่สุดที่ได้มาทำให้การใช้งานของข้อโต้แย้งโดยใช้มีเดีย ฉันจะหาคนโดยใช้การโต้แย้งจากศัตรูได้อย่างไร?$k$

Wikipediaบอกว่าอัลกอริทึมทัวร์นาเมนต์ทำงานในและn - k + ∑ n j = n + 2 - k ⌈ $O(n+k\log n)$ถูกกำหนดให้เป็นขอบเขตล่าง$n - k + \sum_{j = n+2-k}^{n} \lceil{\operatorname{lg}\, j}\rceil$

ฉันจะร่างสั้น ๆ ของร่างของข้อโต้แย้งศัตรู

พิจารณาอัลกอริธึมที่คุณเลือกเล่นกับคู่ต่อสู้ที่เราจะเรียกฝ่ายตรงข้ามเป้าหมายของฝ่ายตรงข้ามคือการให้อินพุต$X$สำหรับอัลกอริทึมของคุณที่เพิ่มจำนวนการเปรียบเทียบให้มากที่สุดโดยอัลกอริทึมของคุณ อันที่จริงอัลกอริทึมของคุณสามารถถูกมองว่าเป็นต้นไม้เปรียบเทียบซึ่งเป็นเส้นทางที่สอดคล้องกับคำสั่งบางส่วน เมื่ออัลกอริทึมถามคู่ปรับเกี่ยวกับองค์ประกอบ$(x, y)$ของคู่ต่อสู้ฝ่ายตรงข้ามจะส่งกลับค่า$x < y$หรือ$y < x$ x คำตอบของปฏิปักษ์ไม่สามารถโต้แย้งผลลัพธ์ก่อนหน้าได้

$k$$x^*$$x^*$$(y, z)$ $\forall y \neq x^*$$y < z \leq x^*$$x^* \leq z < y$$y$. เห็นได้ชัดว่าฝ่ายตรงข้ามต้องการเพิ่มจำนวนการเปรียบเทียบที่ไม่สำคัญโดยอัลกอริทึมของคุณ

$L$$k−1$$L$$X \setminus L$$x^*$$X \setminus L$$k - 1$$L$$\left\lceil {\lg \frac{n}{{k - 1}}} \right\rceil$$X \setminus L$$n - k$$X \setminus L$