การประมาณเชิงเชิงความสัมพันธ์ของการเกิดซ้ำ (Akra-Bazzi ดูเหมือนจะไม่นำไปใช้)

สมมติว่าอัลกอริทึมมีความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นประจำรันไทม์:

$T(n) = \left\{ \begin{array}{lr} g(n)+T(n-1) + T(\lfloor\delta n\rfloor ) & : n \ge n_0\\ f(n) & : n < n_0 \end{array} \right.$

สำหรับบางคนคง<1 สมมติว่าเป็นพหุนามในอาจเป็นกำลังสอง ส่วนใหญ่มีแนวโน้มจะชี้แจงในn $0 < \delta < 1$ $g$ $n$ $f$ $n$

เราจะวิเคราะห์ runtime ได้ยังไง(ยอดเยี่ยม) ทฤษฎีบทหลักและวิธี Akra-Bazzi ทั่วไปดูเหมือนจะไม่ได้นำมาใช้ $\Theta$

asymptotics recurrence-relation

— ออสตินบูคานัน
แหล่งที่มา

หาที่ดีลดความผูกพันเป็นเรื่องง่าย แต่หาที่ดีที่ถูกผูกไว้บนเป็นเรื่องยาก แต่พูดประมาณน่าจะใกล้เคียงกับ(n)

T (n) = a \cdot T (n / a) + g (n)

$T(n) = a\cdot T(n/a) + g(n)$

หากคุณยังคงกำลังมองหาคำตอบอยู่คุณควรตรวจสอบ Graham, Knuth และ Patashnik, "Concrete Mathematics"

— Kaveh

สมมติว่าเป็นค่าคงที่เราไม่ต้องการสมมติฐานใด ๆ เกี่ยวกับหรือเรา?

n_{0}

$n_0$

f

$f$

— กราฟิลส์

พารามิเตอร์อาจเป็นแบบเฉพาะอินสแตนซ์ มันจะดีเพื่อดูวิธีการรันไทม์ขึ้นอยู่กับn_0

n_{0}

$n_0$

n_{0}

$n_0$

— Austin Buchanan

ฉันถามคำถามที่เกี่ยวข้องซึ่งจนถึงขณะนี้ยังไม่ได้นำเสนอทฤษฎีทั่วไปสำหรับการเกิดซ้ำในลักษณะนี้

— ราฟาเอล

วิธีหนึ่งที่เป็นไปได้อาจเป็นการเปรียบเทียบกับสมการเชิงอนุพันธ์ ให้(n-1) นี่เป็นอะนาล็อกที่ไม่ต่อเนื่องของอนุพันธ์แรกของ(n) เราได้รับความสัมพันธ์ต่อไปนี้: อะนาล็อกต่อเนื่องของสิ่งนี้คือสมการเชิงอนุพันธ์ หรือถ้าคุณต้องการดูมันเขียนต่างกัน: นั่นคือสมการเชิงอนุพันธ์ $T'(n) = T(n)-T(n-1)$ $T'(n)$ $T(n)$

T^{'} (n) = T (⌊ δ n ⌋) + g (n) .

$T'(n) = T(\lfloor \delta n \rfloor) + g(n).$

t^{'} (x) = t (δ x) + g (x),

$t'(x) = t(\delta x) + g(x),$

\frac{d}{d x} t (x) = t (δ x) + g (x) .

${d \over dx} t(x) = t(\delta x) + g(x).$

ทีนี้คุณสามารถลองแก้สมการเชิงอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องจากนั้นตั้งสมมติฐานว่าฟังก์ชันที่คล้ายกันนั้นจะเป็นคำตอบสำหรับความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำเดิมของคุณและลองพิสูจน์สมมติฐานของคุณ อย่างน้อยนี่เป็นวิธีการทั่วไปอย่างหนึ่งที่คุณสามารถทำได้ $t(x)$

ฉันลืมทุกสิ่งทุกอย่างที่ฉันเคยรู้จักเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์ดังนั้นฉันไม่รู้วิธีแก้ปัญหาของสมการเชิงอนุพันธ์ แต่บางทีคุณอาจจะสามารถแก้ไขได้โดยการทบทวนเทคนิคทั้งหมดสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์

— DW
แหล่งที่มา

ดูเหมือนว่าโดนัลด์เจนิวแมนจะใช้เทคนิคนี้บ่อยครั้งและให้ผลลัพธ์ที่ยอดเยี่ยม

— Aryabhata

โดยไม่ได้ดูต่อไป การแก้สมการเชิงอนุพันธ์นั้นไม่ใช่เรื่องง่าย ผมไม่เชื่อว่ามันเกินไปมีวิธีการแก้ปัญหาแบบปิดหลังจากที่พยายามรูปแบบพื้นฐานไม่กี่(x)

t (x)

$t(x)$

— InformedA