เมื่อทำการทดสอบไอเท็ม n จะครอบคลุม t-subset ทั้งหมดให้น้อยที่สุดเท่าที่จะทำได้?

ปัญหานี้เกิดขึ้นจากการทดสอบซอฟต์แวร์ ปัญหาเป็นเรื่องยากที่จะอธิบาย ฉันจะให้ตัวอย่างก่อนจากนั้นพยายามสรุปปัญหา

มี 10 รายการที่จะทดสอบพูด A ถึง J และเครื่องมือทดสอบที่สามารถทดสอบ 3 รายการได้ในเวลาเดียวกัน ลำดับของรายการในเครื่องมือทดสอบไม่สำคัญ แน่นอนว่าสำหรับการทดสอบแบบละเอียดเราจำเป็นต้องมีรายการรวมกันเป็นรายการ$^{10}C_{3}$

ปัญหาซับซ้อนมากขึ้น มีเงื่อนไขเพิ่มเติมว่าเมื่อคู่ของรายการได้รับการทดสอบร่วมกันกว่าคู่เดียวกันไม่จำเป็นต้องมีการทดสอบอีกครั้ง

ตัวอย่างเช่นเมื่อเราดำเนินการทดสอบสามข้อต่อไปนี้:

เอบีซี

ADE

BDF

เราไม่จำเป็นต้องดำเนินการ:

ABD

เนื่องจากคู่ A, B ถูกครอบคลุมโดยกรณีทดสอบครั้งแรก A, D ถูกครอบคลุมโดยวินาทีและ B, D ถูกครอบด้วยอันดับที่สาม

ดังนั้นปัญหาคือจำนวนกรณีทดสอบขั้นต่ำที่เราต้องการเพื่อให้แน่ใจว่าทุกคู่ทดสอบ?

ในการพูดคุยทั่วไปหากเรามีรายการ n รายการ s สามารถทดสอบได้ในเวลาเดียวกันและเราต้องแน่ใจว่า tuples ที่เป็นไปได้ทั้งหมดได้รับการทดสอบ (เช่น s> t) จำนวนกรณีทดสอบขั้นต่ำที่เราต้องการคืออะไร เงื่อนไขของ n, s และ t?

และท้ายที่สุดสิ่งที่จะเป็นอัลกอริทึมที่ดีในการสร้างกรณีทดสอบที่จำเป็น?

บล็อกการออกแบบที่คุณต้องการ (สำหรับการทดสอบ 3 สิ่งที่เวลาและครอบคลุมทุกคู่) จะเรียกว่าสทิระบบสาม มีระบบ Steiner สามระบบพร้อมสามครั้งเมื่อ modและอัลกอริธึมเป็นที่รู้กันว่าจะสร้างสิ่งเหล่านี้ ดูตัวอย่างคำถาม MathOverflowนี้(พร้อมลิงค์ไปยัง Sage code ที่ใช้งานได้!) อื่น ๆคุณสามารถรอบขึ้นไปอีกสมัยและใช้การเปลี่ยนแปลงของระบบสามนี้สำหรับเพื่อให้ครอบคลุมทุกคู่สำหรับn$\frac{1}{3} {n \choose 2}$$n \equiv 1 \mathrm{\ or\ } 3$$6$$n$$n' \equiv 1 \mathrm{\ or\ } 3$$6$$n'$$n$

หากคุณต้องการสิ่งก่อสร้างที่ดีที่สุดสำหรับอื่น ๆจำนวน triples ที่ต้องการคือหมายเลขที่ครอบคลุมและได้รับจากรายการนี้ในสารานุกรมออนไลน์ของลำดับเลขจำนวนเต็ม ลิงก์นี้ไปยังพื้นที่เก็บข้อมูล La Jollaซึ่งมีพื้นที่เก็บข้อมูลที่ดี สารานุกรมออนไลน์ของลำดับเลขจำนวนเต็มให้สูตรที่คาดคะเนสำหรับ ; ถ้าสูตรนี้เก็บไว้โดยสังหรณ์นั่นหมายความว่าน่าจะมีวิธีอัลกอริธึมที่ดีในการสร้างสิ่งปกคลุมเหล่านี้ แต่เนื่องจากสูตรถูกคาดเดามันเป็นที่ชัดเจนว่าปัจจุบันไม่มีใครรู้จักพวกเขา$n$ $C(n,3,2)$$C(n,3,2)$

สำหรับตัวเลขที่มีการครอบคลุมสูงการหุ้มที่ดีนั้นหายากกว่าสำหรับและที่เก็บจะให้คำตอบที่ดีกว่าอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพที่รู้จัก$C(n,3,2)$

จัดทำกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางซึ่งแต่ละจุดยอดเป็นคู่ของรายการและมีขอบระหว่างจุดยอดสองจุดหากพวกเขาแบ่งปันรายการร่วมกัน กล่าวอีกนัยหนึ่งโดยที่และ\} กราฟมีจุดยอดและจุดยอดทุกจุดจะมีขอบจุดเกิดขึ้น$G$$G=(V,E)$$V=\{\{a,b\} : a,b \in \text{Items} \land a\ne b\}$$E=\{(s,t) : s,t \in V \land |s\cap t|=1\}$${n \choose 2}$$2n-4$

แล้ววิธีการหนึ่งที่จะได้พบกับการจับคู่สูงสุดGอัลกอริทึมของ Edmond สามารถใช้เพื่อค้นหาการจับคู่สูงสุดในเวลาพหุนาม หากคุณโชคดีนี่จะให้การจับคู่ที่สมบูรณ์แบบแก่คุณและคุณก็เป็นคนดี แต่ละขอบในสอดคล้องตรงกันกับกรณีทดสอบเบื้องต้นเนื่องจากจุดสุดยอดทุกจุดเกิดขึ้นโดยมีขอบเดียวในการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบคุณจึงครอบคลุมทุกคู่โดยใช้กรณีทดสอบซึ่งอยู่ในช่วงปัจจัยที่เหมาะสมที่สุด หากคุณไม่ได้รับการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบเพิ่มกรณีทดสอบอีกสองสามกรณีตามที่จำเป็นเพื่อให้ได้ความครอบคลุมอย่างเต็มที่$G$$(\{A,B\},\{B,C\}) \in E$$A B C$${n \choose 2}/2$$1.5$

ในกรณีของและคุณต้องทำการทดสอบอย่างน้อยเนื่องจากมีคู่และทุกการทดสอบครอบคลุม 3 คู่ นั่นหมายความว่าคุณสามารถทำสิ่งเล็ก ๆ น้อย ๆ และทำการทดสอบและเป็นเพียง 3 ปัจจัยที่เลวร้ายยิ่งกว่าสิ่งที่ดีที่สุดt = 2 ($s=3$$t=2$ (${n \choose 2}/3$(${n \choose 2}$${n \choose 2}$

หากคุณกำลังเขียนโปรแกรมนี้จริง ๆ แล้ววิธีการปรับให้เหมาะสมอาจทำได้โดยการเลือกการทดสอบตัวเลขแบบสุ่มก่อนแล้วจึงทำการเดรัจฉานกับคู่ที่ไม่ครอบคลุมโดยการทดสอบ

---

สำหรับทั่วไปและมีขอบเขตที่ต่ำกว่าของการทดสอบ สำหรับขอบเขตบนฉันอ้างว่าเพียงพอที่จะสร้างการทดสอบt ($s$$t$ C⋅ (${n \choose t}/{s \choose t}$$C \cdot \frac{{n \choose t}}{s \choose t}\cdot {\log({n \choose t})} \leq O(t \cdot (\frac{n-t}{s-t})^t \log(n))$

เรามาดูกันว่าเกิดอะไรขึ้นเราเลือกการทดสอบแบบสุ่มอย่างสม่ำเสมอถ้าคุณเลือก -tupleโดยการสุ่มจากนั้นสำหรับการแก้ไข -tupleเรามีs}} ดังนั้นถ้าเราเลือกการทดสอบแบบสุ่มแล้ว$s$$S \subseteq [n]$$t$$X \subseteq [n]$$\Pr[X \subset S] = \frac{{n-t \choose s-t}}{{n \choose s}}$$C \cdot {n \choose t} \cdot {\log({n \choose t})}$

$$\Pr[X \text{ does not belong to any of them}] = \left(1 - \frac{{n-t \choose s-t}}{{n \choose s}}\right)^{C \cdot {n \choose t} \cdot {\log({n \choose t})}} \leq \exp \left(-C \frac{{n-t \choose s-t}{n \choose t}}{{n \choose s}{s \choose t}} \cdot \log({n \choose t})\right) = \exp(-C \log{n \choose t})\leq 1/{n \choose t}.$$

ดังนั้นโดยการรวมกันหลังจากการทดสอบแบบสุ่ม -tuples ทั้งหมดจะถูกครอบคลุม$O(t \cdot (\frac{n-t}{s-t})^t \log(n))$$t$