วิธีแมปเทปของเครื่องทัวริง“ k-tape” ลงในเทปเดียวของเครื่องทัวริง“ 1-tape”

ฉันกำลังอ่านSipserและฉันพบว่ามันยากที่จะเข้าใจว่ากระบวนการนี้เป็นเช่นไรหากคุณให้เครื่องทัวริง k กับเทป k ให้ฉันฉันสามารถพ่นเครื่องทัวริงเทียบเท่ากับเทปเดียว ตัวอย่างน่าจะดี อันที่จริงตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่าจะไปจาก TM ที่มีเทปหนึ่งที่มี 1 เทปเป็นสิ่งที่ฉันกำลังมองหา ฉันไม่สามารถหาได้จนถึงขณะนี้ ฉันยังไม่ได้มองหาหลักฐานใด ๆ$k$

คำตอบคัดลอกมาจากตัวเองอย่างไร้ยางอาย:

เครื่องทัวริงแบบมัลติเทปส่วนใหญ่เหมือนกับเครื่องเทปเดี่ยวยกเว้นว่าเรามีฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแบบขยายโดยที่คือจำนวนเทป ดังนั้นในแต่ละรัฐฟังก์ชั่นการเปลี่ยนภาพจะอ่านเนื้อหาของแต่ละเทปย้ายไปที่สถานะใหม่ (อาจ) เขียนบางอย่างบนแต่ละเทปและย้ายแต่ละหัว - เหมือนปกติ TM ยกเว้นตอนนี้เรามีสิ่งอื่น ๆ ให้อ่านเขียน และย้าย$Q\times\Gamma^{k}\rightarrow Q\times\Gamma^{k}\times\{L,R\}^{k}$$k$

ตามที่คำถามของคุณแนะนำเครื่องดังกล่าวสามารถจำลองโดยใช้เทปเดียว TM ยิ่งไปกว่านั้นมันสามารถทำได้เมื่อมีการชะลอตัวแบบสมการกำลังสองเท่านั้น (ดังนั้นสำหรับคลาสที่ปิดแบบโพลิโนเมียลก็เพียงพอแล้วที่จะพูดถึงเครื่องเทปเดี่ยว)

ข้อพิสูจน์สำหรับเรื่องนี้ค่อนข้างเกี่ยวข้องและสามารถค้นหาได้ง่ายด้วยเว็บดังนั้นฉันจะร่างภาพการทำแผนที่สำคัญของเทปไปยังเทปเดียว$k$

แนวคิดพื้นฐานค่อนข้างตรงไปตรงมา เราเพียงแค่เพิ่มสัญลักษณ์ใหม่ไม่กี่รายการและติดตามแต่ละเทปและนำหนึ่งส่วนต่อจากกัน ในแต่ละขั้นตอนของการคำนวณเราสามารถเข้าชมเทปได้เพียงจำนวน จำกัด เท่านั้นดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องจัดเก็บข้อมูลมากมายเกี่ยวกับเทปแต่ละอันเท่านั้น ดังนั้นสำหรับเราเพิ่มสัญลักษณ์ใหม่ไปที่ซึ่งจะระบุตำแหน่งที่หัว (สำหรับแต่ละเทป) อยู่ที่จุดใดในการคำนวณ นอกจากนี้เรายังแนะนำอักขระตัวคั่นถึงซึ่งจะระบุจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเทป "เสมือน" รับอินพุตแกมมา_ Γ # Γ ω = ω 1 ... ω n # ω 1 _ ... ω n # ⊔ _ # ⊔ _ # ... # ⊔ _ # ⏟ k  ส่วนหนึ่งต่อเทป ⊔ ⊔ ⊔ ⊔ ⊔ ⊔ $\gamma \in \Gamma$$\underline{\gamma}$$\Gamma$$\#$$\Gamma$$\omega = \omega_{1}\ldots\omega_{n}$(เราสามารถสันนิษฐานได้ว่าแม้ในเครื่องมัลติเทปทุกอินพุตอยู่ในเทปแรก - พิสูจน์ว่าทำไมการออกกำลังกายที่ดี) ในเครื่องมัลติเทปเครื่องเทปเดี่ยวของเราจะมีอินพุต

$$\underbrace{\#\underline{\omega_{1}}\ldots\omega_{n}\#\underline{\sqcup}\#\underline{\sqcup}\#\ldots\#\underline{\sqcup}\#}_{k \text{ sections, one per tape}}\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\ldots$$

จากนั้นเราจะใช้สถานะของเครื่องเทปเดี่ยวเพื่อเข้ารหัสสิ่งที่สถานะของเครื่องมัลติเทปอยู่ในและสิ่งที่หัวกำลังมองหา ฟังก์ชั่นการเปลี่ยนภาพของเครื่องเทปเดี่ยวเป็นการจำลองแบบหลายขั้นตอนของฟังก์ชั่นการเปลี่ยนเทปแบบหลายเทปซึ่งเราทำการดำเนินการกับเทปต่าง ๆ อย่างเหมาะสมโดยเลื่อนขึ้นเทปเดี่ยวไปยังแต่ละส่วนตามลำดับ รอยย่นที่เหลืออยู่เพียงอย่างเดียวกำลังขยับทุกอย่างไปพร้อม ๆ กันเมื่อเรามีพื้นที่เหลืออยู่ในส่วน (แต่เครื่องย่อยนั้นเป็นแบบฝึกหัดง่ายๆ) - เราไม่เคยลดขนาดของแต่ละส่วน$k$

ตัวอย่างง่ายๆ (หวังว่า):

สมมติว่าเรามีเทป 3 TM ซึ่งตัวอักษรอินพุตเป็นเพียง , ตัวอักษรเทปคือและอินพุตคือ10101 สถานะเทปเริ่มต้นของเครื่องดูเหมือนว่า: " " คือการแสดงตำแหน่งที่หัวอ่าน / เขียนอยู่บนแต่ละเทป$\Sigma=\{0,1\}$$\Gamma=\{0,1,\sqcup\}$$\omega=10101$

$$\begin{array}{lc} \text{Tape 1:} & \underset{\wedge}{1}0101\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \text{Tape 2:} & \underset{\wedge}{\sqcup}\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \text{Tape 3:} & \underset{\wedge}{\sqcup}\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \end{array}$$ $\wedge$

ในการสร้างเครื่องเทปเดี่ยวที่รวมกันเราจำเป็นต้องเพิ่มสัญลักษณ์ใหม่ให้กับตัวอักษรของเทป:

1. เราต้องการสัญลักษณ์ที่แสดงถึงจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเทปจำลอง
2. สำหรับสัญลักษณ์แต่ละตัวในเราจำเป็นต้องมีเวอร์ชันที่ระบุว่าหัวเทปจำลองอยู่ที่อักขระนั้นบนเทปจำลอง$\Gamma$

ดังนั้นสำหรับเครื่องเดียวเทปเทปอักษรใหม่ของเราคือ\} สถานะเริ่มต้นของเทปคือ: สังเกตความแตกต่างระหว่างส่วนหัวของเครื่อง ( ) และหัวจำลองของเทปจำลอง 3 ตัว (ตัวอักษรที่ขีดเส้นใต้) แน่นอนว่าเทปขยายไปทางขวาอย่างไม่ จำกัด เช่นเคย ฉันยังโกงอย่างอ่อนโยนด้วยการขยับหัวเทปไปที่อักขระตัวแรกบนสตริงแรก อย่างเคร่งครัดควรเริ่มจากเซลล์ซ้ายสุด แต่นี่เป็นเทคนิคเล็กน้อย$\Gamma' =\{0,1,\sqcup,\underline{0},\underline{1},\underline{\sqcup},\#\}$

$$\#\underset{\wedge}{\underline{1}}0101\#\underline{\sqcup}\#\underline{\sqcup}\#\sqcup\sqcup\sqcup\ldots$$ $\wedge$

ดังนั้นเราจึงมีส่วนที่ทำเครื่องหมายไว้สามส่วน (ระหว่างเครื่องหมาย ) ซึ่งจะสอดคล้องกับ 3 เทปของเครื่องดั้งเดิม$\#$

ตอนนี้เรามาทำการกระทำสำหรับเครื่อง สมมติว่าเครื่องต้นฉบับอ่านจากเทปแรกถ้ามันเห็นมันเขียนบนเทปที่สองถ้ามันเห็นมันเขียนบนเทปที่สาม ในการอ่านหรือเขียนแต่ละครั้งศีรษะจะเลื่อนไปทางขวา$1$$1$$0$$1$

ดังนั้นหลังจาก "ขั้นตอนแรก" (อาจต้องใช้หลายสถานะและช่วงการเปลี่ยนภาพในเครื่องจริง) เทปควรมีบนเทปที่สองและหัวแรกและที่สองจะย้ายขวาหนึ่งขั้นตอน:$1$

$$\begin{array}{lc} \text{Tape 1:} & 1\underset{\wedge}{0}101\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \text{Tape 2:} & 1\underset{\wedge}{\sqcup}\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \text{Tape 3:} & \underset{\wedge}{\sqcup}\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \end{array}$$

ในรอบที่สองเทปแรกจะอ่านดังนั้นเราจึงเขียนไปยังเทปที่สามแทน:$0$

$$\begin{array}{lc} \text{Tape 1:} & 10\underset{\wedge}{1}01\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \text{Tape 2:} & 1\underset{\wedge}{\sqcup}\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \text{Tape 3:} & 1\underset{\wedge}{\sqcup}\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \end{array}$$

เครื่องเทปเดี่ยวจำลองสิ่งนี้โดยการขีดเส้นใต้ (โดยใช้ตัวละครในอื่นและเขียนไปยังเทปจำลองที่เหมาะสมดังนั้นหลังจากขั้นตอนแรกเทปรวมจะมีลักษณะดังนี้:$\Gamma'$

$$\#1\underset{\wedge}{\underline{0}}101\#1\underline{\sqcup}\#\underline{\sqcup}\#\sqcup\sqcup\sqcup\ldots$$

หลังจากขั้นตอนที่สอง:

$$\#10\underset{\wedge}{\underline{1}}01\#1\underline{\sqcup}\#1\underline{\sqcup}\#\sqcup\sqcup\sqcup\ldots$$

แน่นอนว่านี่เป็นมุมมองระดับสูงของกระบวนการ - ฉันไม่ได้พยายามอธิบายวิธีสร้างสถานะหรือวิธีที่เทปจำลองแต่ละอันใช้เวลานานขึ้น (สำหรับสิ่งนี้คุณต้องมีกิจวัตรเล็กน้อยที่จะตรวจสอบว่า ในตอนท้ายของเทปจำลองแล้วย้ายทุกอย่างไปทางขวาหนึ่งขั้นตอนและบีบในช่องว่างใหม่ - นั่นคือจะเพิ่มเฉพาะเซลล์เทปจำลองเมื่อจำเป็นเท่านั้น)