ครอบคลุมสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยสายการกวาด

ฉันได้รับแบบฝึกหัดโชคไม่ดีที่ฉันไม่ประสบความสำเร็จ

มีชุดของรูปสี่เหลี่ยมเป็นและสี่เหลี่ยมผืนผ้า{0} การใช้อัลกอริธึมการกวาดล้างบนเครื่องบินกำหนดว่าครอบคลุมโดยชุดหรือไม่$R_{1}..R_{n}$$R_{0}$$R_{0}$$R_{1}..R_{n}$

สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับหลักการของอัลกอริทึมบรรทัดกวาดดูที่นี่

ให้เริ่มต้นจากจุดเริ่มต้น. เริ่มแรกเรารู้จักอัลกอริทึมการกวาดบรรทัดเป็นอัลกอริทึมสำหรับการค้นหาจุดตัดเซกเมนต์ของบรรทัดที่ต้องการโครงสร้างข้อมูลสองแบบ:

• ชุดของคะแนนเหตุการณ์ (จัดเก็บจุดสิ้นสุดของส่วนและจุดแยก)$Q$
• สถานะ (โครงสร้างแบบไดนามิกสำหรับชุดเซกเมนต์ของเส้นการกวาดที่ตัดกัน)$T$

แนวคิดทั่วไป:สมมติว่าบรรทัดการกวาดเป็นเส้นแนวตั้งที่เริ่มเข้าใกล้ชุดของสี่เหลี่ยมจากด้านซ้าย ทั้งหมดเรียงพิกัดของรูปสี่เหลี่ยมและเก็บไว้ในในการเพิ่มการสั่งซื้อ - ควรใช้เวลาn) เริ่มต้นจากจุดเหตุการณ์แรกสำหรับทุก ๆ จุดกำหนดชุดของรูปสี่เหลี่ยมที่ตัดกันที่พิกัดกำหนดระบุส่วนต่อเนื่องของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแยกและตรวจสอบว่าพวกเขาครอบคลุมที่พิกัดปัจจุบันทั้งหมดหรือไม่ ด้วยเป็นต้นไม้ไบนารีมันจะใช้เวลาn) หากส่วนใดส่วนหนึ่งของยังคงเปิดอยู่$l$$x$$Q$$O(n\log n)$$x$$R_{0}$$x$$T$$O(\log n)$$R_{0}$$R_{0}$ไม่ได้ครอบคลุมอย่างสมบูรณ์

รายละเอียด:แนวคิดของอัลกอริทึมการตัดเซกเมนต์คือเซ็กเมนต์ที่อยู่ติดกันตัดกัน จากข้อเท็จจริงนี้เราได้สร้างสถานะและดูแลรักษาตลอดขั้นตอนวิธี ฉันพยายามค้นหาความคิดที่คล้ายกันในกรณีนี้และจนถึงขณะนี้โดยไม่ประสบความสำเร็จสิ่งเดียวที่ฉันสามารถพูดได้ก็คือสี่เหลี่ยมสองรูปตัดกันถ้าพิกัดและตรงกันของพวกเขาทับซ้อนกัน$T$$x$$y$

ปัญหาคือวิธีการสร้างและดูแลรักษาและความซับซ้อนของการสร้างและดูแลรักษาคืออะไร ฉันคิดว่าต้นไม้ Rมีประโยชน์อย่างมากในกรณีนี้ แต่เนื่องจากฉันพบว่ามันยากมากที่จะกำหนดสี่เหลี่ยมผืนผ้าขอบเขตขั้นต่ำโดยใช้ต้นไม้ R$T$$T$

คุณมีความคิดเกี่ยวกับวิธีการแก้ปัญหานี้และโดยเฉพาะอย่างยิ่งวิธีการสร้างหรือไม่?$T$

มาเริ่มด้วยสี่เหลี่ยมที่เรียงกันตามแนวแกนเนื่องจากมีอาร์กิวเมนต์โดยตรงที่ง่าย เราจะกวาดเส้นแนวตั้ง เหตุการณ์เป็นจุดสิ้นสุดของขอบแนวนอนของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ขณะที่เรากวาดเราจะเก็บช่วงเวลาหนึ่งไว้บนบรรทัดการกวาดที่ "เปิด" โดย , :$n$$R_i$$i\ge 1$

• เพิ่มช่วงเวลาแนวตั้งที่ครอบคลุมโดยสี่เหลี่ยมผืนผ้าไปยังบรรทัดการกวาดเมื่อเราพบเป็นครั้งแรก$R_i$$R_i$
• ลบช่วงเวลาแนวตั้งที่ครอบคลุมโดยสี่เหลี่ยมผืนผ้าจากเส้นกวาดเมื่อมันเคลื่อนที่ผ่าน$R_i$$R_i$

มันง่ายที่จะทำเช่นนี้กับต้นไม้ไบนารีเพื่อการปรับปรุงที่ใช้เวลา (ปัญหาคือโดยหลักแล้วคือ 1 มิติคุณคิดออกว่าจุดสิ้นสุดอยู่ในช่วงเวลาที่ไม่ได้เปิดและขยาย / ผสานอย่างเหมาะสมเมื่อทำการเพิ่มและทำให้ยาวขึ้นเมื่อลบออก)$O(\log n)$

แล้วคุณก็ตรวจสอบว่าในช่วงของไม่มีช่วงเวลาที่เปิดที่เคยตัดช่วงแนวตั้งของR_0สิ่งที่ทั้งเป็นเวลาพื้นที่$R_0$$R_0$$O(n\log n)$$O(n)$

สำหรับกรณีทั่วไปเคล็ดลับที่เห็นได้ชัดไม่เร็วนัก ใช้อัลกอริธึมบรรทัดการกวาดแบบมาตรฐานเพื่อคำนวณส่วนย่อยระนาบทั้งหมดที่เกิดจากสี่เหลี่ยม

เห็นได้ชัดว่าบางดิสก์เหมือนชุดของใบหน้าครอบคลุมR_0ด้วยตัวเองสิ่งนี้ไม่ได้บอกเรามากพอเนื่องจากสิ่งที่เราสนใจคือใบหน้าใด ๆ เหล่านี้อยู่ในและนอกสี่เหลี่ยมอื่น ๆ ในการทำเช่นนี้เราปรับเปลี่ยนโครงสร้างเล็กน้อยเพื่อให้เมื่อเราเพิ่มขอบเราจะติดแท็กด้านหนึ่งด้วยข้อมูลประจำตัวของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่อยู่ภายใน นี้จะเพิ่มค่าใช้จ่ายเพื่อให้การก่อสร้างเป็นเวลา; โดยไม่มีข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมเอาต์พุตอาจมีขนาดดังนั้นเราจึงใช้พื้นที่จำนวนมากในกรณีที่เลวร้ายที่สุดดังนั้นเวลาจึงเป็น$F'$$R_0$$R_0$$O(1)$$O(n^2\log n)$$\Omega(n^2)$

สุดท้ายถูกปกคลุมไปตราบใดที่ไม่มีใบหน้าในได้เพียงขอบได้ติดแท็กในฐานะที่เป็นหนึ่งในR_iประเด็นก็คือว่าถ้าขอบของอยู่ในดังนั้นทั้งหมดของก็เช่นกัน ลองจินตนาการว่าการลากเส้นเหนือมุมฉากไปตามขอบนี้: มันสามารถทิ้งไว้ภายนอกหรือล้อมรอบด้วยขอบของมากกว่าหนึ่งเส้น$R_0$$F'$$R_i$$f$$R_i$$f$$f$$R_i$$f$$f$$R_i$

ดังนั้นข้อสรุปคือกรณีพิเศษคือและกรณีทั่วไปคืออย่างน้อยที่สุด แต่ฉันสงสัยว่ามันจะดีขึ้น$O(n\log n)$$O(n^2\log n)$